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2023-2024学年湖北省武汉市武昌区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑。
1．9的算术平方根是（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．9
2．下列四个数中，属于无理数的是（　　）
A．0 B．1.33 C． D．
3．在平面直角坐标系中，点P（a﹣3，b+2）在y轴上，则a的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
4．把不等式组的解集﹣1＜x≤2在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（　　）
A．对旅客上飞机前的安检
B．了解全班同学每周体育锻炼的时间
C．了解武汉市中学生的眼睛视力情况
D．企业招聘，对应聘人员的面试
6．若是关于x，y的方程mx﹣2y＝2的一个解，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．4
7．下列命题正确的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．相等的角是对顶角
C．同旁内角互补，两直线平行
D．立方根等于本身的数为0和1
8．如果关于x，y的不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
9．如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　）
A．32° B．36° C．40° D．44°
10．若关于x，y的方程组的解满足不等式组，则满足条件的m的整数值是（　　）
A．2，3 B．2，﹣3 C．﹣2，﹣3 D．﹣2，3
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置。
11．化简：＝　 　．
12．在画频数分布直方图时，一组数据的最小值为149，最大值为172，若确定组距为3，则分成的组数是　 　．
13．点P（2m+4，m﹣1）在第四象限的角平分线上，则点P的坐标为 　 　．
14．如图，直线AB，CD交于点O，OC平分∠BOE，OE⊥OF，若∠DOF＝15°，则∠EOA＝　 　．
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足3x+15y＝16+2a，则a的值是 　 　．
16．小华在公园的环形跑道（周长大于1km）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前4km的记录如图所示．小华一共跑了21km且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 　 　．
三、解答题（共8个小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（8分）用两种方法解方程组．
18．（8分）解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得 　 　；
（2）解不等式②，得 　 　；
（3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 　 　．
19．（8分）如图，CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，求证：EF平分∠DEB．完成下面的证明过程．
证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠DCA＝　 　（两直线平行，内错角相等），
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCA＝∠DCE （角平分线的定义）．
∴∠DCE＝∠CDE （等量代换）．
∵CD∥EF，
∴∠CDE＝∠DEF 　 　，
　 　＝∠FEB（两直线平行，同位角相等），
∴∠DEF＝　 　（等量代换），
∴EF 平分∠DEB．
20．（8分）为满足学生的多元文化需求，促进学生身心健康发展，某校准备开展形式多样的特色课程，为了解学生对部分课程的喜爱程度，学校对部分学生进行了一次调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）请将上面统计图1补充完整并在图上标出数据；
（2）统计图2中，m＝　 　；“综合类”部分扇形的圆心角是 　 　°；
（3）若该校共有学生1000人，根据调查结果估计该校最喜欢“艺术类”特色课程的学生约有多少？
21．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC中任意一点P（a，b）经平移后对应点为P1（a﹣4，b+3），已知A（0，2），B（4，0），C（﹣1，﹣1），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1.
（1）画出平移后的△A1B1C1；
（2）直接求出△ABC的面积为 　 　；
（3）已知点P在y轴上，且△PAC的面积等于△ABC面积的一半，求P点的坐标．
22．（10分）用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和2块D型钢板．
（1）若需14块C型钢板和13块D型钢板，则恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？
（2）现准备购买A型钢板、B型钢板共50块，并全部加工成C型钢板、D型钢板，要求C型钢板不超过83块，D型钢板不超过70块，求购买A型钢板、B型钢板的方案共有多少种？
（3）在（2）的条件下，若出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元，则全部售出C型钢板、D型钢板可获得的最大利润为 　 　元．
