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浙教版九年级上册数学 期末测试
【浙教版】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
满分：120分 考试时间：120分钟
题号 一 二 三 总分
得分
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点E为Rt△ABC的直角边AC上一点，以CE为直径的半圆与斜边AB相切于点D，连结DE．若∠B＝70°，则∠CED为（ ）
A．70° B．65° C．55° D．35°
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点D的坐标为，若与是位似图形，且位似中心为O，则的值是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．1：3
4．如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（　　）
A．131° B．119° C．122° D．58°
5．下列属于必然事件的是（　　）
A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．守株待兔 D．大海捞针
6．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若，则该“风车”的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．勾股定理是几何中一个重要定理．著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②，∠ACB＝90°，BC＝2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DFAB分别交三个半圆于点D，E，F．若，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（　　）
A．16 B．20 C．25 D．30
9．已知二次函数，，下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
… t m 2 2 n …
且当时，与其对应的函数值．则下列结论中，正确的是（ ）
①；②和3是关于x的方程的两个根；③．
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）
11．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E，且AE经过圆心O．若OA＝3．则图中阴影部分的面积为___．
12．如图，圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积等于_______．
13．如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，若⊙O的半径为2，∠P＝30°，则的长为______．
14．如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至，连接，若满足，，则点的坐标为___．
15．一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①②③这三块面积之比为，那么④⑤这两块面积之比是______．
16．如图，双曲线（为常数，）与矩形的边相交于点，与边相交于点，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处．则点的坐标为________．
17.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上，点P是边上任意一点，以点C为旋转中心．把按逆时针方向旋转，则在旋转过程中，点P运动的最短路径长为_________．
18.如图，点D在△ABC的BC边上，且CD＝2BD，点E是AC边的中点，连接AD，DE，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_____．
19．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价以及常数确定实际销售价格为，这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得，据此可得，最佳乐观系数k的值等于____．
20．某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了_____米．
三、解答题（本大题共6小题，前5小题每小题8分，第6小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21.计算：；
（2）解方程：．
22.如图，在中，点O在边上，经过A、C两点，与边交于点D，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长度．
