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浙教版九年级上册数学 期中测试（1-3章）
【浙教版】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
满分：120分 考试时间：120分钟
题号 一 二 三 总分
得分
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（　　）
A．y＝﹣x2+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x+3 D．x2y＝1
2．下列事件为必然事件的是（　　）
A．小王一次数学考试成绩是满分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．中国足球队与巴西队在世界杯比赛中以3：0获胜
D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
3．在同一平面直角坐标系中，先将抛物线L1：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线L2，再将抛物线L2通过上下平移得到抛物线L3：y＝x2﹣2x+2，则抛物线L2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
4．若抛物线y＝（1﹣a）x的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则a的值为（　　）
A． B．﹣ C．± D．0
5．已知⊙O的半径为2，点P为⊙O内一定点，且PO＝1．过点P作⊙O的弦，其中最短的弦的长度是（　　）
A．4 B． C．2 D．2
6．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB＝CD＝8，则OP的长为（　　）
A． B． C．4 D．2
8．已知△ABC外接圆的半径为2，BC＝2，则∠A的度数是（　　）
A．120° B．30°或120° C．30°或60° D．60°或120°
9．同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③若点M（，y1）点N（，y2）是函数图象上的两点则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣；⑤若t为任意实数，则at2+bt＜4a+2b．其中正确的结论有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）
11．二次函数y＝kx2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 　 　．
12．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标为 　 　．
13．如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD＝8，BC＝，则AD的长为 　 　．
14．射阳“日月岛旅游风景区”有A，B，C三个入口，在三个入口中，每位游客都可随机选择其中的一个入口进入，“五一”期间有甲、乙两位同学准备进入“日月岛旅游风景区”游玩．甲、乙两位同学从同一个入口进入景区的概率为 　 　．
15．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，的度数为 　 　．
16.在一个不透明的袋中装材质、大小完全相同颜色不同的若干个红球和3个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有 　 　个．
17.如图，把一只篮球放在高为16cm的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截面如图所示．若量得EF＝24cm，则该篮球的半径为　 　cm．
18.实数a，b满足a2+b2﹣2a＝0，则4a+b2的最大值为 　 　．
19.如图，AB为⊙O的直径，点C为劣弧的中点，若∠BAC＝30°，AB＝4，则阴影部分的面积是 　 　．
20.定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题（本大题共6小题，前5小题每小题8分，第6小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21.已知抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为A，与x轴的交点为B、C（点B在点C左边）．
（1）直接写出点A、B、C的坐标．
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这条抛物线．
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
22.“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免玻．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个杜区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为 　 　；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
23.在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标．
24.我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
25.已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．
（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．
（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．
①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．
②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．
26.已知二次函数y＝ax2﹣4ax+a﹣b （a≠0）的图象与平行于x轴的直线l交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣1，2）．
（1）求B的坐标．
（2）若将直线l向上平移3个单位后与函数y的图象只有一个交点，求函数y的表达式．
（3）已知P（1，p），Q （1+a，q）都在函数y的图象上，且p＞q．求a的取值范围．
参考答案
选择题
1.【答案】解：A选项，y＝﹣x2+1是二次函数，故该选项符合题意；
B选项，没有说a≠0，不一定是二次函数，故该选项不符合题意；
