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第六节　利用空间向量研究直线、平面的位置关系
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系. 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理. 【核心素养】 直观想象、数学运算、逻辑推理. 考向 考法 高考题常以平行、垂直关系为载体,考查空间向量的运算、直线的方向向量、平面的法向量的应用.线面、面面关系是高考热点,主要在解答题中体现.
预测 2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度中档.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.
注:①一条直线l有无穷多个方向向量(非零向量),这些方向向量之间互相平行.
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
微点拨
(1)直线的方向向量不唯一,一般取直线上两点构成其一个方向向量.
(2)平面的法向量不唯一,所以可以用赋值法求出平面的一个法向量.
2. 空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向 向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向 向量为n,平面 α的法向量为m l∥α n⊥m n·m=0
l⊥α n∥m n=λm
平面α,β的法向 量分别为n,m α∥β n∥m n=λm
α⊥β n⊥m n·m=0
微点拨
利用法向量证明线面平行时,直线的方向向量与平面的法向量垂直是线面平行的必要条件,应注明直线在平面外.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两平面的法向量平行,则两平面平行.(　√　)
(2)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.(　√　)
(3)若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行.(　×　)
(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(　×　)
提示:易知(1)(2)正确;(3)中向量a和b所在的直线可能重合;(4)中a所在的直线可能在平面内.
2.(选择性必修一P30例3·变形式)平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于(　　)
A.2 B.-4 C.4 D.-2
【解析】选C.因为α∥β,所以两平面的法向量平行,所以==,所以k=4.
3.(选择性必修一P32例4·变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则有(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l与α斜交 D.l α或l∥α
【解析】选B.由a=-n知,n∥a,则有l⊥α.
4.(忽视线在平面内)若直线l的方向向量为a=,平面α的法向量为n=,则(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l α或l∥α D.l 与α斜交
【解析】选C.因为a=,n=,
所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l α.
【核心考点·分类突破】
考点一利用空间向量证明平行问题
角度1 线面平行
[例1]如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.
【证明】如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意知,A(0,,2),B(0,-,0),D(0,,0).设点C的坐标为(x0,y0,0),则=(x0,y0-,-2).
因为=3,所以Q.
因为M为AD的中点,所以M(0,,1).
又因为P为BM的中点,故P,
所以=.
又因为平面BCD的一个法向量为a=(0,0,1),故·a=0.
又因为PQ 平面BCD,所以PQ∥平面BCD.
角度2 面面平行
[例2]如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,证明平面EFG∥平面PBC.
【证明】由题意,易知∠PAD=90°,即PA⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四边形ABCD为正方形,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
因为=(0,1,0),=(0,2,0),
所以=2,所以BC∥EF.
又因为EF 平面PBC,BC 平面PBC,
所以EF∥平面PBC,
同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.
又因为EF∩GF=F,EF 平面EFG,FG 平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.
解题技法
　利用空间向量证明线面、面面平行的方法
(1)证明线面平行的常用方法:
①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面;
②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;
③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明面面平行常用的方法:
①利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;
②证明两个平面的法向量平行;
③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.
提醒:运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.
对点训练
　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
【证明】建立空间直角坐标系如图,
则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).
(1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的一个法向量,
则,即,
得,
令z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).
因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1,
又因为FC1 平面ADE,所以FC1∥平面ADE.
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【证明】建立空间直角坐标系如图,
则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).
(2)因为=(2,0,0),
设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量,
由,得,
得,
令z2=2,得y2=-1,
所以n2 =(0,-1,2),因为n1=n2,
所以平面ADE∥平面B1C1F.
考点二利用空间向量证明垂直问题
角度1　线线、线面垂直
[例3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,
∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
证明:(1)AE⊥CD;
【证明】以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1),B(1,0,0).
(1)因为∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.
所以C,E.
设D(0,y,0),由AC⊥CD,得·=0,
即y=,则D,
所以=.
又因为=(,,),
所以·=-×+×=0,
所以⊥,即AE⊥CD.
(2)PD⊥平面ABE.
【证明】以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1),B(1,0,0).
(2)(方法一)由(1)知,D,P(0,0,1),
所以=.
又因为·=×+×(-1)=0,
所以⊥,即PD⊥AE.
因为=(1,0,0),所以·=0.
所以PD⊥AB.
又因为AB∩AE=A,AB,AE 平面ABE,
所以PD⊥平面ABE.
(方法二)由(1)知,=(1,0,0),=,
设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),
则,
令y=2,则z=-,所以n=(0,2,-)为平面ABE的一个法向量.
因为=,显然=n.
因为∥n,
所以⊥平面ABE,
即PD⊥平面ABE.
角度2 面面垂直
[例4]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)证明:AP⊥BC;
【证明】(1)如图所示,以O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.
则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),
所以=(0,3,4),=(-8,0,0).
所以·=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,
所以⊥,即AP⊥BC.
(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
【证明】(2)由(1)知||=5,又||=3,
且点M在线段AP上,
所以==.
又=(-4,-5,0),
所以=+=,
则·=(0,3,4)·=0,
所以⊥,
即AP⊥BM.
由(1)知AP⊥BC,
所以AP⊥平面BMC,
所以AM⊥平面BMC.
又AM 平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.
解题技法
　利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零
线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直 证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示
对点训练
　如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=
∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:
(1)PA⊥BD;
【证明】(1)取BC的中点O,连接PO,
因为平面PBC⊥底面ABCD,△PBC为等边三角形,
所以PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=.
所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,).
所以=(-2,-1,0),=(1,-2,-).
