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第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 【核心素养】 直观想象、数学运算、逻辑推理. 考向 考法 以空间几何体为载体,考查基本事实及其结论在判断位置关系、交线问题、求角中的应用.求异面直线所成的角是高考的热点,在各个题型中均有所体现.
预测 2025年高考主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假的判断和求解异面直线所成的角,主要以选择题或填空题的形式出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.四个基本事实
基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
符号:A,B,C三点不共线 存在唯一的α使A,B,C∈α.
基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
符号:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号:P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l.
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
符号:a∥b,b∥c a∥c.
2.基本事实的三个推论
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
3.空间点、直线、平面之间的位置关系
项目 直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 图形语言
符号语言 a∥b a∥α α∥β
相交关系 图形语言
符号语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l
其他关系 图形语言 -
符号语言 a,b是 异面直线 a α -
微点拨
(1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.
(2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.
4.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
5.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,
把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围:.
常用结论
1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 4 2 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(　 　)
(2)经过两条相交直线,有且只有一个平面.(　 　)
(3)两两相交的三条直线共面.(　 )
(4)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a α,b β,则a,b是异面直线.(　 　)
提示:(1)中的两个平面可能相交;(2)正确;(3)中的三条直线相交于一点时可能不共面;(4)中的两条直线可能是平行直线.
2.(忽略直线不在平面内而致误)若直线l不平行于平面α,且l α,则(　　)
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
3.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD A1B1C1D1,则(　　)
A.直线BC1与DA1所成的角为90°
B.直线BC1与CA1所成的角为90°
C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
4.(必修二P134例1变形式)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则
(1)当AC,BD满足条件　　　　　　时,四边形EFGH为菱形;
(2)当AC,BD满足条件　　　　　　时,四边形EFGH为正方形.
【核心考点·分类突破】
考点一基本事实的应用
[例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的
中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线;
(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
解题技法
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法:先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
对点训练
1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过(　　)
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
2.已知空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=BC,CH=DC.求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)三直线FH,EG,AC共点.
1.空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　)
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是(　　)
A.直线AA1 B.直线A1B1
C.直线A1D1 D.直线B1C1
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,
且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是(　　)
A.相交但不垂直 B.相交且垂直
C.异面 D.平行
4.(多选题)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,则在这个正四面体中(　　)
A.GH与EF平行
B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角
D.DE与MN垂直
5.(多选题)四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等,M,N分别为PA,CD的中点,下列说法正确的是(　　)
A.MN与PD是异面直线
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
6.(2023·济南模拟)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,已知AA1=4,AB=2,点E,F分别在棱BB1,CC1上,且BE=BB1,CF=CC1,则(　　)
A.D1E≠AF,且直线D1E与AF是相交直线
B.D1E≠AF,且直线D1E与AF是异面直线
C.D1E=AF,且直线D1E与AF是异面直线
D.D1E=AF,且直线D1E与AF是相交直线
解题技法
两直线位置关系的判定方法
(1)异面直线的判定:可采用直接法或反证法;
(2)平行直线的判定:可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理;
(3)垂直关系的判定:往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
考点三异面直线所成的角
[例2](1)如图所示,圆柱O1O2的底面半径为1,高为2,AB是一条母线,BD是圆O1的直径,C是上底面圆周上一点,∠CBD=30°,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2023·武汉模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分别为AC,BC的中点,则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解题技法
求异面直线所成角的方法
(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角的三步:一作、二证、三求.
①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;
③三求:解三角形,求出所作的角.
提醒:如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
对点训练
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B. C. D.
2.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,
SO=OB=3,SE=SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
【加练备选】
　　 平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 【核心素养】 直观想象、数学运算、逻辑推理. 考向 考法 以空间几何体为载体,考查基本事实及其结论在判断位置关系、交线问题、求角中的应用.求异面直线所成的角是高考的热点,在各个题型中均有所体现.
预测 2025年高考主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假的判断和求解异面直线所成的角,主要以选择题或填空题的形式出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.四个基本事实
基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
符号:A,B,C三点不共线 存在唯一的α使A,B,C∈α.
基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
符号:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号:P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l.
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
符号:a∥b,b∥c a∥c.
2.基本事实的三个推论
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
3.空间点、直线、平面之间的位置关系
项目 直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 图形语言
符号语言 a∥b a∥α α∥β
相交关系 图形语言
符号语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l
其他关系 图形语言 -
符号语言 a,b是 异面直线 a α -
微点拨
(1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.
