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第23讲 等量代换法
专题概述
等量代换是指用一种量来代替和它相等的另一种量，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。本专题将初步介绍等量代换的思想方法，学生能通过学习运用这种思想解决一些简单的实际问题。我们听过的曹冲称象的故事就是运用了等量代换这个思想方法。主要题型有：
(1)求出算式中几何图形具体的值；
(2)根据各数量之间的关系，求出具体的数；
(3)求出分配问题中的数量问题。
典型例题1
已知★+★+★+★+△+△=42。
★+△=13,
那么★= ,△= 。
分析 将第二个式子进行变形，两式相减，可得出★的值，根据第二个式子得出△的值。
解 根据★+△=13,可得★+★+△+△=26,那么★+★=42-26=16,16÷2=8,可得★=8,13-8=5,可得△=5。
思维训练1
1. 已知△+△= + + + + + ,★+ =△+△+△。
那么★+△= ○。
2. 已知★+★+★+ + =★+△+△+△+△= + + + + +△+△+△+△=17。
那么★= ,△= ,○= 。
典型例题2
三盘水果总共60元，每盘水果的价钱相同，它们的组合如下，分别求火龙果、西瓜和菠萝的单价。
分析 每盘水果的价格为:60÷3=20(元)
从第一盘水果和第三盘水果看：1个火龙果的价格=1个菠萝的价格。
由第二盘水果得：3个菠萝+1个火龙果=4个菠萝=20元，
从第二盘水果和第三盘水果看：1个西瓜=2个菠萝。
解 每盘水果的价格为:60÷3=20(元),菠萝:20÷4=5(元),西瓜:5×2=10(元),火龙果:20-5一10=5(元)。
答：菠萝5元，火龙果5元，西瓜10元。
思维训练2
1.已知30只鸡可以换2只羊，6只羊可以换3头牛，10头猪可以换4头牛，那么用5头猪可以换多少只鸡
2.已知：3支钢笔的价格=10支毛笔的价格+2本笔记本的价格，2支毛笔的价格=4本笔记本的价格+6支黑色水笔的价格，1本笔记本的价格=3支黑色水笔的价钱。问：3支钢笔的价钱可以买多少支黑色水笔
典型例题3
超市里有3种牌子的牛奶，共有40箱，其中伊利牌的数量是蒙牛牌数量的3倍，特仑苏牌的数量是伊利牌数量的2倍，3种牌子的牛奶各有多少箱
分析 由题意得：伊利牌的数量+蒙牛牌的数量+特仑苏牌的数量=3倍蒙牛牌的数量+蒙牛牌的数量+6倍蒙牛牌的数量=10倍蒙牛牌的数量=40箱。
解 蒙牛:40÷10=4(箱),伊利:4×3=12(箱),特仑苏:4 (箱)
答：蒙牛有4箱，伊利有12箱，特仑苏有24箱。
思维训练3
1.在海洋馆中，同学们发现鲸鱼比海豚多24条，又发现鲸鱼的数量是海豚数量的4倍，鲸鱼和海豚各有多少条
2.姐姐妹妹都有各自的玩具，已知姐姐的玩具数是妹妹的4倍，如果姐姐给妹妹6个玩具，那么姐姐的玩具数是妹妹的2倍，姐姐和妹妹各有多少玩具
典型例题4
江苏镇江每到过年都有打酱油的习俗，镇江的一家百年老字号在装酱油时，有多种规格的缸。当大缸和小缸第一次卖掉同样多的酱油后，发现大缸中酱油的量是小缸中的3倍，再卖掉和第一次同样多的酱油后，发现大缸中酱油的量是小缸中的5倍。当两种缸装满酱油时，大缸与小缸装的酱油量之间有什么关系 (几口大缸装的量=几口小缸装的量)
解 大缸总量——卖掉的量=3×(小缸总量——卖掉的量) (1)
大缸总量——2×卖掉的量=5×(小缸总量—2×卖掉的量) (2)
由(1)得，大缸总量=3×小缸总量-2×卖掉的量，
由(2)得，大缸总量=5×小缸总量—8×卖掉的量，
