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第五节　空间向量及空间位置关系
目 录
CONTENTS
知识 逐点夯实
1
2
3
考点 分类突破
课时过关检测
01
知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
02
考点 分类突破 课堂讲练
理解透 规律明 变化究其本
感谢观看
B
木2
AL
B
y
E
C
X2025高考数学一轮复习-7.5-空间向量及空间位置关系
课程标准
1．空间直角坐标系
(1)在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．
(2)借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．
2．空间向量及其运算
(1)经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．
(2)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．
3．向量基本定理及坐标表示
(1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示．
(4)了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．
【必备知识】精归纳
1．空间向量有关概念
(1)单位向量：模为1的向量．
(2)共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．
(3)共面向量：平行于同一个平面的向量．
点睛 (1)0与任意向量平行．
(2)空间中任意两个向量是共面向量，任意三个向量不一定是共面向量．
2．空间向量有关定理
(1)共线向量定理：对空间中任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc．叫做空间的一个基底．
3．空间向量有关运算
设a＝，b＝(b1，b2，b3)，
(1)坐标运算：则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3)λ∈R．
(2)数量积运算：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝|a||b|cos 〈a，b〉．
点睛 向量a在向量b上的投影向量设为向量c，向量c与向量b共线，c＝cos 〈a，b〉.
4．空间向量有关公式
(1)空间两点间距离公式
已知P1，P2，则
＝．
(2)空间两点的中点公式
设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则.
(3)空间向量共线与垂直公式
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，其中b≠0，
则a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
a∥b a＝λb x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R).
(4)空间向量模与夹角公式
若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
则|a|＝＝；
cos ?a，b?＝＝.
1．对空间任意一点O，若三点P，A，B满足＝λ ＝x＋y(x＋y＝1) P，A，B三点共线．
2．证明空间四点共面的方法
对空间任意一点O，若四点P，M，A，B满足＝m＋n ＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1) P，M，A，B四点共面．
教材改编 结论应用 易错易混
1，2 4，5 3，6
1.(教材变式)如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
【解析】选A.＝＋AA1＋A1M
＝－a＋c＋(A1B1＋A1D1)
＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.
2．(教材提升)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)
A．2· B．2·
C．2· D．2·
【解析】选B.2·
＝2||||cos 120°＝－a2，
2·＝2||||cos 60°＝a2，
2·＝2·cos 180°
＝2××a×＝－a2，
2·＝·＝a×a×cos 120°＝－.
3．(向量运算错误)对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是(　　)
A．若a∥b且b∥c，则a∥c
B．a·＝a·b＋a·c
C．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D．c＝a
【解析】选B.若b＝0，则由a∥b且b∥c，不能得出a∥c，A错；
由数量积对向量加法的分配律知B正确；
若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，当a⊥(b－c)时就成立，不一定有b＝c，C错；
c是与c平行的向量，a是与a平行的向量，它们不一定相等，D错．
4．(结论1)已知空间三点A(－1，1，2)，B(0，3，5)，C(1，5，4－k)在一条直线上，则实数k的值是(　　)
A．4 B．2 C．－2 D．－4
【解析】选D.因为空间三点A(－1，1，2)，B(0，3，5)，C(1，5，4－k)在一条直线上，所以＝，＝ ，
故＝2.所以k＝－4 .
5．(结论2)在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是(　　)
A．＝2－－
B．＝＋＋
C．＋2＋＝0
D．＋＋＋＝0
【解析】选C.根据向量共面定理，
＝x＋y＋z，若A，B，C不共线，
且A，B，C，M共面，则其充要条件是x＋y＋z＝1，
由此可得A，B，D不正确；
选项C：＝－2－，所以M，A，B，C四点共面．
6．(漏掉同向共线)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝(－4，2，t)的夹角为锐角，则实数t的取值范围为(　　)
A．(8，＋∞) B．
C． D．∪(8，＋∞)
【解析】选D.夹角为锐角，则a·b＝8＋2＋4t>0，得t>－，
当a∥b时，＝＝，得t＝8，
所以t的取值范围为∪(8，＋∞).
【题型一】空间向量的线性运算
[典例1](1)(多选题)(2022·保定模拟)如图所示， M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)
A.＝b－c
B．＝b＋c－a
C．＝b－c－a
D．＝a＋b＋c
【解析】选BD.根据向量的加减法及数乘运算法则：
＝＝b＋c，故A选项错误；
＝＋＝＋＝＋×(＋)＝b＋c－a，
故B选项正确；
＝＝(b＋c－a)＝－a＋b＋c，故C选项错误；
＝＋＝a＋(－a)＋b＋c＝a＋b＋c，故D选项正确．
(2)(2023·昆明模拟)已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1) ，则a－b＋2c＝__________．
【解析】因为a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3).
