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第三节　空间直线、平面的平行
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的定义,归纳出有关平行的性质定理和判定定理,并加以证明. 2.能运用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 【核心素养】 直观想象、逻辑推理. 考向 考法 高考命题常以空间几何体为载体,考查直线、平面平行的判断和证明.线面平行的证明是高考的热点.常以解答题的形式出现.
预测 2025年高考这一部分知识仍会考查,以解答题第(1)问的形式出现,难度中档.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
项目 文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 a α,b α, a∥b a∥α
性质定理 一条直线和一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行 a∥α,a β, α∩β=b a∥b
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
项目 文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 a β,b β,a∩b=P, a∥α,b∥α α∥β
性质 两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β,a α a∥β
性质定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行 α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b
微点拨
三种平行关系的转化
常用结论
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
2.平行关系有关的性质
(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(2)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
(3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(　×　)
(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(　×　)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(　×　)
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　√　)
提示:(1)若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故(1)错误.
(2)若a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线只有一条,故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故(3)错误.
2.(必修二P138例3变形式)已知直线l和平面α,若l∥α,P∈α,则过点P且平行于l的直线(　　)
A.只有一条,不在平面α内
B.只有一条,且在平面α内
C.有无数条,一定在平面α内
D.有无数条,不一定在平面α内
【解析】选B.过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条,因为点P在平面α内,所以这条直线也应该在平面α内.
3.(易忽略“a α”而致误)两条直线a,b满足a∥b,b α,则a与平面α的位置关系一定是(　　)
A.a∥α B.a α
C.a与α相交 D.a与α不相交
【解析】选D.由于b α且a∥b,则a∥α或a α.故a与α不相交.
4.(必修二P137例2变形式)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是(　　)
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
【解析】选B.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,因为AB 平面ABC,A1B1 平面ABC,
所以A1B1∥平面ABC,因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE,所以DE∥A1B1,所以DE∥AB.
【核心考点·分类突破】
考点一直线与平面平行
考情提示
直线与平面平行作为空间平行关系的载体
因其全面考查直线与平面平行的判定、性质定理而成为高考的热点,涉及空间平行关系的判断、证明以及在实际问题中的应用.
角度1 直线与平面平行的判定
[例1]如图所示的四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD,AD=BD=2,
∠BDC=,BC=2,PD⊥平面ABCD,FC=2PF.证明:AP∥平面BDF.
【证明】因为AB∥CD,所以∠DBA=∠BDC=,
因为AD=BD,所以△DAB为等边三角形,
所以AB=DB=2,
在△BDC中,DB=2,∠BDC=,BC=2,
由余弦定理得
BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC,
即=22+CD2-2×2×CD×,所以CD=4.
如图,连接AC交BD于点E,连接EF,
因为AB∥CD,所以△ABE∽△CDE,
所以AE∶EC=AB∶CD=1∶2,
因为PF∶FC=1∶2,所以EF∥AP,
又AP 平面BDF,EF 平面BDF,
所以AP∥平面BDF.
角度2 直线与平面平行的性质
[例2]如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,EF 平面ABCD,M是EF的中点.
(1)求证:AM∥平面BDE;
【解析】(1)记AC与BD的交点为O,连接OE(图略).因为O,M分别是AC,EF的中点,四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM∥OE.
因为OE 平面BDE,AM 平面BDE,
所以AM∥平面BDE.
(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.
【解析】(2)l∥m,证明如下:由(1)知,AM∥平面BDE.
因为AM 平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,
所以l∥AM.
因为AM 平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m∥AM,所以l∥m.
解题技法
1.判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a α,b α,a∥b a∥α).
(3)利用面面平行的性质(α∥β,a α a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β,a β,a∥α a∥β).
2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
对点训练
　如图,四边形ABCD为矩形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.证明:
(1)DF∥平面PBE;
【证明】(1)取PB的中点G,连接FG,EG,
因为点F为PC的中点,
所以FG∥BC,FG=BC,
因为四边形ABCD为矩形,所以BC∥AD,且BC=AD,
所以DE∥FG,DE=FG,所以四边形DEGF为平行四边形,
所以DF∥GE,因为DF 平面PBE,GE 平面PBE,所以DF∥平面PBE;
(2)DF∥l.
【证明】(2)由(1)知DF∥平面PBE,
又DF 平面PDC,平面PDC∩平面PBE=l,
所以DF∥l.
考点二平面与平面平行的判定与性质
考情提示
平面与平面平行作为空间平行关系的载体
因其全面考查平面与平面平行的判定定理与性质定理而成为高考的热点.涉及空间平面与平面平行关系的判断、证明以及在空间实际问题中的应用.
