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擢英中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学 必修二
一、单选题：本题共八题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．1
3．设、为两个平面，、为两条直线，且．下述四个命题：
①若，则或 ②若，则或
③若且，则 ④若与，所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）．
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
4．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：PM2.5日均值在以下，空气质量为一级；PM2.5日均值在，空气质量为二级；PM2.5日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（ ）
A．这10天日均值的80%分位数为60
B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差
D．这10天的日均值的中位数为41
5．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个问题：①你的学号尾数是奇数吗？②你是否需要心理疏导？某校高三全体学生870人参加了该项问卷调查．被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，当出现1点或2点时，回答问题①，否则回答问题②．由于不知道被调查者回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能得到诚实的问卷反应．问卷调查结束后，发现该校高三学生中有155人回答“是”，由此可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为（ ）
A．10 B．15 C．29 D．58
8．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是线段，上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A．线段长度的最小值为2
B．满足的情况只有4种
C．无论，如何运动，直线都不可能与垂直
D．三棱锥的体积大小只与点的位置有关，与点的位置无关
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出选项中，有多余符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分．
9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A．图（1）的平均数＝中位数＝众数 B．图（2）的平均数＜众数＜中位数
C．图（2）的众数＜中位数＜平均数 D．图（3）的平均数＜中位数＜众数
10．下列描述正确的是（ ）
A．若事件，满足，则与是对立事件
B．若，，，则事件与相互独立
C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件
D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是
11．下列物体中，能够整体放入半径为1（单位：）的球体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．底面边长为，高为的正四棱柱
B．底面棱长为，侧棱长为正六棱锥
C．底面直径为，高为的圆柱
D．棱长均为的正四面体
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知从小到大排列的一组数据：1，5，，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则的值为______．
13．已知全校共3000名学生，其中有1800名男生，1200名女生，为调查学生的身高情况，按分层随机抽样的方法抽取20名学生的身高作为样本，样本中男生身高的平均数为170，方差为30，女生身高的平均数为160，方差为45估计总体的方差为______．
14．直四棱柱的底面正方形边长为2，侧棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于______．
四、解答题：本题共3小题，共27分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．已知向量与的夹角为120°，，．
（1）求在上的投影向量的模；
（2）求与的夹角的余弦值．
16．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求．
（2）若，，求的周长．
17．如图，，，，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到的距离．
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．B
5．B
6．B
7．B
8．ABD
9．ACD
10．BC
11．ABD
12．6
13．166 60
14．
15．（1）；（2）
16．（1）；（2）
17．（1）证明见详解；（2）
【详解】（1）由题意得，，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）取的中点，连接，，因为，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，
可得，，，，
又，所以，故．
又，，，平面，所以平面，
易知．
在中，，
所以，．
设点到平面的距离为，由，
得，得，
故点到平面的距离为．

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