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第38讲 椭圆
1、椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
　注意：若，则动点的轨迹为线段；
　　　　若，则动点的轨迹无图形.
2、椭圆的简单几何性质
椭圆：与 的简单几何性质
标准方程
图形
性质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于轴、轴和原点对称
顶点 ， ，
轴长 长轴长=，短轴长= 长半轴长=，短半轴长=（注意看清题目）
离心率
；；； (p是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）
3、椭圆相关计算
（1）椭圆标准方程中的三个量的几何意义　
（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长 焦点弦：椭圆过焦点的弦。
最短的焦点弦为通经，最长为。
（3）最大角:是椭圆上一点，当是椭圆的短轴端点时，为最大角。
（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
焦点三角形的面积，其中（注意公式的推导）
【题型一：椭圆定义】
1．（乌苏市第一中学高二月考）若椭圆上一点到焦点的距离为2，则点到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（全国高二课时练习）设是椭圆上的点，到该椭圆左焦点的距离为2，则到右焦点的距离为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（福建省连城县第一中学高二月考）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B．6 C．4 D．
4．（吉林长春十一高高二月考）若椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是坐标原点，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（广东光明·高三月考）已知直线l：与曲线C：相交于两点，，则的周长是（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．（渝中·重庆巴蜀中学高二开学考试）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（全国高三专题练习（理））已知定点，且，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
8．（全国高三专题练习（理））已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B． C．4 D．6
9．（六安市裕安区新安中学高二开学考试（理））已知椭圆上的动点，则到该椭圆两焦点的距离之和为（ ）
A． B．4 C． D．8
10．（山西省长治市第二中学校高二期末（文））已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3，则点到另一个焦点的距离为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【题型二：椭圆标准方程】
1．（全国）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（沙坪坝·重庆八中高二月考）已知曲线表示椭圆，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（全国高二课时练习）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（全国高二课时练习）椭圆的焦距是2，则的值为（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．20
5．（全国高二课时练习）焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（全国）椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
7．（江苏广陵·扬州中学高二月考）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（全国）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
【题型三：离心率】
1．（毕节市实验高级中学高二月考（文））若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（泉州鲤城北大培文学校高二期中）椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（全国高二课时练习）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（贵溪市实验中学高三模拟预测）椭圆的离心率为（ ）
A．对 B．错
5．（全国高三专题练习（文））设椭圆C：的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（林芝市第二高级中学高二期末（文））椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（黑龙江实验中学高三模拟预测（文））已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（吉林（文））已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B．或2 C． D．或
9．（贵州高三模拟预测（理））已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B．6 C． D．12
10．（宁夏吴忠中学高二月考（文））椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型四：焦点三角形】
1．（广东光明·高三月考）已知直线：与曲线C：相交于两点，，则的周长是（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（全国高三专题练习（理））已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B． C．4 D．6
3．（全国）已知△的顶点 在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
4．（林芝市第二高级中学高三月考（文））已知，是椭圆：的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是（ ）
A． B． C．8 D．10
5．（怀仁市第一中学校云东校区（文））椭圆与轴的交点为，两个焦点为，，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（北京市育英学校高二期末）已知点分别是椭圆的左 右焦点,点P在此椭圆上,,则的面积等于
A． B． C． D．
7．（深州长江中学）设是椭圆上的一点，为焦点，且，则 的面积为
A． B． C． D．16
8．（黑龙江鹤岗一中高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（全国）椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积为，且，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（全国高二课时练习）椭圆的焦点为，，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么的值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
11．（全国高三专题练习（文））已知椭圆的左 右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12．（全国）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
13．（深圳市龙岗区平冈中学高三月考）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若以为直径的圆过点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．（浙江高二单元测试）已知椭圆的左 右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
15．（吉林高三模拟预测（理））已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，点为坐标原点，则（ ）
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第38讲椭圆
1、椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数,这个动点
的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形.
2、椭圆的简单几何性质
椭圆:与的简单几何性质
标准方程
图形
性质 焦点
焦距
范围
对称性 关于轴、轴和原点对称
顶点 ， ，
轴长 长轴长,短轴长长半轴长,短半轴长(注意看清题目
离心率
(p是椭圆上一点)(不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围)
3、椭圆相关计算
（1）椭圆标准方程中的三个量的几何意义
（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长焦点弦:椭圆过焦点的弦。
最短的焦点弦为通经,最长为。
（3）最大角:是椭圆上一点,当是椭圆的短轴端点时,为最大角。
（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
焦点三角形的面积,其中(注意公式的推导)
题型一:椭圆定义
1.(乌苏市第一中学高二月考)若椭圆上一点到焦点的距离为2,则点到焦点的距离为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【详解】
由椭圆方程知:,又,
.