23.新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是_______名；
（2）扇形统计图中A级的扇形圆心角度数是_______，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为_________人；
（4）某班有3名优秀的同学（分别记为E、F、G，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
24．如图，在中，，以底边为直径的交两腰于点，．
（1）求证：；
（2）当是等边三角形，且时，求的长．
25．定义：在平面直角坐标系中，有一条线段，若抛物线的顶点是A，经过点B，抛物线的顶点是B，经过点A，称这两条抛物线是关于线段的一对“有礼抛物线”，如图所示．
（1）若抛物线与是一对“有礼抛物线”，求a的值．
（2）若线段两端点坐标是，关于线段的一对有礼抛物线是和，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
（3）若抛物线的顶点为A，它与y轴交于点E，点B在抛物线上，关于线段的另一条“有礼抛物线”与y轴交点记为点F，若，求的函数关系式．
26．如图，四边形ABCD为边长等于7的菱形，其中∠B=60°，点E在对角线AC上，且AE=1，点F在射线CB上运动，连接EF，作∠FEG=60°，交DC延长线于点G．
（1）当点F与B点重合时，试判断△EFG的形状，并说明理由；
（2）以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，当CF=10时，平面内是否存在一点M，使得以点M、E、F、G为顶点的四边形与菱形ABCD相似？若存在，求M的坐标，若不存在，说明理由；
（3）记点F关于直线AB的轴对称点为点N，若点N落在∠EDC的内部（不含边界），求CF的取值范围．
参考答案
选择题
1.【标准答案】A
【思路点拨】
根据主视图的意义可得答案．
【精准解析】
解：从正面看该几何体所得到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．
2.【标准答案】C
【思路点拨】
连接，根据切线长定理可得，即可得出，根据圆周角定理可得，结果可得．
【精准解析】
解：连接，
∵，
∴与半圆相切与点，
∵半圆与斜边AB相切于点D，
∴，
∵∠B＝70°，
∴，
∴，
∵CE为直径，
∴,
∴∠CED，
故选：C．
3.【标准答案】D
【思路点拨】
根据位似图形的性质即可求解．
【精准解析】
解：∵点A的坐标为，点D的坐标为，
∴，
∴，
故选：D．
4.【标准答案】B
【思路点拨】
根据同弧所对的圆心角是圆周角的一半即可求解．
【精准解析】
解：∵同弧所对的圆心角是圆周角的一半；
∴
根据圆内接四边形对角互补
故选：B
5.【标准答案】B
【思路点拨】
依据必然事件、随机事件的概念判断即可．
【精准解析】
解：A、水中捞月是不可能事件，不合题意；
B、瓮中捉鳖是必然事件，符合题意；
C、守株待兔是随机事件，不合题意；
D、大海捞针是随机事件，不合题意；
故选B．
6.【标准答案】B
【思路点拨】
连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．
【精准解析】
解：如图：连接AC
由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH
∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD
∵∠AOC=∠AOB=90°
∴△OAC为等腰直角三角形
又∵∠OAB= ∠OCD：
∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB
=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD
又∵CJ=DJ
∴AJ垂直平分CD
同理：GI垂直平分AB
∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线
即∠DAJ=∠CAD=×45°=22.5°
易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH
又∵IB=IA
∴IJ=IB+BJ=IH+IA=
在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°
∴∠OBH=OHB=45°
设OB=OH=a，即AH=BH=OB=a
∴tan∠A=
∴
设IH=（）x，AI=x
∴IH+IA==，即x=1
∴
又∵
∴
∴
∴．
故选B．
7.【标准答案】A
【思路点拨】
如图所示，延长交于 过作于 设BC＝2AC＝2a，由题意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝CI＝BC＝2a，由勾股定理可得，AB＝，可得AB＝BG＝FG＝AF＝a，再利用相似三角形的性质分别用含的代数式表示，即可得到答案．
【精准解析】
