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三角形的高、中线与角平分线
【学习目标】
1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的稳定性.
2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
重点：三角形的高、中线与角平分线的特征.
难点：三角形的高、中线与角平分线的应用.
一、基础知识
1.三角形的高
2.三角形的中线
3.三角形角平分线
训练：1.按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线.
画中线AD,BE,CF 画高DG,EH,FM 画角平分线GM,HN,IP
2.几何语言表示三角形的高、中线、角平分线
几何推理 图例
三角形的高 ∵AD是△ABC的高， ∴①____⊥_____， ②∠ADB=∠______=______°
三角形的中线 ∵CF是△ABC的中线， ∴①AF=_____=______AC. ②AC=____AF=____CF. CB
三角形 的角平分线 ∵BE为△ABC的角平分线， ∴①∠1=∠_____=____∠ABC. ②∠ABC=____∠1=___∠2.
二、例题精选
【例1】在RtΔABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10.求AB边上高．
【例2】如图，钝角ΔABC.
（1)画出AC边上的高BM与BC边上的高AN;
（2)若AC=3BC,求的值。
【例3】如图，ΔABC中，AE,CD是ΔABC的两条高，AB=4,CD=3.
（1)请画出AE,CD;
（2)求ΔABC的面积；
（3)若AE=3,求BC的长．
【例4】如图AD为ΔABC的中线，点E为AD上一点，求证：SΔABE=SΔACE.
【例5】如图AD、BE、CF为ΔABC的三条中线，相交于点O,求证：.
【例6】如图，ΔABC的面积是60,AD:DC=1:3,BE:ED=4:1,EF:FC=4:5,求ΔBEF的面积．
【例7】如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
【例8】在ΔABC中，AB=2,BC=4,CD⊥AB于点D.
（1）如图1，AE⊥BC于点E，求证：CD=2AE;
（2）如图2，P是AC上任意一点（点P不与A，C重合），过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，求证：2PE+PF=CD;
（3）在（2）中，若P为AC的延长线上任意一点，其他条件不变，请你在备用图中画出图形，并探究线段PE，PF，CD之间的数量关系.
【例9】如图，长方形ABCE,长BC=12,AB=10,SΔDEF=24,求S阴影．
三、课后作业
1．下列说法正确的是（　　）
A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
4.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A B C D
5.（1） ∵BE是△ABC的角平分线，
∴____ = _____= _____.
（2）∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACB= 2______= 2______.
6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=____.
7.如图，ΔABC中，D，E分别为BC，AD的中点，SΔABC=20，则阴影部分的面积是（ ）
A.18 B.10 C.5 D.1
9.如图，在ΔABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且SΔABC=16cm2，则S阴影等于（ ）
A.8cm2 B.4cm2 C.2cm2 D.1cm2
10.如图，ΔABC中，D是AB的中点，且AE：CE=3:1,S△CEP=1，
则S△BPC=________.
11.在ΔABC中，AB=AC,，DB为ΔABC的中线，且BD将ΔABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边的长．
7.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.
12.如图，点O是等腰ΔAB底边BC上任意一点，过O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，若OE+OF=3,ΔABC的面积为12，则AB=_______.
13.如图，在ΔABC中，E为AC的中点，D为BC上一点，BD:CD=2:5,AD和BE交于点0,若SΔAOE-SΔBOD=5,求ΔABC的面积．

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