故选:D
2.(全国高二课时练习)设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为2,则到右焦点的距离为()
A.2B.4C.8D.16
【答案】
【详解】
设该椭圆左焦点为,右焦点为,由题可知,所以,而,所以.故选:C.
3.(福建省连城县第一中学高二月考)已知的顶点在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长是
A.B.6C.4D.
【答案】D
【详解】
由椭圆,得:,
由题意可得的周长为:
故选:D.
4.(吉林长春十一高高二月考)若椭圆上一点到焦点的距离为为的中点,是坐标原点,则的值为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【详解】
因为椭圆,所以,设椭圆的另一个焦点为,则,
而是的中位线,所以.
故选:B.
5.(广东光明 高三月考)已知直线与曲线相交于两点,,则的周长是()
A.2B.C.4D.
【答案】D
【详解】
依题意椭圆,
椭圆的焦点为,
所以是椭圆的焦点,且直线过椭圆的另一个焦点.
所以的周长为.
故选:D
6.(渝中 重庆巴蜀中学高二开学考试)若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为4,则到另一个焦点的距离为()
A.3B.4C.5D.6
【答案】D
【详解】
设点到另一个焦点的距离为,
由椭圆方程可知,
则,所以.
故选:D
7.(全国高三专题练习(理))已知定点,且,动点满足,则动点的轨迹是()
A.椭圆B.圆C.直线D.线段
【答案】D
【详解】
因为,所以动点的轨迹是线段.
故选:D
8.(全国高三专题练习(理))已知的顶点在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长是()
A.B.C.4D.6
【答案】B
【详解】
椭圆,则,
由题意可得的周长为.
故选:B
9.(六安市裕安区新安中学高二开学考试(理))已知椭圆上的动点,则到该椭圆两焦点的距离之和为()
A.B.4C.D.8
【答案】D
【详解】
根据椭圆方程可得,
所以到该椭圆两焦点的距离之和为.
故选:D.
10.(山西省长治市第二中学校高二期末(文))已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3,则点到另一个焦点的距离为()
A.9B.7C.5D.3
【答案】A
【详解】
由椭圆定义知,点到另一个焦点的距离为.
故选:A
题型二:椭圆标准方程
1.(全国)以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程是()
A.B.
C.D.
【答案】
【详解】
双曲线的焦点为,顶点为,
所以椭圆的焦点坐标为,顶点为,
所以,
所依椭圆的方程为.
故选:C
2.(沙坪坝 重庆八中高二月考)已知曲线表示椭圆,则的取值范围为()
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
由题意可得,解得且,
所以的取值范围为.
故选:D
3.(全国高二课时练习)已知方程表示椭圆,则实数的取值范围是()
A.B.
C.D.
【答案】B
【详解】
由于方程表示椭圆,
所以.
故选:B
4.(全国高二课时练习)椭圆的焦距是2,则的值为(
A.5B.3C.5或3D.20
【答案】
【详解】
因为焦距是2,所以,
当焦点在轴时,
解得,,
当焦点在轴时,
解得,,
故选:C.
5.(全国高二课时练习)焦点坐标为,且长半轴的椭圆方程为
A.B.
C.D.
【答案】B
【详解】
因为,所以,而焦点在轴上,所以椭圆方程为.
故选:B.
6.(全国)椭圆与双曲线有相同的焦点,则实数等于()
A.B.-1C.1D.-1或1
【答案】D
【详解】
因为双曲线的焦点在横轴上,
所以由题意可得:,
故选:D
7.(江苏广陵 扬州中学高二月考)椭圆的焦点坐标为()
A.B.
C.D.
【答案】A
【详解】
由题得方程可化为,
所以
所以焦点为
故选:A.
8.(全国)已知椭圆的一个焦点坐标为,则的值为
A.1B.3C.9D.81
【答案】A
【详解】
由椭圆的一个焦点坐标为,则半焦距,
于是得,解得,
所以的值为1.
故选:A
题型三:离心率
1.(毕节市实验高级中学高二月考(文))若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
由题意:椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,
所以.
则,
所以离心率.
故选:B
2.(泉州鲤城北大培文学校高二期中)椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
解:因为椭圆方程为:,所以,所以,又,所以,所以
离心率
故选:D
3.(全国高二课时练习)已知椭圆的离心率为,则
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
,得,得,即.
故选:B
4.(贵溪市实验中学高三模拟预测)椭圆的离心率为
A.对B.错
【答案】B
【详解】
对于椭圆,
所以离心率为.
故选:B
5.(全国高三专题练习(文))设椭圆的左、右焦点分别为,过的直线与交于两点,若为等边三角形,则的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
由于为等边三角形,根据椭圆的对称性可知,
在Rt中,,
所以.
故选:A
6.(林芝市第二高级中学高二期末(文))椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】
【详解】
由椭圆方程可知,所以,
椭圆的离心率.