23．（10分）如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O．
（1）如图1，若∠DCO＝50°，则∠BAO＝　 　°；
（2）如图2，点G在射线DC上，CP平分∠BCG，AH平分∠BAO，直线AH，CP交于点P，求∠HPC的度数；
（3）如图3，∠BOD的角平分线OE交AB于点E，点Q在射线OE上运动（点Q不与点O，E重合），点F在直线CD上，∠QFD比∠BEO大20°，若∠BAO＝30°，则∠EQF＝　 　．
24．（12分）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”．
只要其中任意两个代数式的和大于第三个代数式；
满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数．
例如：若三个代数式A，B和C构成关于x的不等式满足A+B＞C且解集为x＞2，则称A，B和C构成“和谐不等式”．
（1）判断代数式A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2是否构成“和谐不等式”？请说明理由．
（2）若A＝2x+m，B＝x，C＝3m+2构成“和谐不等式”，则m＝　 　．
（3）若A＝ax+a，B＝﹣bx，C＝2b构成“和谐不等式”，求关于x的一元一次不等式组的解集．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑。
1．解：∵32＝9，
∴9的算术平方根是3．
故选：C．
2．解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．1.33是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
3．解：∵点P（a﹣3，b+2）在y轴上，
∴a﹣3＝0，
∴a＝3．
故选：C．
4．解：在数轴上表示﹣1＜x≤2如下：
．
故选：B．
5．解：A、对旅客上飞机前的安检，适合全面调查；
B、了解全班同学每周体育锻炼的时间，适合全面调查；
C、了解武汉市中学生的眼睛视力情况，适合抽样调查；
D、企业招聘，对应聘人员的面试，适合全面调查；
故选：C．
6．解：把代入关于x，y的方程mx﹣2y＝2，得
2m﹣2×1＝2，
解得m＝2．
故选：B．
7．解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题错误，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题错误，不符合题意；
C、同旁内角互补，两直线平行，命题正确，符合题意；
D、立方根等于本身的数为0和±1，故本选项命题错误，不符合题意；
故选：C．
8．解：由x+3＜3x﹣1得，x＞2；
由于②的解集为x＞m，
只有当m≤2时，不等式组的解集才能为x＞2，
故m≤2．
故选：D．
9．解：如图：过点E作EG∥AB，
∴∠1＝∠MEG，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，
∴∠GEN＝∠CNE，
∵∠MEN＝∠MEG+∠GEN，
∴∠MEN＝∠1+∠CNE，
同理可得：∠F＝∠AMF+∠4，
∵ME平分∠AMF，NF平分∠CNE，
∴∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4，
∴∠MEN＝∠1+2∠4，∠F＝2∠1+∠4，
∵∠MEN+54°＝2∠F，
∴∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4），
∴∠1＝18°，
∴∠AMF＝2∠1＝36°，
故选：B．
10．解：，
②﹣①×2，得7y＝4，
解得y＝，
把y＝代入①，得x＝m+，
将代入不等式组，得，
即，
解得﹣4＜m≤﹣，
则m的整数值为﹣3或﹣2．
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置。
11．解：∵23＝8
∴＝2．
故填2．
12．解：∵＝≈7.7，
∴分成的组数是8组，
故答案为8．
13．解：由已知可得，
点P在y＝﹣x上，
即m﹣1＝﹣2m﹣4，
解得：m＝﹣1，
则点P的坐标为（2，﹣2）．
故答案为：（2，﹣2）．
14．解：∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∵∠DOF＝15°，
∴∠COE＝180°﹣∠EOF﹣∠DOF＝75°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠BOE＝2∠COE＝150°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝30°，
故答案为：30°．
15．解：，
②×3，得3x+9y＝6﹣6a③，
①﹣③，得x＝9+6a，
把x＝9+6a代入②，得y＝，
所以方程组的解是，
把代入3x+15y＝16+2a中，得
3（9+6a）+15×＝16+2a，
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．解：设环形跑道的周长为l km，
则根据四次记录的位置可知，
，
解得，
所以．
假设小华跑21km时，一共跑了x圈，
则xl＝21，
所以x＝，
则，
因为x为正整数，
所以x＝15，
即小华一共跑了15圈．
故答案为：15．
三、解答题（共8个小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．解：方法一：①×2得：3x﹣2y＝8③，
②+③得：6x＝18，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：9+2y＝10，
解得：y＝，
故原方程组的解是：；
方法二：由①得：y＝﹣4③，
把③代入②得：3x+2（）＝10，
解得：x＝3，
把x＝3代入③得：y＝，
故原方程组的解是：．
18．解：（1）解不等式①，得x≤1；
（2）解不等式②，得x＞﹣3；
（3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