角度1 平面与平面平行的判定
[例3]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:
(1)EG∥平面BDD1B1;
【证明】(1)连接SB,如图所示:
因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB,
又因为SB 平面BDD1B1,EG 平面BDD1B1,
所以直线EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
【证明】(2)连接SD,如图所示,
因为F,G分别是DC,SC的中点,
所以FG∥SD,
又因为SD 平面BDD1B1,FG 平面BDD1B1,
所以FG∥平面BDD1B1,
由(1)得EG∥平面BDD1B1,且EG 平面EFG,FG 平面EFG,EG∩FG=G,
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
角度2 平面与平面平行的性质
[例4](2023·承德模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在棱AA1上,点F在棱CC1上,G在棱BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是棱B1C1上一点.
(1)求证:E,B,F,D1四点共面;
【证明】(1)如图,在DD1上取一点N使得DN=1,
连接CN,EN,则AE=DN=1.CF=ND1=2,
因为CF∥ND1,所以四边形CFD1N是平行四边形,所以D1F∥CN.
同理四边形DNEA是平行四边形,
所以EN∥AD,且EN=AD,
又BC∥AD,且AD=BC,
所以EN∥BC,EN=BC,
所以四边形CNEB是平行四边形,
所以CN∥BE,所以D1F∥BE,
所以E,B,F,D1四点共面;
(2)若平面A1GH∥平面BED1F,求证:H为B1C1的中点.
【证明】(2)因为平面A1GH∥平面BED1F,
平面BB1C1C∩平面A1HG=HG,
平面BB1C1C∩平面BED1F=BF,所以BF∥HG.
所以∠B1GH=∠FBG=∠CFB,在Rt△BCF中,tan∠CFB==,
在Rt△HB1G中,tan∠B1GH==B1H,
所以B1H=,即H为B1C1 的中点.
解题技法
1.证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β α∥β).
(3)利用面面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ α∥γ).
2.当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线平行.
对点训练
　在三棱柱ABC-A1B1C1中,若点D,D1分别是AC,A1C1上的点,且平面BC1D∥平面AB1D1,试求的值.
【解析】连接A1B交AB1于O,连接OD1,
由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,
所以BC1∥D1O,同理可得AD1∥DC1,
所以==1,即D1为线段A1C1的中点,所以D为线段AC的中点,即=1.
考点三空间平行关系的综合问题
[例5]在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,平面PAB∩平面PCD=l.
(1)证明:l∥CD;
【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,
所以AB∥CD,又AB 平面PCD,CD 平面PCD,所以AB∥平面PCD,又AB 平面PAB,平面PAB∩平面PCD=l,
所以AB∥l,因为AB∥CD,所以l∥CD.
(2)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC 证明你的结论.
【解析】(2)当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.
证明如下,如图,取PE的中点M,连接FM,
由于M为PE的中点,F为PC的中点,
所以FM∥CE,由M为PE的中点,得EM=PE=ED,知E是MD的中点,
连接BM,BD,设BD∩AC=O,
因为四边形ABCD是菱形,则O为BD的中点,
由于E是MD的中点,O是BD的中点,
所以BM∥OE,
由FM∥CE,BM∥OE知,平面BFM∥平面AEC,
又BF 平面BFM,所以BF∥平面AEC.
解题技法
存在性问题的解题策略
　解决这种存在性问题,寻找思路时可以先从特殊值(如中点)入手,验证是否成立,若成立,先下结论再证明;若不成立,再借助线面平行、面面平行的判定与性质来寻求满足结论的条件.
对点训练
　如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAB是等边三角形,
BC⊥AB,BC=CD=2,AB=AD=2.
(1)若PC=4,求三棱锥P-ABC的体积;
【解析】(1)因为△PAB是等边三角形,AB=2,
所以PB=2.又因为PC=4,BC=2,
所以PC2=PB2+BC2,所以BC⊥PB.
又BC⊥AB,AB,PB 平面PAB,AB∩PB=B,
所以BC⊥平面PAB.
S△PAB=×2×2×sin 60°=,
所以三棱锥P-ABC的体积
V=S△PAB·BC=××2=2.
(2)若PB=3BE,则在线段BC上是否存在一点F,使平面AEF∥平面PCD 若存在,求线段BF的长;若不存在,请说明理由.
【解析】(2)在线段BC上存在一点F,使平面AEF∥平面PCD.
此时BF=.理由如下:
如图,作EF∥PC,交BC于F,连接AF.
因为PB=3BE,所以E是PB的三等分点,可得BF=.
