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第21讲三角函数的图象与性质
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域 R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心
对称轴方程 无
2.三角函数的周期性
(1)函数的最小正周期.应特别注意函数的周期为,函数的最小正周期.
(2)函数的最小正周期.应特别注意函数的周期为.函数的最小正周期均为.
(3)函数的最小正周期.应特别注意函数的周期为,函数的最小正周期均为.3.三角函数的奇偶性
(1)函数是奇函数,是偶函数;
(2)函数是奇函数,是偶函数;
(3)函数是奇函数.
4.三角函数的对称性
(1)函数的图象的对称轴由解得,对称中心的横坐标由解得;
(2)函数的图象的对称轴由解得,对称中心的横坐标由解得;
(3)函数的图象的对称中心由)解得.
题型一:定义域、值域、最值
1.(嘉峪关市第一中学高一期末)函数的最小正周期和最大值分别是()
A.和B.和2C.和D.和2
【答案】
【详解】
,
的最小正周期为,最大值为.
故选:C.
2.(全国高一课时练习)若,且,则的取值范围为()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
因为,所以,
因为,所以,
解得,
故选:C
3.(兴仁市凤凰中学高一期末)函数的最大值为()
A.B.C.2D.
【答案】
【详解】
所以当时,取得最大值2,
故选:C.
4.(四川南充 (文))函数的最大值为()
A.1B.C.D.3
【答案】
【详解】
解:(其中),
所以当时,取最大值,
故选:C
5.(张家口市宣化第一中学高一月考)当时,函数的最大值,最小值分别为()
A.1,-1B.2,-2C.1,D.
【答案】D
【详解】
又
,即.
故选:D.
6.(全国高一课时练习)函数,则的范围是()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
根据正弦函数图象可知在区间上,函数先增后减,
当时,,当时,.
故选:.
7.(全国高一课时练习)在上的最大值与最小值的和为(
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【详解】
当时,,
则当,即时,;当,即时,,
所以最大值和最小值的和为1.
故选:B.
8.(河南商丘 高一月考)若函数的最大值为,则实数的值为A.1B.C.2D.
【答案】B
【详解】
依题意,,
设锐角满足,则.
当时,函数的最大值为,因此.
当时,函数的最大值为,解得.
综上,实数的值为.
故选:B.
9.(天水市第一中学高三月考(文))函数是()
A.奇函数,且最大值为2B.偶函数,且最大值为2
C.奇函数,且最大值为9D.偶函数,且最大值为
【答案】D
【详解】
解:由题意得
又
当时,的最值为.
故选:D
10.(江苏亭湖 盐城中学高一月考)函数的值域为()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
因为,所以.即值域为,
故选:C.
11.(全国高一课时练习)函数的值域为,则以下不符合条件的为()
A.0B.C.D.
【答案】D
【详解】
因为值域为,当时,,
由对称性可知当时,,
由图象可知:,所以不符合条件,
故选:D.
12.(石泉县石泉中学高二开学考试(文))已知函数在处取得最小值,则()
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
函数在处取得最小值,
,又
解得:
故选:D
13.(全国高一课时练习)函数的值域为()
A.B.
C.D.
【答案】A
【详解】
解:因为,所以
因为在上单调递增,所以
即
故选:A
14.(全国高一课时练习)函数的定域是()
A.B.
C.D.
【答案】
【详解】
,
函数的定义域是
故选:.
15.(陕西省洛南中学)函数的定义域是(
A.B.
C.D.
【答案】
【详解】
解:因为正切函数的定义域为,
所以由,得.
故选:.
题型二:单调性
1.(赣州市赣县第三中学高二开学考试(理))函数的单调递增区间是()
A.B.
C.D.
【答案】
【详解】
,
令.
所以.
所以函数的单调递增区间为.
故选:C
2.(六安市裕安区新安中学高一期中)在区间上,下列说法正确的是()
A.是增函数,且是减函数
B.是减函数,且是增函数
C.是增函数,且是增函数
D.是减函数,且是减函数
【答案】A
【详解】
由正余弦函数的图象可知,在区间上,是增函数,且是减函数,故选:A.
3.(全国高一单元测试)函数的单调递减区间(
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】
解:由得得
所以函数的单调减区间为,
故选:D
4.(上海)函数是增函数,则可以是
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
由得,
所以增区间为,
当时,增区间为.
故选:B
5.(北京市第六十六中学高一期中)函数是()
A.奇函数,且在区间上单调递增B.奇函数,且在区间上单调递减
C.偶函数,且在区间上单调递增D.偶函数,且在区间上单调递减
【答案】D
由题意,函数的定义域,且,
所以函数为偶函数,
又由余弦函数的性质,可得在区间为递减函数.
故选:D.
6.(上海高一课时练习)使得不等式成立的的取值范围是()
A.B.
C.D.
【答案】
由不等式,
根据正切函数的图象与性质,可得,
即实数的取值范围是.
故选:C.
7.(湖北高一期末)函数的单调递增区间为(
A.B.
C.D.
【答案】
【详解】
由,可得,所以函数的单调递增区
间为,
故选C.