解：如图所示，延长交于 过作于
设BC＝2AC＝2a，
由题意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝CI＝BC＝2a，
由勾股定理可得，AB＝，
∴AB＝BG＝FG＝AF＝a，
∵∠AKI＝∠ACB＝90°，∠CAB＝∠IAK，
∴△AKI∽△ACB，
∴，
∴IK＝，
∴MP＝MJ+JP＝IK+AF＝
∴AK＝，
同理可得：△AEJ∽△BAC，
∴，
∴AJ＝，
同理可得：△ABC∽△HIN，
∴，
∴，
∴MN＝MI+IN＝AJ+AK+IN＝，
∴，
故选：A．
8.【标准答案】C
【思路点拨】
连接AF，BD，先证明四边形ABDF是矩形，然后由垂径定理，矩形的性质，勾股定理，表示出相应的线段长度，结合AC+BC＝15，求出k的值，得到各个扇形的半径，再利用间接法求出阴影部分的面积．
【精准解析】
解：连接AF，BD，如图，
∵AC、BC是直径，
∴∠AFC=90°，∠BDC=90°，
∵DFAB，
∴四边形ABDF是矩形，
∴AB=FD；
取AB的中点O，作OG⊥FD，
∵，
则设，，
由垂径定理，则，
∴，
∴，，，
由勾股定理，则
，，
∵AC+BC＝15，
∴，
∴；
∴，，，
∴阴影部分的面积为
∴；
故选：C．
9.【标准答案】A
【思路点拨】
先用即可以转换成
，再利用二次函数与x的交点个数与判别式的关系进行逐一判断即可．
【精准解析】
解：∵，
∴
∴
A、当时，二次函数的开口向上，二次函数的判别式△，故此时恒成立，即，故该选项正确；
B、时，当时，，即，故该选项不正确；
C、时，二次函数的开口向下，二次函数的判别式△，故此时恒成立，即，故该选项不正确；
D、时，二次函数的开口向下，二次函数的判别式△，故此时恒成立，即，故该选项不正确；
故选A．
10.【标准答案】B
【思路点拨】
由表知，当x=0和1时，函数值均为2，从而可得关于a、b、c的方程组，可得a与b的关系及c的值，再当时，与其对应的函数值，可得关系a的不等式，可判断a的符号且可得a的取值范围，从而可判断b的符号，因而可对①作出判断；根据抛物线的对称性，当x=-2和x=3时，其函数值相等，从而可对②作出判断；根据抛物线的对称性，当x=-1和x=2时，其函数值相等，即n=m，再根据n的值及a的取值范围，即可对③作出判断．
【精准解析】
由表得： ，即
∴
当时，与其对应的函数值
即
∴
∴b>0
∴abc<0
故①正确
∵
即抛物线的对称轴为直线
∵
∴根据抛物线的对称性，当x=-2和x=3时，其函数值相等且为t
表明方程的两个根分别为x=-2和x=3
故②正确
∵
∴根据抛物线的对称性，当x=-1和x=2时，其函数值相等，即n=m
当x=-1时，n=a+a+2=2a+2
∴n+m=2n=4a+4
∵
∴n+m
故③正确
故选：B．
填空题
11.【标准答案】
【思路点拨】
连接、，得到为等边三角形，求得扇形的面积减去的面积即可．
【精准解析】
解：连接、，如下图：
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB
∴，，
∴
又∵AE⊥BC，AE经过圆心O
∴
∴
∴为等边三角形
∴，
∴
∴
在中，，，∴
由勾股定理得
故答案为：
12.【标准答案】
【思路点拨】
由题意易得，然后根据圆锥的侧面积计算公式可直接进行求解．
【精准解析】
解：∵，，，
∴，
∴圆锥的侧面积为；
故答案为．
13.【标准答案】
【思路点拨】
连接OB，根据切线的性质得到∠OBP=90°，从而得到∠BOA=60°，再利用弧长公式求解即可．
【精准解析】
解：如图所示，连接OB，
∵PB是圆O的切线，
∴∠OBP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠BOA=60°，
∴，
故答案为：．
14.【标准答案】
【思路点拨】
根据相似三角形的判定和性质得出，进而得出，利用，得出，利用勾股定理解得，从而可知的长，进而可知的值，由，设，，的值列出关于的方程，解得的值，则可得点的坐标．
【精准解析】
解：，
，
即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
由勾股定理可得：，
即，
解得：，
．
．
如图，过点作轴于点，
，
设，，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
点坐标为：．
15.【标准答案】
【思路点拨】
易知①、②、④都是等腰直角三角形，可设①的直角边为x，根据①、②的面积比，可得②的直角边为2x，然后设正方形的边长为y，根据①、③的面积比，求出y、x的关系式，进而可得④、⑤的面积表达式，由此得解．
【精准解析】
解：由题意得，①、②、④都是等腰直角三角形，
∵①，②这两块的面积比依次为1：4，
∴设①的直角边为x，
∴②的直角边为2x，
设正方形的边长为y，
∵①，③这两块的面积比依次为1：41，
∴面积①：面积(①+③)=1：42，
即x2：3xy=1：42，
∴y=7x，
∴④的面积为6x 6x÷2=18x2，⑤的面积为4x 7x=28x2，
∴④，⑤这两块的面积比是18x2：28x2=9：14．
故答案为：．
16.【标准答案】，
【思路点拨】
