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浙教版九年级上册数学 第三单元 单元测试
【浙教版】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
满分：120分 考试时间：120分钟
题号 一 二 三 总分
得分
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1．已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（　　）
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定
3．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC'∥AB，划∠BAB′的度数是（　　）
A．35° B．40° C．50° D．70°
4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于（　　）
A．65° B．25° C．15° D．35°
6．如图所示，一圆弧过方格的格点ABC，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（　　）
A．1 B．2 C． D．2
8．如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A4（﹣1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2．…，依此类推，经过3次翻滚后点A对应点A3的坐标为（　　）
A．（5，2） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，0）
9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　）
A．1 B．2﹣1 C． D．﹣1
10．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（　　）
A． B．7﹣4 C． D．1
填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）
11．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD＝　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为 　 　．
13．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　 　度．
14．如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′＝　 　°．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC为平行四边形，则∠D＝　 　度．
16.如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、1、，则正方形ABCD的面积为 　 　．
17.如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 　 　．
18.已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为 　 　．
19.如图，AB是圆O的直径，AB＝8，点M在圆O上，∠MOB＝60°，N是的中点，P为AB上一动点，则PM+PN的最小值是　 　．
20.如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为　 　．
解答题（本大题共6小题，前5小题每小题8分，第6小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21.如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
22.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标．
23.如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）若∠ACO＝25°，求∠BCD的度数．
（2）若EB＝4cm，CD＝16cm，求⊙O的半径．
24.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
25.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
26.（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 　 　．（无需证明）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．
参考答案
选择题
1.【答案】A
【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故选：A．
2.【答案】B
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
3.【答案】B
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
∵将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝70°，AC′＝AC，
∴∠C＝∠AC′C＝∠C′CA＝70°，
∴∠C′AC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠C′AC＝∠BAB′＝40°，
即旋转角的度数是40°，
故选：B．
4.【答案】C
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，
∴，
在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，
由勾股定理可得：．
故选：C．
5.【答案】B
【解答】解：∵∠AOC＝130°，
∴∠BOC＝50°，
∴∠D＝∠BOC＝25°，
故选：B．
6.【答案】C
【解答】解：如图所示，
连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点A的坐标为（0，4），
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选：C．
7.【答案】B
【解答】解：∵A（1，），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB＝，
∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
由旋转的性质可知，∠AOB＝∠A′OA＝60°，
∵OA＝OA′，
∴△ABC是等边三角形，
∴AA′＝OA＝2OB＝2，
故选：B．
8.【答案】D
【解答】解：如图，A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），
故选：D．
9.【答案】D
【解答】解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，
当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆（CA：PA＝1：2，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆），当O、C、D共线时，OC的长最小，
设线段AB交⊙B于Q，
Rt△AOB中，OA＝3，OB＝3，
∴AB＝3，
∵⊙B的半径为2，
∴BP1＝2，AP1＝3+2，
∵C1是AP1的中点，
∴AC1＝+1，AQ＝3﹣2，
∵C2是AQ的中点，
∴AC2＝C2Q＝﹣1，
C1C2＝+1﹣（﹣1）＝2，即⊙D的半径为1，
∵AD＝﹣1+1＝＝AB，
∴OD＝AB＝，
∴OC＝﹣1，
方法二：如图，取A′（0，﹣3），连接PA′．
根据三角形中位线定理可知：PA′＝2OC，求出PA′的最小值即可解决问题．
故选：D．
10.【答案】D
【解答】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动，
连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴所对圆周角为60°，
