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2023-2024学年湖南省部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从道题中随机选道，若某道题被选中的概率为，则( )
A. B. C. D.
2.若在复平面内，复数所对应的点为，则的实部与虚部的差为( )
A. B. C. D.
3.已知点，，，在同一平面内，，则( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，若是的充要条件，则整数( )
A. B. C. D.
5.从，，，这四个数字中任意取出两个不同的数字，设取出的两数字之和为，则的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知在三棱锥中，，，，且为等边三角形，则二面角的正切值为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，，是函数的图象与直线的两个交点，且点在轴上，若，则的最小正周期为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数据，，，，，，，，，的第百分位数、第百分位数、第百分位数分别为，，，平均数为，则( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，角，的始边均与轴的非负半轴重合，终边分别经过点，，则( )
A. B.
C. D. 是第三象限角
11.已知直三棱柱的各顶点及动点都在球的球面上，，则( )
A.
B. 球的半径为
C. 三棱柱的表面积为
D. 点到平面的距离的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，，则 ______．
13.已知正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，则几何体的体积为______．
14.已知函数，若存在唯一的，使得，则当时，的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，，．
若是棱的中点，过点作平面，使得平面平面，在图中画出平面截平行六面体所得的截面；不需写出作法和证明过程
证明：平面平面．
16.本小题分
现有一批零件，一质检员从中随机抽取件进行合格性检验，实际尺寸与标准尺寸的差值为，现对进行整理，分组区间为，，，，，得到如图所示的频率分布直方图规定：的为优质品，的为合格品，的为劣质品．
求的值，并计算的平均值；每组数据用该组所在区间的中点值作代表
估计该批零件中优质品、合格品、劣质品的数量之比；
质检部门规定：若抽检的零件中劣质品数量不超过件，则这批零件通过抽检，否则，不能通过抽检问：这批零件能否通过抽检？
17.本小题分
一个质地均匀的正方体的个面为黄色，个面为绿色，个面为红色连续抛掷该正方体次，观察落地时朝上的面的颜色．
求第次、第次、第次朝上的面的颜色依次为红色、绿色、黄色的概率；
求朝上的面的颜色恰有次相同的概率．
18.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为，且．
求的值；
若，求及的值．
19.本小题分
已知函数，满足，其中为偶函数，为奇函数．
求，的解析式；
求函数的值域；
设，若对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：取的中点，的中点，的中点，的中点，的中点，顺次连接，
则六边形即为所作的截面，
理由如下：因为为的中位线，所以，
同理可得，，，，，
而，，，
故GF，，，
因为平面，平面，
所以面，同理平面，
因为，且，平面，
所以平面平面，
故六边形即为所作的截面，
证明：设，则，
因为，所以，
又，故四边形为菱形，故A，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面C.
16.解：由频率分布直方图中各组概率之和为得，
，解得，
平均值为；
由频率分布直方图得件样品中，
优质品的数量为件，
合格品的数量为件，
劣质品的数量为件，
所以优质品：合格品：劣质品：：；
由知，样本中劣质品的数量为件，已经超过件，
所以这批零件不能通过抽检．
17.解：设第次、第次、第次朝上的面的颜色依次为红色、绿色、黄色为事件，
；
设朝上的面的颜色恰有次相同为事件，
可以是次相同的黄色或次相同的绿色或次相同的红色，
所以．
18.解：由于，，所以，
又，
故，因此．
由余弦定理得，
，化简得，解得负值舍去，
进而，故，所以为锐角，故，
故，
．
19.解：根据题意，由于为偶函数，为奇函数，且，
故，
两式相加可得，
进而可得：，
，
令，，则，
故值域为；
由于，均为单调递减函数，故为单调递减函数，
故当时，，即，
故在上的最小值为，
，当且仅当时等号成立，
故在上的最小值为，
若对任意的，都存在，使得成立，
只需要，
又，故，解得，
故的取值范围为
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