故选:C
7.(黑龙江实验中学高三模拟预测(文))已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,则的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
抛物线的焦点为,则椭圆的一个焦点为,则,解得,所以的离心率为.
故选:B.
8.(吉林(文))已知是1和9的等比中项,则圆锥曲线的离心率为()
A.B.或2C.D.或
【答案】B
【详解】
由是1和9的等比中项,可得,
当时,曲线方程为,该曲线为焦点在轴上的椭圆,离心率,
当时,曲线方程为,该曲线为焦点在轴上的双曲线,离心率,
故选:B.
9.(贵州高三模拟预测(理))已知椭圆的离心率为,则椭圆的长轴长为()A.B.6C.D.12【答案】【详解】
由题意可知:,解得,所以椭圆长轴长为:.
故选:.
10.(宁夏吴忠中学高二月考(文))椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
解:因为,所以,即,又因为,所以所以离心率
故选:B
题型四:焦点三角形
1.(广东光明 高三月考)已知直线与曲线相交于两点,,则的周长是()
A.2B.C.4D.
【答案】D
【详解】
依题意椭圆,
椭圆的焦点为,
所以是椭圆的焦点,且直线过椭圆的另一个焦点.
所以的周长为.
故选:D
2.(全国高三专题练习(理))已知的顶点在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长是()
A.B.C.4D.6
【答案】B
【详解】
椭圆,则,
由题意可得的周长为.
故选:B
3.(全国)已知的顶点在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长为()
A.2B.
C.4D.
【答案】D
【详解】
由椭圆方程知:,又,
的周长为,
故选:D.
4.(林芝市第二高级中学高三月考(文))已知是椭圆的两个焦点,若点是椭圆上的一个动点,则的周长是()
A.B.C.8D.10
【答案】A
【详解】
由椭圆知,
所以,
由椭圆的定义知,,
则的周长为:.
故选:A.
5.(怀仁市第一中学校云东校区(文))椭圆与轴的交点为,两个焦点为,则的面积为()
A.6B.8C.10D.12
【答案】D
【详解】
由椭圆可得,所以,
令可得,所以,
所以的面积为,
故选:D
6.(北京市育英学校高二期末)已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,,则的面积等于
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
椭圆
则,所以,
则
由余弦定理可知
代入化简可得,
则,
故选:B.
7.(深州长江中学)设是椭圆上的一点,为焦点,且,则的面积为
A.B.C.D.16
【答案】
【详解】
试题分析:设,则,
所以由余弦定理得:,即,
所以.
8.(黑龙江鹤岗一中高二月考)已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点（异于左、右顶点）,若的周长为6,且面积的最大值为,则椭圆的标准方程为()
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】
由椭圆的定义可得,
①,
当点为上顶点或下顶点时,的面积取得最大值为,
②.又③,
由①②③,得,
椭圆的标准方程为.
故选:A
9.(全国)椭圆的左、右焦点分别为的面积为,且
,则椭圆方程为()
A.B.
C.D.
【答案】D
由题意可得,且,
解得,所以椭圆的方程为,
故选:D.
10.(全国高二课时练习)椭圆的焦点为,点在椭圆上,如果线段的中点在轴上,那么的值为()
A.7B.5C.D.
【答案】A
【详解】
由可知,
所以,
所以,
线段的中点在轴上,且原点为线段的中点,
所以,所以轴,
可设,
把代入椭圆,得.
.
.
故选:A.
11.(全国高三专题练习(文))已知椭圆的左、右焦点分别是,直线与椭圆交于两点,,且,则椭圆的离心率是()
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
由椭圆的对称性,得.设,则.由椭圆的定义,知,即
,解得,故.
在中,由余弦定理,得,即
,则,故.
故选:B.
12.(全国)已知是椭圆的左,右焦点,点是椭圆上的一个动点,则的内切圆的半径的最大值是()
A.1B.C.D.
【答案】D
设的内切圆的半径为,
由,则
所以,
由,
即,
即,若的内切圆的半径最大,
即最大,又,
所以.
故选:D
13.(深圳市龙岗区平冈中学高三月考)已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若以为直径的圆过点,且,则的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】
在中,
设,则,
又由椭圆定义可知
则离心率,
故选:B.
14.(浙江高二单元测试)已知椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线与椭圆交于两点,若为正三角形,则该椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】
因为是正三角形,所以轴.
设,则,故,解得,
从而.将代入椭圆方程可得,
因此,得,故椭圆的离心率,
故选:D.
15.(吉林高三模拟预测(理))已知是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,,点为坐标原点,则
A.1B.C.D.
【答案】A
【详解】
设,由椭圆的定义可得,
由余弦定理可得,
即,即,解得,
所以,即点与椭圆的上顶点重合,
所以.
故选:A.

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