(2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.
4.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
5.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,
把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围:.
常用结论
1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 4 2 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(　×　)
(2)经过两条相交直线,有且只有一个平面.(　√　)
(3)两两相交的三条直线共面.(　×　)
(4)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a α,b β,则a,b是异面直线.(　×　)
提示:(1)中的两个平面可能相交;(2)正确;(3)中的三条直线相交于一点时可能不共面;(4)中的两条直线可能是平行直线.
2.(忽略直线不在平面内而致误)若直线l不平行于平面α,且l α,则(　　)
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
【解析】选B.由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.
3.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD A1B1C1D1,则(　　)
A.直线BC1与DA1所成的角为90°
B.直线BC1与CA1所成的角为90°
C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
【解析】选ABD.如图,连接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因为AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1 平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,连接B1C,则B1C⊥BC1,因为CD∩B1C=C,CD,B1C 平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1 平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确.连接A1C1,交B1D1于点O,则易得OC1⊥平面BB1D1D,连接OB,
因为OB 平面BB1D1D,所以OC1⊥OB,∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为a,则易得BC1=a,OC1=,所以在Rt△BOC1中,OC1=BC1,
所以∠OBC1=30°,故C错误.
因为C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角,
易得∠CBC1=45°,故D正确.
4.(必修二P134例1变形式)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则
(1)当AC,BD满足条件　　　　　　时,四边形EFGH为菱形;
(2)当AC,BD满足条件　　　　　　时,四边形EFGH为正方形.
【解析】(1)因为四边形EFGH为菱形,
所以EF=EH,
因为EF=AC,EH=BD,所以AC=BD.
(2)因为四边形EFGH为正方形,
所以EF=EH且EF⊥EH.
因为EF∥AC,EH∥BD,
且EF=AC,EH=BD,
所以AC=BD且AC⊥BD.
答案:(1)AC=BD　(2)AC=BD且AC⊥BD
【核心考点·分类突破】
考点一基本事实的应用
[例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的
中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
【证明】(1)如图所示,连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线,
所以EF∥B1D1.
在正方体AC1中,B1D1∥BD,
所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线;
【证明】(2)在正方体AC1中,设A1,C,C1三点确定的平面为α,平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,
所以Q是α与β的公共点.
同理,P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,
则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
【证明】(3)因为EF∥BD且EF所以DE与BF相交.设交点为M,
则由M∈DE,DE 平面D1DCC1,
得M∈平面D1DCC1,同理,点M∈平面B1BCC1.
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,
所以M∈CC1,
所以DE,BF,CC1三线交于点M.
解题技法
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法:先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
对点训练
1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过(　　)
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
【解析】选D.因为AB γ,M∈AB,所以M∈γ.
又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.
根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.
同理可知,点C也在γ与β的交线上.
所以γ与β的交线必经过点C和点M.
2.已知空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=BC,CH=DC.求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
【证明】(1)连接EF,GH,
因为E,F分别是AB,AD的中点,
所以EF∥BD.
又因为CG=BC,CH=DC,
所以GH∥BD,所以EF∥GH,
所以E,F,G,H四点共面.
(2)三直线FH,EG,AC共点.
【证明】(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,
所以设FH∩AC=M,
所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.
又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,
所以M∈EG,所以FH,EG,AC共点.
考点二空间两直线位置关系的判断
1.空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　)
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
【解析】选D.根据条件作出示意图,容易得到以下三种情况.
如图可知AB,CD有相交,平行,异面三种情况.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是(　　)
A.直线AA1 B.直线A1B1
C.直线A1D1 D.直线B1C1
【解析】选D.根据异面直线的概念可知直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线.因为直线B1C1和EF在同一平面内,且这两条直线不平行,所以直线B1C1和直线EF相交.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,
且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是(　　)
A.相交但不垂直 B.相交且垂直
C.异面 D.平行
【解析】选D.连接D1E并延长,与AD交于点M,由A1E=2ED,可得M为AD的中点,
连接BF并延长,交AD于点N,由CF=2FA,可得N为AD的中点,所以M,N重合,所以EF和BD1共面,且=,=,所以=,所以EF∥BD1.