∴∠BOC＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．
故选：D．
填空题
11.【答案】40°．
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△COD，
∴∠AOC＝55°，∠COD＝∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝55°﹣15°＝40°，
故答案为：40°．
12.【答案】1．
【解答】解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，
∴AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，
∵∠D＝90°，
∴B'D＝＝＝4，
∴B'C＝CD﹣B'D＝1，
故答案为：1．
13.【答案】60．
【解答】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转60°，旋转6次所组成，故最小旋转角为60°．
故答案为：60．
14.【答案】60．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故答案为：60．
15.【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B＝180°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOC，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠AOC＝∠B，
∴2∠D＝180°﹣∠D，
解得，∠D＝60°，
故答案为：60．
16.【答案】13．
【解答】解：将△ABP绕点B顺时针旋转90得△CBE，连接PE，过点B作BH⊥PE于H，
∴BP＝BE，∠PBE＝90°，∠APB＝∠CEB，AP＝CE，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴PE＝，
∵PE2+CE2＝（）2+（2）2＝10，
PC2＝（）2＝10，
∴PE2+CE2＝PC2，
∴∠PEC＝90°，
∴∠BEC＝∠APB＝135°，
∴∠APB+∠BPE＝135°+45°＝180°，
∴点A、P、E三点共线，
∵PE＝，
∴PH＝BH＝，
∴AH＝AP+PH＝，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
AB2＝BH2+AH2＝（）2+（）2＝13，
∴正方形ABCD的面积为：13．
故答案为：13．
17.【答案】25．
【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝10，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∵AD⊥A1B，
∴AD＝AB＝5，
∴S△A1BA＝×10×5＝25，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝25，
故答案为：25．
18.【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．
∵⊙O的直径为AB，C为的中点，
∴∠APC＝45°，
又∵CD⊥CP，
∴∠DCP＝90°，
∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，
又∵AB＝6，C为的中点，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝3，
∴△ACQ中，AQ＝3，
∴BQ＝＝3，
∵BD≥BQ﹣DQ，
∴BD的最小值为3﹣3．
故答案为3﹣3
19.【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作点M关于AB的对称点M'，连接NM'，交AB于点P，此时PM+PN有最小值，
连接ON，OM，
则OB垂直平分MM'，，
∴∠M'OB＝∠MOB＝60°，
∵N是的中点，
∴，
∴∠MON＝∠BON＝∠MOB＝30°，
∴∠NOM'＝∠NOB+∠M'OB＝90°，
∵AB＝8，
∴ON＝OM'＝4，
在等腰Rt△ONM'中，
NM'＝ON＝4，
∵MP＝M'P，
∴MP+NP＝M'N＝4，
故答案为：4．
20.【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC与Q，延长QP⊙P于O'，连接PA、PC．
当点O在圆周上运动到点O'，即点O与O'重合时，点O到AC距离最大．
∵∠MON＝45°，
∴∠CO'A＝45°，
∴∠CPA＝90°，
∵PQ⊥AC，
∴QA＝QC＝AC＝3，
∴PQ＝AC＝3，
PA＝QA＝3，
O'P＝AP＝3，
∴O'Q＝O'P+PQ＝3+3．
故答案为3+3．
解答题
21.【答案】（1）；
（2）90°．
【解答】解：（1）如图，连接OA，
∵AB＝6，OD⊥AB，
∴AD＝3，
∵OD＝3，
∴△OAD是等腰直角三角形，
在Rt△AOD中，，
∴这个管道横截面的半径为；
（2）在等腰直角△ADO中，∠AOD＝45°，
在等腰直角△BDO中，∠BOD＝45°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝45°+45°＝90°，
∴∠AOB＝90°．
22.【答案】（1）A1（﹣1，﹣1），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣4）；
（2）（2，0）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（﹣1，﹣1），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣4）．
（2）如图，P点坐标为（2，0）．
23.【答案】（1）证明见解答过程；
（2）10cm．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE＝ED，＝，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD，
∵∠ACO＝25°，
∴∠BCD＝25°；
（2）解：设⊙O的半径为Rcm，
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，CD＝16cm，
∴CE＝CD＝×16＝8（cm），
在Rt△CEB中，EB2＝BC2﹣CE2，EB＝4cm，
∴OE＝（R﹣4）cm，
在Rt△CEO中，OC2＝OE2+CE2，
∴R2＝（R﹣4）2+82，
∴R＝10，
∴⊙O的半径为10cm．
24.【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
25.【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝11，
∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，
∴CE＝BG＝9，
∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．
26.【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2＝DE2；
理由：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB，
∴∠ABF＝∠ACE＝45°，FB＝CE
∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°旋转角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°，
故∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°，
易证△AFD≌△AED，故FD＝DE，
在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2＝DF2；
即：BD2+CE2＝DE2．
（2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB，
故BF＝CE，△AFD≌△AED，故FD＝DE，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2+DF2，
∴CE2＝BD2+DE2．
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