作轴于，设，则，即可得到，通过证得，得到，即可求得，从而得到，进一步得到，即可得到，．
【精准解析】
解：作轴于，
设，则，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，．
故答案为，．
17.【标准答案】
【思路点拨】
画出旋转图形，求出△ABC的三边，根据垂线段最短，判断出CP⊥AB时，点P的运动路径最短，求出此时CP的长，再利用弧长公式计算．
【精准解析】
解：画出旋转图形如图：
∵AC2=32+32=18，BC2=42+42=32，AB2=72+12=50，
而点P是AB边上任意一点，
∴当CP⊥AB时，点P的运动路径最短，
此时CP===，
∴点P的最短运动路径为=，
故答案为：．
18.【标准答案】
【思路点拨】
先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是3x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【精准解析】
解：设阴影部分的面积是x，
∵点E是AC边的中点，
∴S△ACD＝2x，
∵CD＝2BD，
∴S△ACB＝3x，
则这个点取在阴影部分的概率是．
19.【标准答案】
【思路点拨】
由，得：，再根据，可得，在列方程，解方程可得答案．
【精准解析】
解：由，得：
即：
∴
∵
∴
∴
解得：，
∵
∴不合题意
∴
故答案为：
20.【标准答案】
【思路点拨】
以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线的对称轴，即可设该抛物线解析式为，由该抛物线经过点(9，0)，即可求出该抛物线解析式为，即能求出平移后的解析式为，即可知D点坐标．由点A和点C坐标利用待定系数法可求出经过点A、C的直线的解析式，又由于点D也在直线上，即可求出a的值．即求出了平移后的抛物线解析式，最后令y=0，解出x的值，即能求出移动后水柱最远落点到中心M的距离增加的量．
【精准解析】
解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．
根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）．
由题意可知C点坐标为(-4，0)．
∵喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高，
故该抛物线的对称轴为．
∴设该抛物线解析式为，
又∵水柱最远落点到中心M的距离为9米，
∴该抛物线又经过点(9，0)．
∴，即，
∴该抛物线解析式为．
当x=0时，
故点A坐标为(0，-27a)．
由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5．
∴平移后的抛物线为．
∴点D坐标为(3，)．
设经过点A、C的直线解析式为，
∴，解得．
即经过点A、C的直线解析式为．
又∵该直线经过点D．
∴．
解得：．
故平移后的抛物线解析式为，
整理得：．
当时，即，
解得：（舍）．
∴移动后最远落点到中心M的距离为米，
∴移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了（米）．
故答案为：．
解答题
21.【标准答案】（1）4；（2）
【思路点拨】
（1）根据特殊三角函数值，绝对值符号化简，零指数幂，合并同类二次根式和同类项即可；
（2）去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程，检验即可．
【精准解析】
（1）解：，
，
=4；
（2）解：，
去分母得：，
解整式方程得：．
经检验：是原方程的解．
22.【标准答案】（1）证明见解析；（2）．
【思路点拨】
（1）连接，先根据相似三角形的判定证出，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆周角定理可得，从而可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）设，从而可得，先在中，利用勾股定理可得，再利用正弦三角函数可得，从而可得，然后利用弧长公式即可得．
【精准解析】
证明：（1）如图，连接，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，即，
，即，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）设，则，
，
，
在中，，即，
解得或（舍去），
，
在中，，
，
，
则的长度为．
23.【标准答案】（1）40；（2）54°，补全统计图见解析；（3）75人；（4）
【思路点拨】
（1）根据B级的人数和所占的百分比，可以求得本次抽样测试的学生人数；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数和C级的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）根据A级人数所占比例除以八年级总人数即可求得优秀的人数；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【精准解析】
