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第25讲平面向量的概念及线性运算
一.向量的基础概念
1.向量:既有大小又有方向的量:向量一般用来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表
示,如:向量的大小即向量的模(长度),记作或.
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
2.零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行零向量.由于的方向是任意的,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.
3.单位向量:模为1个单位长度的向量.向量为单位向量.
4.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上。方向相同或相反的向量,称为平行向量,记作由于向量可以进行任意的平移,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量.
数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.
两个向量共线的证明方法:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得。
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合,记为。
6.向量的加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
（1）用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。
（2）三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。设,则
当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
,但这时必须“首尾相连”.
7.向量的减法
①相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量
②向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,记作:,求两个向量差的运算,叫做向量的减法。
③作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。
8.向量的数乘运算
(1);(2);(3).
题型一:向量的模
1.(全国)如图,在平行六面体的棱中,与向量模相等的向量有
A.0个B.3个C.7个D.9个
【答案】
【详解】
由向量模相等,即为长度相等,根据平行六面体的结构特征可知:
与向量模相等的向量是:共7个.
故选:C.
2.(北京东城 )若都是单位向量,则下列结论一定正确的是()
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
方向相同大小相等的向量是相等向量,但是不一定方向相同,故A错误;
为的夹角,因为,所以,所以不一定等于1,故B
错误;
方向相同或者相反的向量是平行向量,但是不一定方向相同或相反,故错误;
因为都是单位向量,所以,所以,故D正确,
故选:D.
3.(全国)已知向量与的夹角为,且,则等于(
A.B.3C.D.
【答案】A
【详解】
两边平方,
所以,
故选:A.
4.(全国)如图所示,点是正六边形的中心,则以图中点中的任意一点为起点,与起点不同的另一点为终点的所有向量中,除向量外,与向量共线且模相等的向量共有
A.2个B.3个
C.6个D.7个
【答案】D
【详解】
因为点是正六边形的中心,所以,
且三点共线;
所以除向量外,与向量共线且模相等的向量有:,共7个.故选:D.
5.(全国高一课时练习)已知向量满足,且在方向上的投影与在方向上的投影相等,则等于()
A.B.C.4D.5
【答案】A
【详解】
设两个向量的夹角为,则,从而,
因为,故,所以.
故选:A.
6.(湖南张家界 高一期末)已知正方形的边长为1,则
A.2B.3C.D.
【答案】
【详解】
由题正方形的边长为1,根据向量加法法则,
故选:C
题型二:相等向量
1.(全国高一单元测试)设,向量.若,则的值分别是()
A.1,-1B.1,-3C.D.1,2
【答案】A
【详解】
因为,所以,解得.
故选:A.
2.(全国高二课时练习)下列关于空间向量的命题中,正确命题的个数是()
①任一向量与它的相反向量都不相等;
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;
③平行且模相等的两个向量是相等向量;
④若,则;
⑤两个向量相等,则它们的起点与终点相同.
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【详解】
解:零向量与它的相反向量相等,①错;
由相等向量的定义知,②正确;
两个向量平行且模相等,方向不一定相同,故不一定是相等向量,③错;
,可能两个向量模相等而方向不同,④错;
两个向量相等,是指它们方向相同,大小相等,向量可以在空间自由移动,故起点和终点不一定相同,⑤错.
所以正确的命题的个数为1,
故选:B.
3.(全国高一课时练习)如图,在四边形中,若,则图中相等的向量是()
A.与B.与
C.与D.与
【答案】D
【详解】
因为,所以四边形是平行四边形,所以互相平分。
对于A:与不平行,不可能相等,故A错误;
对于B:与大小相同,方向相反,故B错误;
对于与不平行,不可能相等,故错误;
对于D:大小相等,方向相同.即与是相等的向量.
故选:D.
题型三:平面向量加减法
1.(全国高二专题练习)若均为任意向量,,则下列等式不一定成立的是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】
选项是向量加法的结合律,正确;
选项B是向量数量积运算对加法的分配律,正确;
选项是数乘运算对向量加法的分配律,正确;
选项D.根据数量积和数乘定义,等式左边是与共线的向量,右边是与共线的向量,两者一般不可能相等,也即向量的数量积运算没有结合律存在.D错.
故选:D.
2.(全国高一课时练习)如图,向量,则向量可以表示为
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
如图,
.
故选:D.
3.(全国高一课时练习)向量化简后等于()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
故选:C.
4.(全国高一课时练习)如图,在正六边形中,等于
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
.
故选:A.
5.(全国高一课时练习)在中,点是边的中点,则()
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】
故选:D.
6.(全国高一课时练习)化简的结果等于()
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
.
故选:B
7.(山东高考真题)如下图,是线段的中点,设向量,那么能够表示为()
A.B.
C.D.
【答案】B
【详解】
由题意,.
故选:B
8.(全国高二课时练习)已知为空间中任意四个点,则等于
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
由空间向量的基本运算法则知,
故选:D
9.(福建厦门一中高二开学考试)如图,在平行四边形中,,则()(用表示)
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
由题意,在平行四边形中,,
根据平面向量的线性运算法则,可得
.