8.(全国)在)内,使成立的的取值范围为(
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】
由,可得.
再根据,求得,
故选:D.
9.(深州长江中学)函数的单调递增区间为(
A.B.
C.D.
【答案】
【详解】
根据正切函数性质可知,
当时,函数单调递增,
即,
故选:C.
题型三:奇偶性
1.(陕西汉中 高三月考(文))下列函数中是偶函数的为()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
A:,故为奇函数;
B:,故为奇函数;
C:,故为偶函数;
D:,故为奇函数.
故选:C
2.(陕西富平·高一期末)下列函数为奇函数的是()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
A.函数的定义域为,满足,所以函数是偶函数,故错误;
B.函数的定义域为,满足,所以函数是偶函数,故错误;
C.函数的定义域为,满足,所以函数是奇函数,故正确;
D.函数的定义域为,函数既不满足,也不满足,所以函数既不是奇函数,也不是偶函数,故错误.
故选:C
3.(云南昆明二十三中)函数是()
A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数
【答案】A
【详解】
由题意得,
所以,故为奇函数,
周期,
故选:A
4.(北京市第六十六中学高一期中)函数是()
A.奇函数,且在区间上单调递增B.奇函数,且在区间上单调递减
C.偶函数,且在区间上单调递增D.偶函数,且在区间上单调递减
【答案】D
【详解】
由题意,函数的定义域,且,
所以函数为偶函数,
又由余弦函数的性质,可得在区间为递减函数.
故选:D.
5.(全国高一单元测试)函数是()
A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的奇函数
【答案】A
【详解】
,所以函数最小正周期为,是偶函数,因此本题选
A.
6.(嘉峪关市第一中学(文))下列函数中,周期为,且在区间单调递增的是()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
A:的周期为单调递减,不合要求;
B:的周期为单调递增,不合要求;
C:的周期为单调递增,符合要求;
D:的周期为不单调,不合要求;
故选:C.
7.(全国高一课时练习)下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上为减函数的是()
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
对于选项A:由于的周期为,故选项A不正确;
对于选项B:由于以为最小正周期,且在区间上为减函数,故选项B不正确;
对于选项C:故由于的周期为,故选项C不正确;
对于选项D:由于在区间上为增函数,故选项D不正确.
故选:B
8.(广东江门 高一期末)下列四个函数中,在定义域内是偶函数且在区间上单调递增的是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】
解:A.,则是偶函数,
当时,为减函数,不满足条件.
B.是偶函数,当时,为减函数,不满足条件.
C.,则是偶函数,
当时,为减函数,不满足条件.
D.是偶函数,当时,为增函数,满足条件.
故选:D.
9.(上海高一课时练习)同时满足条件:①在上是增函数;②以为最小正周期;③是奇函数的函数是()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
解:对于,因为函数的最小正周期为,故错误;
对于,因为函数在上是减函数,且是上的偶函数,故错误;
对于,函数的单调增区间为,是以为最小正周期的奇函数,故正确;
对于,因为函数在上是减函数,且最小正周期为,故错误.
故选:C.
题型四:对称性
1.(江西九江一中高一期中)函数图象的对称轴方程为()
A.B.
C.D.
【答案】A
【详解】
的对称轴为,令,解得
故选:A.
2.(北京市昌平区实验学校)函数图象的一条对称轴是()
A.B.
C.D.
【答案】
【详解】
对于:将代入可得,故不是函数的对称轴,故选项不正确;
对于B:将代入可得,故不是函数的对称轴,故选项B不正确;
对于:将代入可得,故是函数的对称轴,
故选项正确;
对于D:将代入可得,故不是函数的对称轴,故选项D不正确;
故选:C.
3.(上海市嘉定区第一中学)给出下列命题:①函数是奇函数;②存在实数,使得;③若是第一象限角且,则;④是函数的一条对称轴方程;函数的图象关于点成中心对称图形其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【详解】
解:对于①,因为,所以此函数是奇函数,所以①正确;
对于②,因为,所以②错误;
对于③,若,此时,所以③错误;
对于,当时,,所以是函数的一条对称轴方程;当时,,所以函数的图象不关于点成中心对称图形,所以④错误,故选:A
4.(北京高二期末)函数的一条对称轴可以为()
A.B.
C.D.
【答案】
【详解】
解:因为,令,解得,即函数的对称轴为,当时,;
故选:C
5.(全国高一课时练习)函数的图象()
A.关于轴对称B.关于轴对称C.关于原点对称D.关于直线对称
【答案】B
【详解】
可得是由向上平移1个单位得到,
根据余弦函数的性质可得的图象关于轴对称.
故选:B.
6.(北京丰台·高一期中)函数的图象中,相邻两条对称轴之间的距离是()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
函数的最小正周期是,因此相邻两条对称轴之间的距离是.
故选:C.
7.(全国高一课时练习)函数的图象()
A.关于点对称B.关于点对称
C.关于直线对称D.关于直线对称
【答案】D
【详解】
由题设,由余弦函数的对称中心为,令,得,易知A、B错误;
由余弦函数的对称轴为,令,得,
当时,,易知错误,正确;
故选:D
8.(湖北十堰·高一期末)函数图象的一条对称轴可能是直线
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
令,解得.
