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第33讲 空间向量在空间几何中的运用
1求异面直线所成的角
已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为
第一步：
第二步：
2求直线和平面所成的角
求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角
第一步：
第二步：
3求二面角
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.如图：
求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形（或题目给定）确定是锐角或是钝角：
第一步：
第二步：根据题目给定的二面角是锐角还是钝角（或者根据题目图形考生判断锐角还是钝角）
①若判断二面角平面角为锐角则；
②若判断二面角平面角为钝角则
【题型一：异面直线所成角】
1．（全国高二课时练习）已知直线的方向向量与直线的方向向量，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（梅河口市第五中学）如图，在三棱柱中，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（深州长江中学）如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（全国高二课时练习）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）．
A． B． C． D．
5．（河南洛阳·（理））已知正方体的棱长为2，为侧面的中心，为侧面的中心，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（闽侯县第一中学高二月考）如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（山东曲阜一中高二月考）如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
8．（全国高二课时练习）如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
9．（全国高二课时练习）如图所示，垂直于正方形所在平面，，为的中点，，若以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
10．（江西景德镇一中）如图，在四棱锥中，，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【题型二：线面角】
1．（全国高二课时练习）已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．（全国高二课时练习）已知在长方体中，，，是侧棱的中点，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A．60° B．90°
C．45° D．以上都不对
3．（全国高二课时练习）正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
4．（云南）在正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（全国高二专题练习）若平面α的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与α所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（河南商丘·（理））在如图所示的四棱锥中，，，，，，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（浙江高三专题练习）在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（玉林市育才中学（理））在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（全国高二专题练习）如图，在直三棱柱的底面中，，，，则直线与平面所成角的正弦为（ ）
A． B． C． D．
10．（安徽滁州·高二期末（理））在直三棱柱中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，，，若点为的中点，则直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
11．（河南高二期末（理））在直棱柱中，，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（福建省泰宁第一中学高一期中）如图，在长方体中，，，与平面所成的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【题型三：二面角】
1．（武汉市吴家山中学高二月考）已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（ ）
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
2．（福建省长乐第一中学高二月考）已知向量分别是平面和平面的法向量，若，则平面与所成的角为（ ）
A．30° B．60° C．60°或120° D．30°或150°
3．（全国）在正方体中，二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．（全国高二单元测试）已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（ ）
A． B． C．或 D．
5．（全国高二课时练面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．以上都不对
6．（上海）如图，点 分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设二面角的大小为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（石家庄市第十七中学）如图，三棱锥中，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面垂直底面，设为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．（大连市第二十三中学高二月考）如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（浙江奉化·高二期末）正方体中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
10．（全国高二单元测试）过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．中小学教育资源及组卷应用平台
第33讲空间向量在空间几何中的运用
1求异面直线所成的角
已知为两异面直线,与分别是上的任意两点,所成的角为
第一步:.
第二步:
2求直线和平面所成的角
求法:设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为与的夹角为,则为的余角或的补角的余角
第一步:
第二步:
3求二面角
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点0,分别在两个半平面内作射线,则为二面角的平面角.如图:
求法:设二面角的两个半平面的法向量分别为,再设的夹角为,二面角的平面角为,则二面角为的夹角或其补角.根据具体图形(或题目给定)确定是锐角或是钝角:
第一步:
第二步:根据题目给定的二面角是锐角还是钝角(或者根据题目图形考生判断锐角还是钝角)
①若判断二面角平面角为锐角则;
②若判断二面角平面角为钝角则
题型一:异面直线所成角
1.(全国高二课时练习)已知直线的方向向量与直线的方向向量,则直线与所成角的余弦值为
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
因为,所以.又两条直线所成的角的取值范围为,所以直线与所成角的余弦值为.
故选:C
2.(梅河口市第五中学)如图,在三棱柱中,,则直线与直线所成角的余弦值为()
A.B.
C.D.
【答案】A
【详解】
不妨设,所以,
则,
所以.
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选:A
3.(深州长江中学)如图,已知棱长为2的正方体分别为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()
A.0B.