故选:D.
10.(北京市陈经纶中学)如图,是的边中点,则向量
A.B.
C.D.
【答案】D
【详解】
.
故选:D
题型四:平面向量共线定理
1.(全国高一课时练习)已知向量,则
A.三点共线B.三点共线
C.三点共线D.三点共线
【答案】A
【详解】
向量,
,即点三点共线.
故选:A.
2.(全国高二课时练习)已知向量,且,则一定共线的三点
是()
A.B.
C.D.
【答案】A
【详解】
因为,
所以三点共线.
故选:A
3.(浙江省诸暨市第二高级中学高一期中)已知向量,且与平行,则
A.B.0C.1D.
【答案】A
【详解】
因为向量,且与平行,
所以,解得,
故选:A.
4.(江苏省苏州实验中学高一月考)已知向量,若与共线,则实数
A.B.5C.D.1
【答案】B
【详解】
由题意,
解得.
故选:B
5.(银川三沙源上游学校高一期末(理))已知平面向量,若,则实数的
值为()
A.0B.-3C.1D.-1
【答案】
【详解】
因为
所以,解得.
故选:C
6.(全国高三专题练习(文))已知向量共线,则实数的值是()
A.1B.C.6D.-6
【答案】
【详解】
向量共线,
,
故选:C.
7.(南昌市八一中学(文))已知是两个不共线的非零向量,若,则实数
A.B.-2C.2D.
【答案】A
【详解】
因为,所以存在,使得,
所以,
又因为是两个不共线的非零向量,
所以,解得
故选:A
8.(全国高一课时练习)已知向量,若,则等于
A.-2B.2
C.D.【答案】
【详解】
因为,
又,
因为,所以,
整理得:.
故选:C.
9.(山东)已知向量,若与共线,则的值为()
A.B.2C.D.4
【答案】A
【详解】
易知不共线,可以作为基底,所以由与共线,得,
解得.
故选:A.
10.(全国高三专题练习)设是两个不共线的向量,若向量与向量共线,则()
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
由共线向量定理可知存在实数,使,
即,
又与是不共线向量,
故选:D中小学教育资源及组卷应用平台
第25讲 平面向量的概念及线性运算
一．向量的基础概念
1.向量：既有大小又有方向的量向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： 向量的大小即向量的模（长度），记作或
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
2.零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．
3.单位向量：模为1个单位长度的向量．向量为单位向量＝1?
4.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量?
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
两个向量共线的证明方法：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=
5.相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为
6.向量的加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点设，则+==
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”．
7.向量的减法
① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量
②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
8.向量的数乘运算
(1)；(2)；(3).
【题型一：向量的模】
1．（全国）如图，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有（ ）
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
2．（北京东城·）若都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（全国）已知向量与的夹角为，且，，则等于（ ）
A．3 B．3 C．3 D．2
4．（全国）如图所示，点是正六边形的中心，则以图中点中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线且模相等的向量共有（ ）
A．2个 B．3个
C．6个 D．7个
5．（全国高一课时练习）已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（湖南张家界·高一期末）已知正方形的边长为1,则=
A．2 B．3 C． D．
【题型二：相等向量】
1．（全国高一单元测试）设，向量，.若，则的值分别是（ ）
A．1，-1 B．1，-3 C．1，-2 D．1，2
2．（全国高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
①任一向量与它的相反向量都不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若，则；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（全国高一课时练习）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【题型三：平面向量加减法】
1．（全国高二专题练习）若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（全国高一课时练习）如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（全国高一课时练习）向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
4．（全国高一课时练习）如图，在正六边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
5．（全国高一课时练习）在中，点D是边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（全国高一课时练习）化简的结果等于（ ）
A． B． C． D．
7．（山东高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（全国高二课时练习）已知，，，为空间中任意四个点，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（福建厦门一中高二开学考试）如图，在平行四边形中，，，，则（ ）（用，表示）
A． B． C． D．
10．（北京市陈经纶中学）如图，是的边中点，则向量=（ ）
A． B．
C． D．
【题型四：平面向量共线定理】
1．（全国高一课时练习）已知向量，，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
2．（全国高二课时练习）已知向量，且=+，=+，=-，则一定共线的三点是（ ）
A． B．
C． D．
3．（浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）已知向量，，且与平行，则=（ ）
A． B． C． D．
4．（江苏省苏州实验中学高一月考）已知向量，，若与共线，则实数=（ ）
A． B． C． D．1
5．（银川三沙源上游学校高一期末（理））已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（全国高三专题练习（文））已知向量共线，则实数的值是（ ）
A．1 B． C．6 D．
7．（南昌市八一中学（文））已知，是两个不共线的非零向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
8．（全国高一课时练习）已知向量，，若，则等于（ ）
A．－2 B．2
C．－ D．
9．（山东）已知向量，若与共线，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
10．（全国高三专题练习）设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．

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