因为·=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,
所以⊥,所以PA⊥BD.
(2)平面PAD⊥平面PAB.
【证明】(2)取PA的中点M,连接DM,则M.
因为=,=(1,0,-),
所以·=×1+0×0+×(-)=0,
所以⊥,即DM⊥PB.
因为·=×1+0×(-2)+×(-)=0,所以⊥,即DM⊥PA.
又因为PA∩PB=P,所以DM⊥平面PAB.
因为DM 平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.
考点三与平行、垂直有关的综合问题
[例5]如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且
DE∥BC,DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.
(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;
【解析】(1)由折叠的性质得CD⊥DE,A1D⊥DE.
又因为CD∩A1D=D,所以DE⊥平面A1CD.
又因为A1C 平面A1CD,所以A1C⊥DE.
又A1C⊥CD,CD∩DE=D,
所以A1C⊥平面BCDE.
建系如图,则C(0,0,0),D(-2,0,0),A1(0,0,2),E(-2,2,0),B(0,3,0),
所以=(0,3,-2),=(-2,2,-2).
设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),
则,所以,
取z=,则x=-1,y=2,所以n=(-1,2,)为平面A1BE的一个法向量.
又因为M(-1,0,),所以=(-1,0,),
所以cos<,n>===.
所以CM与平面A1BE所成角的大小为45°.
(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直 说明理由.
【解析】(2)假设线段BC上存在点P满足条件,设P点坐标为(0,a,0),a∈[0,3],
所以=(0,a,-2),=(2,a,0).
设平面A1DP的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则,
取y1=6,则x1=-3a,z1=a,
所以n1=(-3a,6,a).
若平面A1DP与平面A1BE垂直,则n1·n=0,
所以3a+12+3a=0,即6a=-12,所以a=-2.
因为0≤a≤3,所以a=-2舍去.
所以线段BC上不存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.
解题技法
1.“是否存在”型问题的两种探索方式
(1)根据条件作出判断,再进一步论证.
(2)利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.
2.解决折叠问题的关键
解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量.
对点训练
　如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD.
【解析】(1)连接BD,设AC交BD于点O,则AC⊥BD.连接SO,
由题意知SO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点,OB,OC,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设底面边长为a,则SO=a,
所以S,D,B,C,
所以=,=,
则·=0.
故OC⊥SD.所以AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC 若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
【解析】(2)侧棱SC上存在一点E使得BE∥平面PAC,此时SE∶EC=2∶1.理由如下:
由已知条件知是平面PAC的一个法向量,
且=,=,
=.
设=t(0则=+=+t
=,
又因为·=0,
所以a×+a×=0,所以t=.
即当SE∶EC=2∶1时,⊥.
而BE 平面PAC,故BE∥平面PAC.第六节　利用空间向量研究直线、平面的位置关系
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系. 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理. 【核心素养】 直观想象、数学运算、逻辑推理. 考向 考法 高考题常以平行、垂直关系为载体,考查空间向量的运算、直线的方向向量、平面的法向量的应用.线面、面面关系是高考热点,主要在解答题中体现.
预测 2025年高考本节内容仍会与立体几何知识结合考查,试题难度中档.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.
注:①一条直线l有无穷多个方向向量(非零向量),这些方向向量之间互相平行.
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
微点拨
(1)直线的方向向量不唯一,一般取直线上两点构成其一个方向向量.
(2)平面的法向量不唯一,所以可以用赋值法求出平面的一个法向量.
2. 空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向 向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向 向量为n,平面 α的法向量为m l∥α n⊥m n·m=0
l⊥α n∥m n=λm
平面α,β的法向 量分别为n,m α∥β n∥m n=λm
α⊥β n⊥m n·m=0
微点拨
利用法向量证明线面平行时,直线的方向向量与平面的法向量垂直是线面平行的必要条件,应注明直线在平面外.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两平面的法向量平行,则两平面平行.(　　)
(2)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.(　　)
(3)若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行.(　　)
(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(　　)
提示:易知(1)(2)正确;(3)中向量a和b所在的直线可能重合;(4)中a所在的直线可能在平面内.
2.(选择性必修一P30例3·变形式)平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k).若α∥β,则k等于(　　)
A.2 B.-4 C.4 D.-2
3.(选择性必修一P32例4·变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则有(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l与α斜交 D.l α或l∥α
4.(忽视线在平面内)若直线l的方向向量为a=,平面α的法向量为n=,则(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l α或l∥α D.l 与α斜交
【核心考点·分类突破】
考点一利用空间向量证明平行问题
角度1 线面平行
[例1]如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.
[例2]如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,证明平面EFG∥平面PBC.
解题技法
　利用空间向量证明线面、面面平行的方法
(1)证明线面平行的常用方法:
①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面;
②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;
③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明面面平行常用的方法:
①利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;
②证明两个平面的法向量平行;
③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.
提醒:运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.
对点训练
　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
考点二利用空间向量证明垂直问题
角度1　线线、线面垂直
[例3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,
∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
证明:(1)AE⊥CD;
(2)PD⊥平面ABE.
角度2 面面垂直
[例4]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)证明:AP⊥BC;
(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
解题技法
　利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零
线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直 证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示
对点训练
　如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=
∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.
考点三与平行、垂直有关的综合问题
[例5]如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且
DE∥BC,DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.
(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;
(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直 说明理由.
解题技法
1.“是否存在”型问题的两种探索方式
(1)根据条件作出判断,再进一步论证.
(2)利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.
2.解决折叠问题的关键
解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量.
对点训练
　如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC 若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.

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