C选项，y＝2x+3是一次函数，故该选项不符合题意；
D选项，y＝＝x﹣2，不是二次函数，故该选项不符合题意；
故选：A．
2.【答案】解：A．小王一次数学考试成绩是满分，是随机事件，选项不符合题意；
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心，是随机事件，选项不符合题意；
C．中国足球队与巴西队在世界杯比赛中以3：0获胜，是随机事件，选项不符合题意；
D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球，是必然事件，选项符合题意；
故选：D．
3.【答案】解：抛物线L1：y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），抛物线L2：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）．
则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线L2．
所以抛物线L2是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，
所以其顶点坐标是（1，﹣2）．
故选：C．
4.【答案】解：∵抛物线y＝（1﹣a）x的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴，
解得a＝，
故选：A．
5.【答案】解：当过P的弦与OP垂直时，此时的弦长最短，连接OA，
利用垂径定理得到P为AB的中点，即AP＝AB，
在Rt△AOP中，OA＝2，OP＝1，
根据勾股定理得：AP＝＝＝，
则过点P最短的弦长AB＝2．
故选：C．
6.【答案】解：根据题意画图如下：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P＝＝．
故选：C．
7.【答案】解：连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，则∠OFP＝∠OEP＝∠CEO＝∠AFO＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠EPF＝90°，
∴四边形OFPE是矩形，
∴OE＝FP，EP＝OF，
∵OF⊥AB，OF过O，AB＝8，
∴AF＝BF＝4，
由勾股定理得：OF＝＝＝2，
同理OE＝2，
即FP＝OE＝2，
在Rt△OFP中，由勾股定理得：OP＝＝＝2，
故选：B．
8.【答案】解：作直径CD，点A在上，点A′在上，如图，
∵CD为直径，
∴∠CBD＝90°，
在Rt△BCD中，∵sinD＝＝＝，
∴∠D＝60°，
∴∠A＝∠D＝60°，∠A′＝180°﹣∠D＝120°，
即∠A的度数是60°或120°．
故选：D．
9.【答案】解：A、由一次函数y＝ax+b的图象可得a＜0，由二次函数y＝ax2+b的图象可得a＞0，故A不可能；
B、一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点为（﹣，0），二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴的交点为原点和点（﹣，0），
故两个图象交x轴同一点，故B不可能；
C、由一次函数y＝ax+b的图象可得a＞0，由二次函数y＝ax2+b的图象可得a＜0，故C不可能；
D、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，由二次函数y＝ax2+b的图象可得a＜0，b＜0，两图象交于x轴同一点，故D有可能；
故选：D．
10.【答案】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵﹣＝2＞0，
∴b＞0．
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），
对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
故②正确；
③由于（，y2）关于直线x＝2的对称点的坐标为（，y2），
∵＜，
∴y1＜y2，
故③正确；
④∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵x＝﹣1，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜﹣5a＜3，
∴﹣＜a＜﹣，
故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴若t为任意实数，则at2+bt+c≤4a+2b+c，即at2+bt≤4a+2b．
故⑤错误；
故选：D．
填空题
11.【答案】解：∵二次函数y＝kx2﹣3x+1的图象与x轴有公共点，
∴△＝（﹣3）2﹣4k×1≥0，
解得：k≤，
又∵y＝kx2﹣4x+2是二次函数，
∴k≠0，
∴k的取值范围是k≤且k≠0．
故答案为：k≤且k≠0．
12.【答案】解：∵抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点坐标为（0，0），（2，0），
∴抛物线解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x；
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线y＝x2+ax+b的顶点坐标为（1，﹣1），
∵点（1，﹣1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣1，﹣4），
∴平移后抛物线的顶点坐标为 （﹣1，﹣4）．
故答案为（﹣1，﹣4）．
13.【答案】解：连接AC，
∵∠ADB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴＝，
∴AC＝BC＝5，
∴AB＝AC＝10，
∵BD＝8，
∴AD＝＝6，
故答案为：6．
14.【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学从同一个入口进入景区的有3种，
则甲、乙两位同学从同一个入口进入景区的概率是＝．
故答案为：．
15.【答案】解：连接OB，如图，
∵OB＝OC，OC＝AB，
∴OB＝AB，
∴∠A＝∠BOA，
∴∠EBO＝∠A+∠BOA＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠E＝∠EBO＝2∠A，
∵∠EOD＝∠E+∠A，
∴2∠A+∠A＝84°，解得∠A＝28°，
∴∠E＝∠EBO＝56°，
∴∠BOE＝180°﹣∠E﹣∠EBO＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∴的度数为68°．
故答案为68°．
16.【答案】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，口袋中有3个白球，