解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40（名），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是：360°×=54°，
故答案为：54°，
C级的人数为：40×35%=14，补充完整的条形统计图如右图所示；
（3）500×=75（人），
即优秀的有75人；
（4）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，选中小明的有4种情况，
∴选中小明的概率为=．
24.【标准答案】（1）见解析；（2）
【思路点拨】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再由弧、弦、圆周角之间的关系证得，即可得到结论；
（2）连接OD、OE，根据等边三角形的性质及圆周角定理求出∠DOE，利用弧长公式计算即可．
【精准解析】
解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）连接OD、OE，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴的半径为，
∴的长．
25.【标准答案】（1）；（2），证明见解析；（3）或．
【思路点拨】
（1）先求出抛物线的顶点坐标，再将其代入抛物线的解析式即可得；
（2）先联立两条抛物线的解析式可得一个关于的一元二次方程，从而可得是这个方程的两个实数根，再利用根与系数的关系、以及抛物线的对称轴列出等式，化简即可得；
（3）先求出点的坐标，再根据可得点的坐标，然后根据（2）的结论可求出，最后将点的坐标代入抛物线即可得．
【精准解析】
解：（1）抛物线的顶点坐标为，
将点代入得：，
解得；
（2）猜想，证明如下：
联立，得：，
由题意得：，且是关于的方程的两个不相等的实数根，
则，且，
不妨设点是抛物线的顶点，点是抛物线的顶点，
则，
，
，
整理得：，
，
，即，
，
解得；
（3）抛物线的顶点的坐标为，
当时，，即，
设点的坐标为，
，
，
解得或，
即或，
由（2）的结论得：，
则，
①将点代入得：，
解得，
则；
②将点代入得：，
解得，
则，
综上，或
26.【标准答案】（1）为等边三角形，理由见解析；（2）存在，点M的坐标为，，；（3）
【思路点拨】
（1）根据∠FEG=∠BCG=60°，根据B、G、C、E四点共圆，得出∠BGE=60°，即可证明；
（2）首先求出E,F的坐标，根据G点在直线CD上，根据直线CD的解析式表示出G点，再根据△FEG是等边三角形，即满足EF=EG，利用两点之间距离公式求出G的坐标，求M点时，根据△FEG为等边三角形，若以点M、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，那么该四边形一定为菱形，且有一个内角为60°，分三种情况讨论，根据平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，利用坐标系中线段的中点公式列出方程组即可求得；
（3）转化题目，将作△EDC关于AB的对称图形，将∠的两边延长，交于直线BC于,那么F点在线段上，即满足题目要求，要求出，需证明 和 ,再根据轴对称的性质得出相似比都是 ，即可求得，即求出了CF的取值范围．
【精准解析】
（1）为等边三角形；
理由如下：如图：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC,
又∵∠B=60°，
∴,
∴,
∵∠FEG=∠BCG=60°,
∴B、G、C、E四点共圆
∴∠BCE=∠BGE=60°，
∴为等边三角形；
（2）∵ ,
∴F,E,C,G四点共圆，
∴ ,
∵由(1)得 ,
∴
∴ ,
∴ ,
即 ,
又∵ ,
∴△FEG为等边三角形，
过点A作AP⊥x轴于点P,过点E作EQ⊥x轴于点Q，如图：
在Rt△AOP中，∠AOP=60°，
∴,
∴,
∴A的坐标为, ,
∴D的坐标为 ,
又∵EQ⊥x轴，
∴EQ∥AP，
∴ ,
∴,
∴ ,
,
∴ ,
∴E的坐标为 ,
又∵点F的坐标为 ,
∴ ,
设直线CD的解析式为y=kx+b,
将点C ，点D代入，
求得解析式为： ，
∴设G的坐标为 ，
∵EG=EG,
∴ ，
解得a=5或a=12（不合题意舍去），
∴G的坐标为 ，
设M坐标为，
①当EF为对角线时，
，
解得，
∴M的坐标为 ,
②当EG为对角线时，同理得M坐标为 ;
③当FG为对角线时，同理得M坐标为，
综上所述，M的坐标为，，；
（3）
作D，C，E关于的对称点，记，与的交点分别为，, 与AB交于点M，
∵CD与关于直线AB对称，
∴CD∥， ,, ,
∴ ,
∴ , 且 ,
即,
又∵
∴∥ ,
∴ ,
∴ ,
又∵CM⊥AB，∠ABC=60°，
∴ ,
∴，
∵
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴
所以的取值范围是．
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