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第47讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．随机变量的有关概念
随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．
离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
（1）离散型随机变量的分布列的概念
设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 (i＝1，2，…，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.
… …
… …
有时也用等式表示X的分布列．
（2）离散型随机变量的分布列的性质
①(i＝1，2，…，n)；
②．
3．必记结论
（1）随机变量的线性关系
若是随机变量，，是常数，则Y也是随机变量．
（2）分布列性质的两个作用
①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量的分布列为：
… …
… …
（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）称为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
5．均值与方差的性质
若，其中为常数，则也是随机变量，
且；
6．二项分布的期望、方差：
若，则,.
题型一：离散型随机变量分布列
1．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
若随机变量，则等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【详解】
因为，
所以或.
故选：A
2．（全国高二课时练习）已知随机变量ξ只能取三个值，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A． B．
C．[－3，3] D．[0，1]
【答案】B
【详解】
解：由题意得：
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得
(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，
由，解得.
所以公差的取值范围是.
故选：B
3．（全国高二课时练习）随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且，则的值为（ ）
A． B． C．110 D．55
【答案】B
【详解】
∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，
且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，
∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，
∴55a＝1，∴a＝
故选：B.
4．（全国）袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量，则ξ所有可能取值的个数是（ ）
A．25 B．10 C．15 D．9
【答案】D
【详解】
由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.
故选：D
5．（全国）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，则“”表示试验的结果为（ ）
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为4点，第二枚为1点
【答案】C
【详解】
抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，
所以“X>4”即“X=5”，
表示试验的结果为第一枚为6点，第二枚为1点，
故选：C
6．（全国）若为非负实数，随机变量的分布列为
0 1 2
则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】
由题分布列的性质，可得且，解得，
又由，
所以的最大值为.
故选：B.
7．（全国高二单元测试）设离散型随机变量的分布列为：
1 2 3
则的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由离散型随机变量X的分布列知：
当EX=2时，，解得P1=P3，
当P1=P3时，P1+P2+P3=2P1+P2=1.
EX=P1+2P2+3P3=4P1+2P2=2.
∴EX=2的充要条件是P1=P3.
故选：C.
8．（河南高二期末（理））若随机变量的分布列如下表，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由分布列的性质，得，，，
所以，当且仅当时，等号成立，
故选：.
9．（黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知随机变量的概率分布如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由离散型随机变量分布列的性质，可知，所以.
故选：C.
10．（全国）已知随机变量的分布列如表所示.
0 1 2 3
若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，
且，，
，，
∵，
∴实数满足.
故选：B.
题型二：离散型随机变量的均值和方差
1．（全国高二单元测试）已知离散型随机变量的分布列为
1 2 3
则的数学期望（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【详解】
.
故选：A.
2．（全国高二单元测试）已知随机变量，则随机变量的方差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，所以.
故选：D.
3．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）已知一组数据的方差是1，那么另一组数据，，，，，的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
设，依题意得，
则，
即另一组数据，，，，，的方差是.
故选：D
4．（全国高二课时练习）设随机变量的方差，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
.
故选：C.
5．（全国高二课时练习）已知随机变量的分布列为，.则等于（ ）
A．6 B．9
C．3 D．4
【答案】A
由题意得,
.
故选：A.
6．（全国高二课时练习）已知随机变量满足，则＝（ ）
A．6 B．8
C．18 D．20
【答案】C
【详解】
∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.
故选:C.
7．（天津市蓟州区擂鼓台中学）为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为
甲:68，69，71，72，74，78，83，85;
乙:65，70，70，73，75，80，82，85.
（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;
（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适
【答案】（1）甲、乙的平均数、中位数分别为{75，73}、{75，74}；（2）甲成绩稳定.
【详解】
（1）甲的平均数为= (68+69+71+72+74+78+83+85)÷8=75，中位数为(72+74)÷2=73，
乙的平均数为=(65+70+70+73+75+80+82+85)÷8=75，中位数为(73+75)÷2=74.
（2）甲的方差为s12=[(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+ (72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+
(85-75)2]÷8=35.5，
乙的方差为s22=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2] ÷8=41，
∵s12∴甲成绩稳定.
8．（四川南充·（理））随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为.
（1）求的分布列；
（2）求和.
【答案】（1）分布列见解析；（2）3.5；2.92.