答案：(－4，3，3)
空间向量线性运算的解题策略
1．用已知向量来表示未知向量，结合图形，以图形为指导是解题的关键．
2．将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．利用三角形法则、平行四边形法则、多边形法则把所求向量用已知向量表示出来．
3．空间向量的坐标运算类似平面向量的坐标运算．
1．(2023·日照模拟)如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，若＝x＋y＋z，则(　　)
A.x＝1，y＝，z＝－
B．x＝1，y＝－，z＝
C．x＝，y＝1，z＝－
D．x＝－，y＝1，z＝
【解析】选B.由题意得,=++=-+
=-++=-+,所以x=1,y=-,z=.
2．(2022·保定模拟)如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，且＝，＝，则＝(　　)
A．a－b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．－a＋b＋c
【解析】选D.连接OF，因为＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝b＋c，
又＝＝a，所以＝－＝－a＋b＋c.
　　　【加练备选】
　(2022·宁波模拟)在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，F为BB1的中点，＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
A．a－b－c B．a－b－c
C．a－b－c D．a－b－c
【解析】选C.设＝m，＝n，
则＝a＝m＋n＋c，＝b＝n＋m.
所以n＝b－m，a＝m＋＋c，
所以m＝a－b－c.
【题型二】共线、共面向量定理及应用
[典例2](1)
①对于空间中的四点A，B，C，P，若＝＋，则P，B，C 三点(　　)
A．不共面 B．共面
C．共线 D．不共线
②对于空间中的四点A，B，C，P，若＝＋，则P，A，B，C 四点(　　)
A．不共面 B．共面
C．共线 D．不共线
【解析】①选C.因为向量起点相同，系数和为1，所以P，B，C 三点共线．
②选B.由共面向量定理可得．
(2)与向量n＝(1，－1，2)反向的单位向量的坐标为(　　)
A．(－，，－) B．(，－，)
C．(－1，1，－2) D．
【解析】选A.因为＝＝，
所以与向量n反向的单位向量为－＝＝.
[变式1]本例(2)中“反向”改为“同向”．
【解析】选B.与向量n同向的单位向量为
＝(，－，)＝(，－，).
[变式2](多选题)本例(2)中“反向”改为“共线”．
【解析】选AB.与向量n共线的单位向量为
±＝±(，－，)＝(，－，)或(－，，－).
(3)已知向量a＝，b＝，c＝，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝(　　)
A． B．2 C． D．3
【解析】选B.因为a，b，c三向量共面，
所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
即＝＋，
所以，解得
1．共线、共面向量定理的应用
(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线；
(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行，四点共面；
(3)根据向量共线和向量共面求参数取值；
(4)与a同向的单位向量为，反向的单位向量为－，共线的单位向量为±.
2．证明四点P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y；
(2)对空间任意一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任意一点O，
＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4)∥或∥或∥.
1．(2023·杭州模拟)已知向量a＝，b＝，且ka＋b与a－2b互相平行，则k＝(　　)
A．－ B． C． D．－
【解析】选D.ka＋b＝(－k＋1，k，2)，
a－2b＝(－3，1，－4)，
则＝＝，解得k＝－.
2．(2022·保定模拟)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(　　)
A．a－b，2a－c，b－c
B．b＋2c，a－b，a－2b－2c
C．a＋2b，2a－c，2b＋c
D．a＋2b＋3c，a＋b，a＋c
【解析】选B.对于A，设x，y，使得
a－b＝x＋y，则
a－b＝2xa＋yb－c，
即，该方程组无解，故A错误；
对于B，设x，y，使得
b＋2c＝x＋y，
则b＋2c＝a－b－2yc，
即，解得，故B正确；
对于C，设x，y，使得
a＋2b＝x＋y，
则a＋2b＝2xa＋2yb＋c，即，
该方程组无解，故C错误；
对于D，设x，y，使得
a＋2b＋3c＝x＋y，
则a＋2b＋3c＝a＋xb＋yc，即，
该方程组无解，故D错误．
3．如图，已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，＝，＝2，AC1与平面EFG交于点M，则＝__________．
【解析】由题可设＝λ，
因为＝＋＋
＝2＋3＋，
所以＝2λ＋3λ＋λ，
因为M，E，F，G四点共面，
所以2λ＋3λ＋λ＝1，解得λ＝.