因此，2×小缸总量=6×卖掉的量，得到小缸总量=3×卖掉的量，
大缸总量=3×小缸总量—2×卖掉的量=9×卖掉的量—2×卖掉的量=7×卖掉的量，因此3 口大缸装的量=7 口小缸装的量。
答：3口大缸装的酱油量等于7口小缸装的酱油量。
思维训练4
桌上有一大盒糖果和一小盒糖果，从两个盒子中分别拿出5 颗糖果，此时大盒中的糖果数是小盒中糖果数的2倍，继续从两个盒子中分别拿出5颗糖果，此时大盒中糖果数是小盒中糖果数的3倍，你知道两盒中原先各有多少颗糖果吗
2.有两个装满水的桶，第一次分别从两桶中倒出等量的水，发现大桶中的水量是小桶中水量的3倍，继续从两桶中分别倒出与第一次相同的水量，发现大桶中的水量是小桶中水量的6倍，你知道几桶小桶的水量等于几桶大桶的水量吗
竞赛强化
1. 已知△+○-★=3,△+△+○+○=20,○+★=11,那么△= ,= , = 。
2. 已知△+★=38,△+△+★+★+★=99。那么△= ,★= 。
3.东东家里有橘子、苹果和梨共63个，其中橘子数是苹果数的4倍，是梨个数的2倍，东东家有多少个梨
4.花店里有3种组合的玫瑰(如图)，每种组合的玫瑰都是 40元，请你求出红玫瑰、黄玫瑰以及粉玫瑰的单价。
5.古时候，人们还没有发明货币，会对东西进行等价交换满足生活的需要，例如8只兔子可以换2只羊，6只羊可以换3头鹿，9头鹿可以换6头牛，那么6头牛可以换多少只兔子
已知6袋面粉的重量和2袋大米的重量相同，爸爸买了3袋大米和1袋面粉共400千克，那么3袋大米重多少千克
7.在野生动物园里，大象比骆驼少3头，斑马比骆驼多7头，斑马的数量是大象数量的3倍，大象、斑马和骆驼各有多少头
8.3瓶水倒出来可以装满4只碗，6瓶水正好可以装满2个桶。那么4桶水可以装满多少只碗 装满 12 只碗需要多少桶水
9.旅游公司推出旅游航班的单程联票，供游客们在国内旅游。
已知1张成都到上海的票价+1张上海到北京的票价=2600元，
1张上海到北京的票价+1张北京到成都的票价=2800元，
1张北京到成都的票价+1张成都到上海的票价=3000元。
请问：成都到上海、上海到北京、北京到成都的飞机票分别是多少元
明明对家庭成员的年龄进行了统计，发现爸爸的年龄与妈妈的年龄之和是 80岁，爸爸和爷爷的年龄之差是 32岁，妈妈和奶奶的年龄之和是 107 岁，奶奶和爷爷的年龄之和是143岁，爷爷、奶奶、爸爸、妈妈的年龄各是多少岁
第 23 讲 等量代换法
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思维训练1
1. 11。提示:由题意得△= + + ,则△+△+△=9 ,而根据★+ =△+△+△,得★=8○,因此★+△=8○+3 =11
2. 5,1,3。提示:由★+★+ =★+△+△+△得★+○=△+△+△(1);由★+★+ =5 +4△,可得2★=4 +4△,即★=2○+2△(2);所以★+△+△+△=2 +5△=5 +4△,得△=3 ,所以5 +4△=5 +12 =17,所以 =1,△=3,★=2×1+2×3=5
思维训练2
1.由题意可得：10头猪=4头牛，那么5头猪=2头牛;
6只羊=3头牛，那么2只羊=1头牛；30只鸡=2只羊,那么15只鸡=1只羊;综上：5头猪=2头牛=4只羊=60只鸡答：用5头猪可以换60只鸡。
2.由题意得：3支钢笔=10 支毛笔+2本笔记本=22本笔记本+30支黑色水笔=96支黑色水笔
答：3支钢笔的价钱可以买96支黑色水笔。
思维训练3
1. 海豚:24÷(4—1)=8(条)鲸鱼: 8×4=32(条)
答：鲸鱼32条，海豚8条。