【详解】
（1）由题意，的可能取值为且各点面的概率均为，
∴的分布列为
1 2 3 4 5 6
（2）；
.
9．（福建省永春第二中学高二期末）设随机变量具有分布列：
1 2 3 4 5
求这个随机变量的与
【答案】3，27
【详解】
，
因为，
，
所以．
10．（浙江丽水·高二课时练习）为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．
（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；
（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为
【详解】
（1）设事件表示“每台新型防雾霾产品不能销售”
事件表示“每台新型防雾霾产品能销售”
所以
所以
（2）根据（1）可知，
“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为
“每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为
所有的可能取值为：，，，
则
所以的分布列为
所以
则
11．（浙江丽水·高二课时练习）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：
8 9 10
0．4 0．4 0．2
现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．
（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
【答案】（1）0.36；（2）见解析，9.2
【详解】
（1）两次都命中8环的概率为
两次都命中9环的概率为
两次都命中10环的概率为
设该运动员两次命中的环数相同的概率为
（2）的可能取值为8，9，10
，
，
，
的分布列为
8 9 10
0．16 0．48 0．36
12．（甘肃城关·兰州一中高三月考（理））现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用，分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】（1）（2）（3）
【详解】
解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则
（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，
由于与互斥，故
所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故
，
．
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
随机变量ξ的数学期望中小学教育资源及组卷应用平台
第47讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．随机变量的有关概念
随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．
离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
（1）离散型随机变量的分布列的概念
设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 (i＝1，2，…，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.
… …
… …
有时也用等式表示X的分布列．
（2）离散型随机变量的分布列的性质
①(i＝1，2，…，n)；
②．
3．必记结论
（1）随机变量的线性关系
若是随机变量，，是常数，则Y也是随机变量．
（2）分布列性质的两个作用
①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量的分布列为：
… …
… …
（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）称为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
5．均值与方差的性质
若，其中为常数，则也是随机变量，
且；
6．二项分布的期望、方差：
若，则,.
【题型一：离散型随机变量分布列】
1．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
若随机变量，则等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
2．（全国高二课时练习）已知随机变量ξ只能取三个值，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A． B．
C．[－3，3] D．[0，1]
3．（全国高二课时练习）随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且，则的值为（ ）
A． B． C．110 D．55
4．（全国）袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量，则ξ所有可能取值的个数是（ ）
A．25 B．10 C．15 D．9
5．（全国）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，则“”表示试验的结果为（ ）
A．第一枚为5点，第二枚为1点
B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C．第一枚为6点，第二枚为1点
D．第一枚为4点，第二枚为1点
6．（全国）若为非负实数，随机变量的分布列为
0 1 2
则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（全国高二单元测试）设离散型随机变量的分布列为：
1 2 3
则的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．（河南高二期末（理））若随机变量的分布列如下表，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．（黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知随机变量的概率分布如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
则（ ）
A． B． C． D．
10．（全国）已知随机变量的分布列如表所示.
0 1 2 3
若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型二：离散型随机变量的均值和方差】
1．（全国高二单元测试）已知离散型随机变量的分布列为
1 2 3
则的数学期望（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（全国高二单元测试）已知随机变量，则随机变量的方差为（ ）
A． B． C． D．
3．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）已知一组数据的方差是1，那么另一组数据，，，，，的方差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（全国高二课时练习）设随机变量的方差，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（全国高二课时练习）已知随机变量的分布列为，.则等于（ ）
A．6 B．9
C．3 D．4
6．（全国高二课时练习）已知随机变量满足，则＝（ ）
A．6 B．8
C．18 D．20
7．（天津市蓟州区擂鼓台中学）为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为
甲:68，69，71，72，74，78，83，85;
乙:65，70，70，73，75，80，82，85.
（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;
（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适
8．（四川南充·（理））随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为.
（1）求的分布列；
（2）求和.
9．（福建省永春第二中学高二期末）设随机变量具有分布列：
1 2 3 4 5
求这个随机变量的与
10．（浙江丽水·高二课时练习）为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．
（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；
（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．
11．（浙江丽水·高二课时练习）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：
8 9 10
0．4 0．4 0．2
现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．
（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
12．（甘肃城关·兰州一中高三月考（理））现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用，分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.

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