答案：
【题型三】空间向量的数量积及应用
角度1　求空间向量数量积
[典例3](1)(2022·潍坊模拟)已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i上的投影向量为(　　)
A．i B．－i C．i D．－i
【解析】选A.因为a＝i＋2j＋3k，i，j，k为标准正交基底，所以a在i上的投影向量为|a|cos ?a，i?＝i.
(2)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A．1 B． C． D．
【解析】选C.此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1，
因为点E，F分别是BC，AD的中点，
所以＝＋，
所以·＝·
＝·＋·
＝·cos 60°＋·cos 60°
＝××＋××＝.
　求空间向量的数量积的方法
(1)若给出的条件不适合建系要用基底进行运算；
(2)若给定条件下适合建立空间直角坐标系，则用坐标进行运算．
提醒 运用定义求数量积时一定要根据正确方向判定夹角的大小．
角度2　求长度
[典例4](1)(2023·郑州模拟)如图，在一个60°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD＝________．
【解析】由已知可得＝＋＋，
所以＝
＝，
因为线段AC，BD均与棱AB垂直，所以⊥，⊥，
因为二面角的大小为60°，所以〈，〉＝60°，
所以＝＝，
因为AB＝，AC＝1，BD＝2，所以＝＝.
答案：
(2)如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝2，则线段AC1的长为________．
【解析】因为=++=++,
所以==+++2·+2·+2·
=+++2·cos 90°+2·cos 60°+2·cos 60°=1+1+4+2×1×2×+2×1×2×=10,所以AC1=.
答案:
　利用数量积求两点间的距离的解题策略
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，基本思路是：
(1)先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式；
(2)求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模；
(3)利用公式|a|＝求解即可．
角度3　夹角问题
[典例5](1)(2022·烟台模拟)已知a＝，b＝，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为________．
【解析】由题意得a·b>0且a，b不共线，
所以，解得t>且t≠－.
故实数t的取值范围为.
答案：
[变式]将本例(1)中“a与b的夹角为锐角”改为“a与b的夹角为钝角”，则实数t的取值范围是______________________．
【解析】由题意得a·b<0且a，b不共线，
所以，解得t<且t≠－.
故实数t的取值范围为(－∞，－)∪(－，).
答案：(－∞，－)∪(－，)
　(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为________．
【解析】以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
正方体的棱长为2,则A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(0,2,1),A(2,0,0).所以=(0,2,-1),
=+=+λ=(0,0,-2)+λ(-2,0,0)=(-2λ,0,-2),
所以=||=,所以=,
解得λ=或λ=-(舍去).
答案:
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法
　
角度4　解决垂直问题
[典例6](多选题)(2023·孝感模拟)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且EF⊥A1E.若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，则B1F的值可能为(　　)
A． B. 2 C. D.
【解析】选BCD.以点C1为坐标原点，C1D1，C1B1，C1C所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C1xyz.
所以A1.设E，F，
0≤m≤3，0≤n≤3，则 ＝，
＝.
因为EF⊥A1E，所以 ·＝0，
即－1＋m＝0，化简得mn＝1＋m2.
当m＝0时，显然不符合题意．
故n＝＋m≥2，当且仅当m＝1时，等号成立．
故B1F的最小值为2.
所以2≤B1F≤3，对照四个选项，可选BCD.
　利用数量积解决垂直问题的解题策略
证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a，b，c的线性形式，然后利用数量积为0说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
1．已知向量a＝，b＝，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A． B．2 C． D．1
【解析】选A.因为a＝，b＝，
所以a·b＝－1，＝，＝.
因为ka＋b与2a－b互相垂直，
所以·＝0，
即2kb|2＝0，
即4k－(2－k)－5＝0，解得k＝.
2．已知a＝，b＝，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选D.因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，
所以b＝，
所以cos 〈a，b〉＝
＝＝，
又因为〈a，b〉∈，
所以向量a与b的夹角为.
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N在AC上,且AN∶NC=2∶1.求证:与,共面.
【证明】因为=-,=+=-,==(+),
所以=-=(+)-=+=+,
所以与,共面.
4．(2022·大连模拟)如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P为线段BC的中点．
(1)求；
(2)求直线AB1与D1P所成角的余弦值．
【解析】(1)因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BC上,且满足BP=PC.
设=a,=b,=c,这三个向量不共面,构成空间的一个基底.
所以=-=-=-=a-b-c.
所以==a2+b2+c2-a·b-2a·c+b·c
=4+×4+1-2×2×-2×2×1×+2×1×=4+1+1-2-2+1=3,所以=.
(2)由(1)知,=a-b-c,=,
因为=a+c,===,
所以cos<,>=====,
故直线AB1与D1P所成角的余弦值为.

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