∵假设有x个红球，
∴＝0.75，
解得：x＝9，
经检验x＝9是分式方程的解，
∴口袋中红球约有9个．
故答案为：9．
17.【答案】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝16cm，
设OF＝xcm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝16﹣x，MF＝12cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（16﹣x）2+122＝x2
解得：x＝12.5（cm），
故答案为：12.5．
18.【答案】解：设y＝4a+b2，则b2＝y﹣4a，
∵a2+b2﹣2a＝0，
∴a2+y﹣4a﹣2a＝0，
∴y＝﹣a2+6a＝﹣（a2﹣6a+9﹣9）＝﹣（a﹣3）2+9，
∵b2＝y﹣4a，
∴y﹣4a≥0，即﹣a2+6a﹣4a＝﹣a2+2a≥0，
∴0≤a≤2，
∴当a＜3时，y随a的增大而增大，
∴当a＝2时，y有最大值是8，
即4a+b2的最大值为8．
故答案为：8．
19.【答案】解：如图，连接OF，OC，CF，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵点C为劣弧的中点，
∴＝，
∴∠FOC＝∠BOC＝60°，
∵OF＝OC，
∴△COF是等边三角形，
∴∠OCF＝∠COB＝60°，
∴CF∥AB，
∴S△ACF＝S△COF，
∴阴影部分的面积＝S扇形COF，
∵AB＝4，
∴FO＝OC＝OB＝2，
∴S扇形FOC＝＝π，
即阴影部分的面积为：π，
故答案为：π．
20.【答案】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．
∵此抛物线的对称轴为直线x＝＝＝，
∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0，即y轴．故①正确；
∵当m＝2时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝0，则y＝0，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；
∵m＜0，
∴对称轴x＝＝，抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
即x＞时，y随x的增大而减小．
而＜，
故④错误．
故答案为：①②③．
解答题
21.【答案】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点A（2，4），
在y＝﹣x2+4x中，令y＝0，则﹣x2+4x＝0，
解得x1＝0，x2＝4，
∴B（0，0），C（4，0）；
（2）描点、连线，画出函数图象如图：
；
（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
22.【答案】解：（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有4种，
∴居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为＝．
23.【答案】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴该二次函数的解析式为y＝（x+2）（x﹣4），
即y＝x2﹣x﹣4．
（2）如图，连接OP，
设P（m，m2﹣m﹣4），由题意可知：A（﹣2，0）、C（0，﹣4）；
∵S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP，
∴×2×4+×4×m﹣×2×（﹣m2+m+4）＝；
整理得：m2+2m﹣15＝0，
解得m＝3或m＝﹣5（舍弃），
∴P（3，﹣）．
24.【思路点拨】（1）根据当天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，直接写出y与x之间的函数关系式即可；
（2）当y＝240时，得关于x的一元二次方程，解方程即可．
【答案】解：（1）由题意得：
y＝（x﹣5）[100﹣×5]
＝﹣10x2+210x﹣800，
答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+210x﹣800；
（2）当y＝240时，即﹣10x2+210x﹣800＝240，
解得x1＝8，x2＝13，
答：要使当天的销售利润为240元，当天的售价为8元或13元．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键．
25.【思路点拨】（1）如图1，利用AB＝CD得到＝，则＝，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，然后根据等腰三角形的判定得到结论；
（2）①连接AC，如图，由弧BE＝弧BC得到∠CAB＝∠EAB，再根据等腰三角形的判定方法得到AC＝AF，则∠ACF＝∠AFC，然后圆周角定理、对顶角和等量代换得到∠DFE＝∠E；
②由∠DFE＝∠E得DF＝DE＝7，再利用AM＝DM得到AM＝MF+7，加上AM+MF＝17，于是可求出AM，然后根据三角形面积公式求解．
【答案】（1）证明：如图1，
∵AB＝CD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠A＝∠D，
∴AM＝DM；
（2）①∠E与∠DFE相等．
理由如下：
连接AC，如图，
∵弧BE＝弧BC，
∴∠CAB＝∠EAB，
∵AB⊥CD，
∴AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，
∴∠DFE＝∠E；
②∵∠DFE＝∠E，
∴DF＝DE＝7，
∵AM＝DM，
∴AM＝MF+7，
∵AM+MF＝17，
∴MF+7+MF＝17，解得MF＝5，
∴AM＝12，
∴S△ADF＝×7×12＝42．
26.【答案】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+a﹣b，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵点A的坐标为（﹣1，2）．
∴B（5，2）；
（2）由题意可知，抛物线的顶点的纵坐标为5，
∴＝5，
﹣b﹣3a＝5，
∵二次函数y＝ax2﹣4ax+a﹣b （a≠0）经过点A（﹣1，2），
∴a+4a+a﹣b＝2，即6a﹣b＝2，
由，解得，，
∴函数y的表达式为y＝﹣x2+x+；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，
①当a＞0时，抛物线开口向上，且＜2，则p＞q，
解得0＜a＜2；
②当a＜0时，抛物线开口向下，
∵a+1＜1＜2，则p＞q，
故a的取值范围为：a＜2且a≠0．
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