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浙教版九年级上册数学 第四单元 单元测试
【浙教版】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
满分：120分 考试时间：120分钟
题号 一 二 三 总分
得分
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是（　　）
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
4．下列四组线段中，不成比例的是（　　）
A．3，9，2，6 B．1，，，C．1，2，3，9 D．1，2，4，8
5．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE等于（　　）
A．9 B．4 C．6 D．3
6．如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（　　）
A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB
C．AB CD＝BD BC D．BC2＝AC CD
A．CA平分∠BCD B． C．AC2＝BC CD D．∠DAC＝∠ABC
7．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED＝1：2，BE与AC相交点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在 ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝2：1，且BF＝2．则DF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④＝，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）
11．已知，则的值为 　 　．
12．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AD＝3，则＝　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AD AB＝5，那么AC＝　 　．
14．如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，其中点A（2，1），则位似中心的坐标是 　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，若AB＝6，AC＝10，，则AE的长为 　 　．
16.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 　 　．
17.如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若AD＝3AF，则＝　 　．
18.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连结DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则AF的长为 　 　．
19.如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm．点P从点A出发沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则　 　秒钟后△PBQ与△ABC相似？
20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，AP+BP的最小值为　 　．
解答题（本大题共6小题，前5小题每小题8分，第6小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE＝BC，连接AE，AE与CD交于点F．
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）求DF的长．
22.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝　 　，BC＝　 　；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
23.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
24.如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合：小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF＝1.5m，量得CE＝2m，EC1＝6m，C1E1＝3m，求电线杆AB的高度．
25.如图，在一个Rt△EFG的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上，EF＝30cm，FG＝40cm，设AB＝xcm．
（1）试用含x的代数式表示AD；
（2）设矩形ABCD的面积为s，当x为何值时，s的值最大，最大值是多少？
26.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：；
（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．
参考答案
选择题
1.【答案】C
【解答】解：∵2a＝5b，
∴＝，＝．
故选：C．
2.【答案】B
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
3.【答案】C
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD＝2：3，
∴OA：OD＝2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故选：C．
4.【答案】C
【解答】解：A、3×6＝9×2，故A不符合题意；
B、1×，故B不符合题意；
C、1×9≠2×3，故C符合题意；
D、1×8＝2×4，故D不符合题意，
故选：C．
5.【答案】D
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝3，
∴BC＝3CE，
∵BC+CE＝BE，
∴3CE+CE＝12，
∴CE＝3．
故选：D．
6.【答案】C
【解答】解：∵∠C是公共角，
∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B不符合题意，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意．
∵∠C＝∠C，
若再添加，即BC2＝AC CD，可证明△CAB∽△CBD，故D不符合题意．
故选：C．
7.【答案】D
【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝ AB BC＝ AC BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
设DE＝x，则有：＝，
解得x＝，
故选：D．
8.【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴，
∴AF：CF＝1：3，
∵OA＝OC，
∴，
故选：B．
9.【答案】D
【解答】解：∵AE：BE＝2：1，
∴设AE＝2a，BE＝a，则AB＝3a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3a，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴＝，
∵BE＝a，CD＝3a，BF＝2，
∴＝，
解得：DF＝6，
故选：D．
10.【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠DEC＝∠AEB，∠BAE＝∠CDE，DE＝AE，故①正确，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE＝∠BCF，DC＝BC，∠DCE＝∠CBF＝90°，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴CE＝BF，
∵CE＝BC＝AB，
∴BF＝AB，
∴AF＝FB，故③正确，
③解法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∵E是BC的中点，
∴＝＝，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∵AB＝CD，
∴BF＝AB．
∵DC＝6，CE＝3，
∴DE＝＝＝3，
∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴＝，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴＝，故④正确，
故选：D．
解答题
11.【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，
∴设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴＝＝．
故答案为：．
12.【答案】．
【解答】解：∵点O为位似中心，△OAB放大后得到△OCD，
∴＝＝＝．
故答案为：．
13.【答案】．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BCA，
∵∠B＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
∴，即AD AB＝AC AC＝5，
解得：AC＝（负值舍去），
故答案为：．
14.【答案】（4，2）．
【解答】解：如图所示：
位似中心的坐标是（4，2），
故答案为：（4，2）．
15.【答案】2．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAF＝∠BCF．
∵∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF～△CBF，
∴，
在Rt△ABC中，．
∴，
解得AE＝2．
故答案为：2．
16.【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．
∴＝＝，
而BE＝EF＝6，
∴＝＝，
∴BC＝2，OB＝3，
∴C（3，2）．
故答案为（3，2）
17.【答案】．
【解答】解：如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G，
∵AD＝3AF，
∴，
∵DG∥BE，
∴，，
∴EG＝2AE，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
∴EG＝CG，
∴CG＝EG＝2AE，
∴AC＝AE+EG+CG＝5AE，
∴，
故答案为：．
18.【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠FAE＝∠FCD，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴＝＝2．
∵AC＝＝5，
∴AF＝AC＝．
故答案为：．
19.【答案】见试题解答内容
【解答】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．
则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BP＝（8﹣2x）cm，
①BP与BC边是对应边，则＝，
即＝，
解得x＝0.8，
②BP与AB边是对应边，则＝，
即＝，
解得x＝2．
综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．
故答案为：0.8或2．
20.【答案】．
【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，
则有＝＝，
又∵∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴＝，
∴PD＝BP，
∴AP+BP＝AP+PD．
要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，
当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD＝＝，
AP+BP的最小值为．
解答题
21.【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥BE，
∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，
∴△ADF∽△ECF；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝8，
∴，即．
∵△ADF∽△ECF，
∴，即．
∵CD＝DF+CF，
∴．
22.【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，
BC＝＝＝2；
故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠ABC＝∠DEF．
∵AB＝2，BC＝2，FE＝2，DE＝
∴＝＝，＝＝．
∴△ABC∽△DEF．
23.【答案】树高AB是9m．
【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
在Rt△DEF中，
∵DF＝0.5m，EF＝0.3m，
由勾股定理得DE＝＝0.4（m），
∵CD＝10m，
∴＝，
∴BC＝7.5（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），
答：树高AB是9m．
24.【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DC⊥AED1C1⊥AEBA⊥AE
∴DC∥D1C1∥BA，
∴△F1D1N∽△F1BG．
∴．
∵DC∥BA，
∴△FDM∽△FBG．
∴．
∵D1N＝DM，
∴，
即．
∴GM＝16m．
∵，
∴．
∴BG＝13.5m．
∴AB＝BG+GA＝15（m）．
答：电线杆AB的高度为15m．
25.【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过点F作FN⊥EG于N，交AD于点M，如图所示：
∵△EFG是直角三角形，
∴EG＝＝＝50（cm），
∵EF FG＝FN EG，
∴FN＝＝＝24（cm），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AFD∽△GFE，AB＝MN＝xcm，则FM＝（24﹣x）cm，
∴＝，
即：＝，
解得：AD＝50﹣x；
（2）由（1）得：AD＝50﹣x，
s＝AB AD＝x （50﹣x）＝﹣（x﹣12）2+300，
∴x＝12时，s的值最大，
s最大＝300cm2．
26.【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△AEB∽△CFB．
（2）证明：∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，
∴＝，
∴＝．
（3）解：如图，作CH⊥EF于H．
∵CE＝CF，CH⊥EF，
∴EH＝FH＝，
∴CH＝＝＝2，
由△BFD∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝3，CD＝CF+DF＝8，
由△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，∴AD＝
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