（4）原不等式组的解集是﹣3＜x≤1．
故答案为：（1）x≤1；（2）x＞﹣3；（4）﹣3＜x≤1．
19．证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠DCA＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCA＝∠DCE （角平分线的定义），
∴∠DCE＝∠CDE （等量代换）．
∵CD∥EF，
∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），
∠DCE＝∠FEB（两直线平行，同位角相等），
∴∠DEF＝∠FEB（等量代换），
∴EF 平分∠DEB．
故答案为：∠CDE；两直线平行，内错角相等；∠DCE；∠FEB．
20．解：（1）30÷15%＝200（人），
则喜欢“艺术类”的学生有：200﹣30﹣50﹣60﹣20＝40（人），补全统计图如下：
（2）样本中喜欢“体育类”的学生所占的百分比为：60÷200×100%＝30%，即m＝30；
喜欢“综合类”的学生所对应的圆心角为：360°×＝36°，
故答案为：30，36；
（3）1000×＝200（人），
答：估计该校最喜欢“艺术类”特色课程的学生约有200人．
21．解：（1）由题意知，△ABC是向左平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到的△A1B1C1，
如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△ABC的面积为（2+3）×5﹣﹣＝﹣﹣4＝7．
故答案为：7．
（3）设点P的坐标为（0，m），
∵△PAC的面积等于△ABC面积的一半，
∴，
解得m＝9或﹣5，
∴点P的坐标为（0，9）或（0，﹣5）．
22．解：（1）设恰好用A型钢板x块，用B型钢板y块，
由题意得：，
解得：，
答：恰好用A型钢板5块，用B型钢板4块；
（2）设购买A型钢板m块，则购买B型钢板（50﹣m）块，
由题意得：，
解得：30≤m≤33，
∵m为正整数，
∴m＝30，31，32，33，
∴购买A型钢板、B型钢板的方案共有4种；
（3）设利润为w元，
由题意得：w＝100[2m+（50﹣m）]+120[m+2（50﹣m）]＝﹣20m+17000，
∵﹣20＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝30时，w有最大值＝﹣20×30+17000＝11000，
即全部售出C型钢板、D型钢板可获得的最大利润为11000元，
故答案为：11000．
23．解：（1）过O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥OE，
∴∠OAB＝∠AOE，∠OCD＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝∠OAB+∠OCD，
∵AD⊥BC，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
又∠DCO＝50°，
∴90°＝∠OAB+50°，
∴∠OAB＝40°，
故答案为：40；
（2）过O作OE∥AB，过P作PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PF，
∴∠FPH＝∠BAH，∠PCG＝∠CPF，
∴∠CPH＝∠CPF ∠HPF＝∠PCG ∠NAH，
由（1）可知∠AOC＝∠OAB+∠OCD，
∵∠GCB＝180° ∠OCD，∠AOC＝90°，
∴∠GCB ∠OAB＝90°，
∵CP平分∠BCG，AH平分∠BAO，
∴∠PCG＝∠BCG，∠BAH＝∠BAO，
∴∠GCB ∠OAB＝45°，即∠PCG ∠NAH＝45°，
∴∠CPH＝45°；
（3）∵∠AOC＝90°，∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝45°，
∴∠BEO＝∠ABO ∠BOE＝15°，
又∠QFD比∠BEO大20°，
∴∠QFD＝35°，
①当Q在线段OE上，F在线段CD上，如图，过Q作QM∥AB，
又AB∥CD，
∴AB∥CD∥QM，
∴∠QFD+∠FQM＝180°，∠EQM＝∠BEO＝15°，
∴∠FQM＝145°，
∴∠EQF＝∠EQM+∠FQM＝160°；
②当Q在线段OE上，F在线段CD延长线上，如图，过Q作QM∥AB，
同（1）可得∠EQF＝∠BEO+∠QFD＝50°；
③当Q在线段OE延长线上，F在线段CD上，如图，过Q作QM∥AB，
同（1）可得∠EQF＝∠QFD ∠BEO＝20°；
④当Q在线段OE延长线上，F在线段CD延长线上，如图，过Q作QM∥AB，
同①可求∠FQM＝145°，∠EQM＝15°，
∴∠EQF＝∠FQM ∠EQM＝130°，
综上，∠EQF的度数为160°或50°或20°或130°，
故答案为：160°或50°或20°或130°．
24．解：（1）A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2可以构成“和谐不等式”，
∵x﹣4+x+2＞2，即2x﹣2＞2的解集为x＞2，
∴A＝x﹣4，B＝x+2，C＝2可以构成“和谐不等式”，
（2）∵A＝2x+m，B＝x，C＝3m+2构成“和谐不等式”，
①当2x+m+x＞3m+2时，则x＞，
∴x＞2
∴＝2，
∴m＝2．
②当2x+m+3m+2＞x时，则x＞﹣4m﹣2，
∵x＞2，
∴﹣4m﹣2＝2，
∴m＝﹣1．
③x+3m+2＞2x+m时，则x＜2m+2，此时与定义不符，舍去．
综上，m的值为﹣1或2．
故答案为：﹣1或2．
（3）①当ax+a﹣bx＞2b时，则（a﹣b）x＞2b﹣a，
∵x＞2，
∴，
解得：，
代入得：﹣2＜x＜．
②当ax+a+2b＞﹣bx时，则（a+b）x＞﹣a﹣2b，
∵x＞2，
∴，
解得：，
代入得：，
∴无解．
③当﹣bx+2b＞ax+a时，则（a+b）x＜2b﹣a，
∵x＞2，
∴，
解得：a＝0，
∴不成立．
综上：﹣2＜x＜．

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