因为AB=AD=2,BC=CD=2,AC=AC,
所以△ABC≌△ADC,因为BC⊥AB,所以∠ABC=90°,
因为tan∠ACB===,
所以∠ACB=∠ACD=30°,所以∠BCD=60°,
因为tan∠AFB===,
所以∠AFB=60°,所以AF∥CD,
因为AF 平面PCD,CD 平面PCD,
所以AF∥平面PCD.
又EF∥PC,EF 平面PCD,PC 平面PCD,所以EF∥平面PCD.
因为AF∩EF=F,AF 平面AEF,EF 平面AEF,所以平面AEF∥平面PCD.
所以在线段BC上存在一点F,使平面AEF∥平面PCD.此时BF=.第三节　空间直线、平面的平行
【课标解读】 【命题说明】
【课程标准】 1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的定义,归纳出有关平行的性质定理和判定定理,并加以证明. 2.能运用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 【核心素养】 直观想象、逻辑推理. 考向 考法 高考命题常以空间几何体为载体,考查直线、平面平行的判断和证明.线面平行的证明是高考的热点.常以解答题的形式出现.
预测 2025年高考这一部分知识仍会考查,以解答题第(1)问的形式出现,难度中档.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
项目 文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 a α,b α, a∥b a∥α
性质定理 一条直线和一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行 a∥α,a β, α∩β=b a∥b
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
项目 文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 a β,b β,a∩b=P, a∥α,b∥α α∥β
性质 两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β,a α a∥β
性质定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行 α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b
微点拨
三种平行关系的转化
常用结论
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
2.平行关系有关的性质
(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(2)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
(3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(　×　)
(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(　×　)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(　×　)
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　√　)
提示:(1)若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故(1)错误.
(2)若a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线只有一条,故(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故(3)错误.
2.(必修二P138例3变形式)已知直线l和平面α,若l∥α,P∈α,则过点P且平行于l的直线(　　)
A.只有一条,不在平面α内
B.只有一条,且在平面α内
C.有无数条,一定在平面α内
D.有无数条,不一定在平面α内
3.(易忽略“a α”而致误)两条直线a,b满足a∥b,b α,则a与平面α的位置关系一定是(　　)
A.a∥α B.a α
C.a与α相交 D.a与α不相交
4.(必修二P137例2变形式)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是(　　)
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
【核心考点·分类突破】
考点一直线与平面平行
考情提示
直线与平面平行作为空间平行关系的载体
因其全面考查直线与平面平行的判定、性质定理而成为高考的热点,涉及空间平行关系的判断、证明以及在实际问题中的应用.
角度1 直线与平面平行的判定
[例1]如图所示的四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD,AD=BD=2,
∠BDC=,BC=2,PD⊥平面ABCD,FC=2PF.证明:AP∥平面BDF.
角度2 直线与平面平行的性质
[例2]如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,EF 平面ABCD,M是EF的中点.
(1)求证:AM∥平面BDE;
(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.
解题技法
1.判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a α,b α,a∥b a∥α).
(3)利用面面平行的性质(α∥β,a α a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β,a β,a∥α a∥β).
2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
对点训练
　如图,四边形ABCD为矩形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.证明:
(1)DF∥平面PBE;
(2)DF∥l.
考点二平面与平面平行的判定与性质
考情提示
平面与平面平行作为空间平行关系的载体
因其全面考查平面与平面平行的判定定理与性质定理而成为高考的热点.涉及空间平面与平面平行关系的判断、证明以及在空间实际问题中的应用.
角度1 平面与平面平行的判定
[例3]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:
(1)EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
角度2 平面与平面平行的性质
[例4](2023·承德模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在棱AA1上,点F在棱CC1上,G在棱BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是棱B1C1上一点.
(1)求证:E,B,F,D1四点共面;
(2)若平面A1GH∥平面BED1F,求证:H为B1C1的中点.
解题技法
1.证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β α∥β).
(3)利用面面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ α∥γ).
2.当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线平行.
对点训练
　在三棱柱ABC-A1B1C1中,若点D,D1分别是AC,A1C1上的点,且平面BC1D∥平面AB1D1,试求的值.
考点三空间平行关系的综合问题
[例5]在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,平面PAB∩平面PCD=l.
(1)证明:l∥CD;
(2)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC 证明你的结论.
解题技法
存在性问题的解题策略
　解决这种存在性问题,寻找思路时可以先从特殊值(如中点)入手,验证是否成立,若成立,先下结论再证明;若不成立,再借助线面平行、面面平行的判定与性质来寻求满足结论的条件.
对点训练
　如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAB是等边三角形,
BC⊥AB,BC=CD=2,AB=AD=2.
(1)若PC=4,求三棱锥P-ABC的体积;
(2)若PB=3BE,则在线段BC上是否存在一点F,使平面AEF∥平面PCD 若存在,求线段BF的长;若不存在,请说明理由.

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