C.D.1
【答案】A
【详解】
如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,
则,
所以,
设异面直线与所成角为,
则,
故选:A
国高二课时练习)在直三棱柱中,,分别是的中点,,则与所成角的余弦值是().
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
解:如图建立空间直角坐标系,令,则,所以,设与所成角为,则
故选:A
5.(河南洛阳 (理))已知正方体的棱长为为侧面的中心,为侧面的中心,则直线与所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
以为坐标原点,为建立空间直角坐标系,
如图,,
则,
设直线与所成角为,
则.
故选:D
6.(闽侯县第一中学高二月考)如图,在四棱锥中,底面,底面为边长为2的正方形,为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
因为底面,所以,又,
所以以为原点,分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系:
则,
设异面直线与所成的角为,
则.
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选:A
7.(山东曲阜一中高二月考)如图,在空间四边形中,,,则与所成角的余弦值为(
A.B.
C.D.
【答案】A
【详解】
解:
设异面直线与的夹角为则
故选A
8.(全国高二课时练习)如图,长方体中,分别是、的中点,则异面直线与所成角的余弦值是(
A.0B.C.D.
【答案】A
【详解】
如图
所以
所以异面直线与所成角的余弦值
故选:A
9.(全国高二课时练习)如图所示,垂直于正方形所在平面,为的中点,,若以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,则点的坐标
为()
A.B.
C.D.
【答案】A
【详解】
设,则,
,
,
的坐标为,
故选:A.
10.(江西景德镇一中)如图,在四棱锥中,平面,,则异面直线与所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
如图所示,取的中点,连接,可得,
因为平面,所以平面,
又由且为的中点,所以,
以为坐标原点,以所在直线分别为轴,建立的空间直角坐标系,
如图所示,则,
故,
则.
故选:A.
题型二:线面角
1.(全国高二课时练习)已知向量分别是直线的方向向量和平面的法向量,若,则直线与平面所成的角为()
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
设直线与平面所成的角为,则.
.选项A正确,选项BCD错误
故选:A.
2.(全国高二课时练习)已知在长方体中,是侧棱的
中点,则直线与平面所成角的大小为()
A.B.
C.D.以上都不对
【答案】B
【详解】
以点为原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意知,,
所以.
设平面的一个法向量为,
则,得,
令,得,
设直线与平面所成角为,
所以,
又因为,
所以直线与平面所成的角为.
故选:B
3.(全国高二课时练习)正四棱锥中,,则直线与平面所成角的正弦值为
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系.
有图知,
由题得.
.
设平面的一个法向量,
则,,
令,得,
.
设直线与平面所成的角为,则.
故选:C..
4.(云南)在正方体中,为棱的中点,为棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为()
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
不妨设正方体的棱长为2,连接,以为坐标原点如图建立空间直角坐标系,
则,
由于平面平面,故
又正方形,故
平面
故平面,
所以为平面的一个法向量
故直线与平面所成角的正弦值为.
故选:D
5.(全国高二专题练习)若平面的一个法向量为,直线的一个方向向量为,则与所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
设与所成的角为,
则
故直线与所成角的余弦值为
故选:D
6.(河南商丘 (理))在如图所示的四棱锥中,,,且,则直线与平面所成角的正弦值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
取的中点.则.因为且.所以四边形是矩形,所以.因为且,所以平面.
以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
所以.
设平面的法向量为,
则取,得.
设直线与平面所成角为,则.
故选:A
7.(浙江高三专题练习)在正方体中,是的中点,则直线与平面所成角的正弦值为()
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
解:以为坐标原点,以为轴,以为轴,以为轴,建立如图空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,则
设平面的法向量为,
,
,令,则,
,
设直线与平面所成角为,则,
故选:B.
8.(玉林市育才中学(理))在长方体中,,则直线与平面所成角的正弦值为()
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
以点为坐标原点,以所在的直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,
则,
为平面的一个法向量.
.
直线与平面所成角的正弦值为.
故选:D.
9.(全国高二专题练习)如图,在直三棱柱的底面中,,则直线与平面所成角的正弦为()
A.