2. 妹妹:(2×6+6)÷(4—2)=9(个)姐姐:9×4=36(个)
答：姐姐有 36个玩具，妹妹有9个玩具。
思维训练4
1. 大盒—5=2×(小盒—5),大盒—10=3×(小盒-10),则大盒=2×小盒-5,大盒=3×小盒-20,2×小盒-5=3×小盒-20,小盒=15,大盒=2×15-5=25
答：小盒中原先有15颗糖果，大盒中原先有 25颗糖果。
2.大桶水量—倒出的水量=3×(小桶水量一倒出的水量) (1)
大桶水量-2×倒出的水量=6×(小桶水量—2×倒出的水量) (2)
由(1)得大桶水量=3×小桶水量-2×倒出的水量，
由(2)得大桶水量=6×小桶水量-10×倒出的水量，
因此3×小桶水量=8×倒出的水量，大桶水量=6×倒出的水量，
9×小桶水量=24×倒出的水量，4×大桶水量=24×倒出的水量
答：9 桶小桶的水量等于 4 桶大桶的水量。
竞赛强化
1. 6,7,4。提示:根据△+△+ + =20,得△+ =10,因为△+ -★=3,所以★=7。因为 +★=11,所以 =11—★=11—7=4,所以△=10— =10—4=6
2. 15,23。提示:根据△+★=38,可得△+△+★+★=38+38=76,因此★=99-76=23,△=38—23=15
3. 橘子数=4×苹果数=2×梨个数,所以2×苹果数=梨个数，那么橘子数+苹果数+梨个数=4×苹果数+苹果数+2×苹果数。苹果数:63÷7=9(个),梨个数:9×2=18(个)
答：东东家有18个梨。
4.观察第一种组合和第二种组合得：1朵红玫瑰=1朵粉玫瑰；观察第二种组合和第三种组合得：1朵黄玫瑰=2朵粉玫瑰。40÷4=10(元)
答：红玫瑰和粉玫瑰是10元，黄玫瑰是20元。
5. 根据6牛=9鹿,3鹿=6羊,可得6牛=9鹿=18羊。因为8兔=2羊,则 72兔=18羊=9鹿=6牛
答：6头牛可以换72 只兔子。
6. 3袋大米+1袋面粉=400千克,6袋面粉═2袋大米，那么3袋面粉=1袋大米，则9袋面粉+1袋面粉=400千克。面粉：400÷10=40(千克) 3袋大米:40×3×3=360(千克)
答：3袋大米重360千克。
7.由题意得：骆驼一大象=3，骆驼=3+大象;斑马-骆驼=7,即斑马=7+骆驼=7+3+大象;斑马=3×大象。所以10+大象=3×大象。大象:10÷2=5(头);斑马:5×3=15(头);骆驼:5+3=8(头)
答：大象有 5 头，斑马有 15 头，骆驼有8头。
8. 4桶水=12瓶水=16碗水,1 桶水=3瓶水,12碗水=9瓶水=3桶水
答：4 桶水可以装满16 只碗，装满12 只碗需要 3桶水。
9.由题意得，北京到成都的票价一成都到上海的票价=200元。
则北京到成都的票价+成都到上海的票价=2×成都到上海的票价+200 元=3000元。
所以成都到上海的票=1400元，则北京到成都的票价=1600元，上海到北京的票价=2800-1600=1200(元)
答：成都到上海的票价为1400元，上海到北京的票价为 1200 元，北京到成都的票价为1600元。
10. 由题意得:爸爸+妈妈=80 ①;爷爷一爸爸=32 ②;妈妈+奶奶=107 ③;奶奶+爷爷=143 ④。将②+①得:爷爷+妈妈=112 ⑤,将④——③得:爷爷一妈妈=36 ⑥;将⑤+⑥得:爷爷+妈妈+爷爷-妈妈=112+36=148,那么爷爷:148÷2=74(岁);爸爸:74——32=42(岁);妈妈:80—42——38(岁);奶奶:107-38=69(岁)
答:爷爷74岁,奶奶69岁,爸爸42岁,妈妈38岁。

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