当时,.
故选:A.
9.(山东威海·高一期末)如果函数的图像关于点对称,那么的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
由题意,,则,解得,
当时,的最小值为.
故选:B
10.(吉林高三模拟预测(理))函数图象的对称中心是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】
令,解得,则图象的对称中心为.
故选:D.
11.(全国)函数的图像的对称中心为()
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】
解:根据正切函数的对称中心是
令,解得;
所以函数的图像的对称中心为
故选:D
12.(全国高三专题练习(文))函数的一个对称中心是()
A.B.
C.D.以上选项都不对
【答案】
【详解】
解:因为正切函数图象的对称中心是;
令,解得;
所以函数的图象的对称中心为;
当时,正确,
故选:C.
13.(全国高一课时练习)函数的一个对称中心是()
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
函数中,
令;
解得;
所以时,的一个对称中心是.
故选:A.
14.(上海高一课时练习)函数图象的对称中心是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】
因为正切函数的对称中心为,
由可得,
因此,函数图象的对称中心是.
故选:D.中小学教育资源及组卷应用平台
第21讲 三角函数的图象与性质
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
图象
定义域
值域 R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心
对称轴方程 无
2．三角函数的周期性
(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．
(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．
(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为．
3．三角函数的奇偶性
(1)函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
(2)函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
(3)函数是奇函数 ()．
4．三角函数的对称性
(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；
(3)函数的图象的对称中心由)解得．
【题型一：定义域、值域、最值】
1．（嘉峪关市第一中学高一期末）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
2．（全国高一课时练习）若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（兴仁市凤凰中学高一期末）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（四川南充·（文））函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．3
5．（张家口市宣化第一中学高一月考）当时，函数的最大值，最小值分别为（ ）
A．1，-1 B．2，-2 C．1， D．2，-1
6．（全国高一课时练习）函数，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（全国高一课时练习）在上的最大值与最小值的和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（河南商丘·高一月考）若函数的最大值为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（天水市第一中学高三月考（文））函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为9 D．偶函数，且最大值为
10．（江苏亭湖·盐城中学高一月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
11．（全国高一课时练习）函数的值域为，则以下不符合条件的为（ ）
A． B． C． D．
12．（石泉县石泉中学高二开学考试（文））已知函数在处取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
13．（全国高一课时练习）函数，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
14．（全国高一课时练习）函数y＝tan的定域是（ ）
A． B．
C． D．
15．（陕西省洛南中学）函数的定义域是（　　　　）
A． B．
C． D．
【题型二：单调性】
1．（赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．（六安市裕安区新安中学高一期中）在区间上，下列说法正确的是（ ）
A．是增函数，且是减函数
B．是减函数，且是增函数
C．是增函数，且是增函数
D．是减函数，且是减函数
3．（全国高一单元测试）函数的单调递减区间（ ）
A． B．
C． D．
4．（上海）函数是增函数，则可以是
A． B． C． D．
5．（北京市第六十六中学高一期中）函数是（ ）
A．奇函数，且在区间上单调递增 B．奇函数，且在区间上单调递减
C．偶函数，且在区间上单调递增 D．偶函数，且在区间上单调递减
6．（上海高一课时练习）使得不等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（湖北高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
8．（全国）在)内，使成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．∪
9．（深州长江中学）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【题型三：奇偶性】
1．（陕西汉中·高三月考（文））下列函数中是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（陕西富平·高一期末）下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（云南昆明二十三中）函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
4．（北京市第六十六中学高一期中）函数是（ ）
A．奇函数，且在区间上单调递增 B．奇函数，且在区间上单调递减
C．偶函数，且在区间上单调递增 D．偶函数，且在区间上单调递减
5．（全国高一单元测试）函数是（ ）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数
6．（嘉峪关市第一中学（文））下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
7．（全国高一课时练习）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．（广东江门·高一期末）下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间上单调递增的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（上海高一课时练习）同时满足条件：①在上是增函数；②以为最小正周期；③是奇函数的函数是（ ）
A． B． C． D．
【题型四：对称性】
1．（江西九江一中高一期中）函数图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（北京市昌平区实验学校）函数图象的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
3．（上海市嘉定区第一中学）给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴方程；函数的图象关于点成中心对称图形其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（北京高二期末）函数的一条对称轴可以为（ ）
A． B．
C． D．
5．（全国高一课时练习）函数的图象（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称
6．（北京丰台·高一期中）函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．（全国高一课时练习）函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
8．（湖北十堰·高一期末）函数图象的一条对称轴可能是直线（ ）
A． B． C． D．
9．（山东威海·高一期末）如果函数的图像关于点对称，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（吉林高三模拟预测（理））函数图象的对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
11．（全国）函数的图像的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
12．（全国高三专题练习（文））函数的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上选项都不对
13．（全国高一课时练习）函数的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
14．（上海高一课时练习）函数图象的对称中心是（ ）
A． B．
C． D．

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