B.
C.
D.
【答案】
【详解】
以为轴,为轴,为轴建立空间坐标系,如图:
则,
设平面的一个法向量为,
则,即,令,则,
故平面的法向量,
所以直线与平面所成角的正弦
故选:C
10.(安徽滁州高二期末(理))在直三棱柱中,底面是腰长为2的等腰直角三角形,,,若点为的中点,则直线与平面所成的角为()
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
如图,建立空间直角坐标系,则
设平面的法向量为,由可取得一个法向量
设直线与平面所成的角为
则
故直线与平面所成的角为
故选:A.
11.(河南高二期末(理))在直棱柱中,,,则直线与平面所成角的正弦值为()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
以为坐标原点,射线的方向为轴的正方向,射线的方向为轴的正方向,射线的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.如图示:
由题可知.
于是.
设为平面的法向量,
则,即.
令,可得.
设直线与平面所成的角为,
则.
故选:C
12.(福建省泰宁第一中学高一期中)如图,在长方体中,与平面所成的正弦值为()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
以点为坐标原点,以所在的直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,
则,
,
因为,所以平面,
且为平面的一个法向量,
所以,
与平面所成角的正弦值为
故选:C.
题型三:二面角
1.(武汉市吴家山中学高二月考)已知两平面的法向量分别为,则两平面所成的二面角为()
A.B.
C.或D.
【答案】
【详解】
,即.
两平面所成二面角为或.
故选:C.
2.(福建省长乐第一中学高二月考)已知向量分别是平面和平面的法向量,若,则平面与所成的角为()
A.B.C.或D.或
【答案】B
【详解】
平面与平面所成角的范围是,
由于,
所以平面与所成的角为.
故选:B
3.(全国)在正方体中,二面角的余弦值是()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
解:如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
则,
所以,
设平面的一个法向量为,则
,则,
设平面的一个法向量为,
则,令,则,
设二面角的平面角为,由图可知为锐角,
所以,
故选:C
4.(全国高二单元测试)已知两平面的法向量分别为,则两平面所成的二面
角为()
A.B.C.或D.
【答案】
【详解】
因,所以.
因二面角的大小与二面角的两个半平面的法向量夹角相等或者互补,
所以两平面所成的二面角为或.
故选:C
5.(全国高二课时练面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则平面与平面夹角的余弦值为()
A.B.
C.D.以上都不对
【答案】B
【详解】
,
因此,向量与的夹角满足
又向量分别为平面和平面的法向量
平面与夹角等于向量的夹角,故平面与夹角的余弦值等于
故选B.
6.(上海)如图,点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上,,,设二面角的大小为,则
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
因为,
所以,
设平面的法向量为,则即取
又因为平面的法向量为,
所以
故选:B
7.(石家庄市第十七中学)如图,三棱锥中,底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形,且侧面垂直底面,设为线段的中点,为直线上的动点,若平面与平面所成锐二面角的平面角为,则的最大值是()
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形,侧面垂直底面,且由垂直,得底面,又垂直,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
设,则,
设,
设平面的一个法向量,
则,即,所以.
设平面的一个法向量,则,即,
解得,令,则,所以,设平面与平面所成锐二面角的平面
角为,则
当时,的最大值为.
故选:D
8.(大连市第二十三中学高二月考)如图,在直三棱柱中,,则与所成的角的余弦值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
如图,以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,
则,
所以,
所以,
所以直线与所成角的余弦值为.
故选:A.
9.(浙江奉化 高二期末)正方体中,二面角的大小是
A.B.C.D.
【答案】【详解】
解:以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
设正方体中棱长为1,
则,
设平面的法向量,
则,取,得,
设平面的法向量,
则,取,得,
设二面角的大小为,
则,
.
二面角的大小为.
故选:.
10.(全国高二单元测试)过正方形的顶点作线段平面,若,则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为()
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
解:设,
以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
,
设平面的法向量,
则,取,得,
平面的法向量,
设平面与平面所成的锐二面角为,
则,
故选:.

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