4.(多选题)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,则在这个正四面体中(　　)
A.GH与EF平行
B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角
D.DE与MN垂直
【解析】选BCD.还原成正四面体A-DEF,如图所示,
其中H与N重合,A,B,C三点重合,易知GH与EF异面,BD与MN异面.
连接GM,因为△GMH为等边三角形,
所以GH与MN成60°角.
由图易得DE⊥AF,又MN∥AF,
所以MN⊥DE,
因此正确的选项是B,C,D.
5.(多选题)四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等,M,N分别为PA,CD的中点,下列说法正确的是(　　)
A.MN与PD是异面直线
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
【解析】选ABD.如图所示,取PB的中点H,连接MH,HC,
由题意知,四边形MHCN为平行四边形,所以MN∥平面PBC.设四边形MHCN确定平面α,又D∈α,故M,N,D共面,但P 平面α,D MN,因此MN与PD是异面直线,故A,B说法均正确;
若MN∥AC,由于CH∥MN,则CH∥AC,
事实上AC∩CH=C,C说法不正确;
因为PC=BC,H为PB的中点,所以CH⊥PB,又CH∥MN,所以MN⊥PB,D说法正确.
6.(2023·济南模拟)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,已知AA1=4,AB=2,点E,F分别在棱BB1,CC1上,且BE=BB1,CF=CC1,则(　　)
A.D1E≠AF,且直线D1E与AF是相交直线
B.D1E≠AF,且直线D1E与AF是异面直线
C.D1E=AF,且直线D1E与AF是异面直线
D.D1E=AF,且直线D1E与AF是相交直线
【解析】选B.连接D1B1,AC,
则D1E==,
AF==2≠D1E,
如图,取点M为BC的中点,连接AM,MF,AD1,D1F,
则AD1∥MF,故A,M,F,D1共面,点E在平面AMFD1外,
故直线D1E经过平面AMFD1内一点和平面外一点,故直线D1E和平面内直线AF异面.
解题技法
两直线位置关系的判定方法
(1)异面直线的判定:可采用直接法或反证法;
(2)平行直线的判定:可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理;
(3)垂直关系的判定:往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.
考点三异面直线所成的角
[例2](1)如图所示,圆柱O1O2的底面半径为1,高为2,AB是一条母线,BD是圆O1的直径,C是上底面圆周上一点,∠CBD=30°,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选C.连接AO2,设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E,连接CE,易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角,连接CD(图略),在Rt△BCD中,∠BCD=90°,BD=2,∠CBD=30°,得BC=,CD=1.
又AB=DE=AE=BD=2,AC==,CE==,
所以在△CAE中,cos∠CAE===,
即异面直线AC与BD所成角的余弦值为.
(2)(2023·武汉模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分别为AC,BC的中点,则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选D.设AB=2,取A1B1的中点F,连接C1F,DF,DE,则B1F=A1B1,
因为D,E分别为AC,BC的中点,
所以DE∥AB,DE=AB,
因为A1B1∥AB,A1B1=AB,
所以DE∥B1F,B1F=DE,
所以四边形DEB1F为平行四边形,所以DF∥B1E,
所以∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角.
因为AB⊥BC,AB=BC=AA1=2,D,E分别为AC,BC的中点,
所以DF=B1E==,
C1F==,C1D==,
所以cos∠C1DF===.
解题技法
求异面直线所成角的方法
(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角的三步:一作、二证、三求.
①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;
③三求:解三角形,求出所作的角.
提醒:如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
对点训练
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.如图,连接A1C1,BC1,因为AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.
设正方体的棱长为2,则PB=,PC1=,
BC1=2,则PB2+P=B,在Rt△PBC1中,
因为sin ∠PBC1===,
所以直线PB与AD1所成的角为.
2.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,
SO=OB=3,SE=SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角.
因为SE=SB,所以SE=BE.
又OB=3,所以OF=OB=1.
因为SO⊥OC,SO=OC=3,所以SC=3.
因为SO⊥OF,所以SF==.
因为OC⊥OF,所以CF=.
所以在等腰△SCF中,
tan∠CSF==.
即异面直线SC与OE所成角的正切值为.
【加练备选】
　　 平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.如图所示,过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1C1D1相同棱长的正方体,易知平面α为平面AF1E,则m,n所成的角为∠EAF1.
因为△AF1E为正三角形,所以sin∠EAF1=sin 60°=.

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