资源简介

第二节　基本不等式
【课标解读】
【课程标准】
1.掌握基本不等式≤(a,b>0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 利用基本不等式求最值是高考的重点,通常与函数、数列、解析几何、导数等内容相结合,题型以选择题、填空题为主,中低档难度.
预测 2025年备考仍以选择题、解答题为主,重点关注利用基本不等式进行大小判断、求最值和求取值范围的问题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.
(3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.
微点拨利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2.
(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2.
微点拨记忆口诀:两正数的和定积最大,两正数的积定和最小.
常用结论
1.ab≤()2≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.
2.常见求最值的模型
模型一:mx+≥2(m>0,n>0,x>0),当且仅当x=时,等号成立;
模型二:mx+=m(x-a)++ma≥2+ma(m>0,n>0,x>a),当且仅当x-a=时,等号成立;
模型三:=≤(a>0,c>0,x>0),当且仅当x=时,等号成立;
模型四:x(n-mx)=≤·()2=(m>0,n>0,0基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 4 2 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　 ×　)
提示:(1)不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;不等式≥成立的条件是a>0,b>0,故(1)不正确.
(2)函数y=x+(x>0)的最小值是2.(　 √　)
提示: (2)由基本不等式可知y=x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,故(2)正确.
(3)函数f(x)=sin x+的最小值为4.(　 ×　)
提示: (3)函数f(x)=sin x+没有最小值.
(4)x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件.(　 √　)
提示: (4)由x>0且y>0可以得到+≥2,反之不成立,所以x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件.
2.(忽视等号成立的条件)函数y=x2+-2(-1A.{y|y>2} B.{y|y≥2}
C. D.
【解析】选D.令t=x2,01+=5,所以y=x2+-2>5-2=3.
3.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
【解析】选BC.因为ab≤≤(a,b∈R),由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3,解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=-1时,x+y=-2,当且仅当x=y=1时,x+y=2,所以A错误,B正确;
由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤,解得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时取等号,所以C正确;
因为x2+y2-xy=1变形可得+y2=1,设x-=cos θ,y=sin θ,所以x=cos θ+
sin θ,y=sin θ,因此x2+y2=cos2θ+sin2θ+sin θcos θ=1+sin 2θ-cos 2θ+=+sin∈,所以x2+y2≥1不成立,所以D错误.
4.(人A必修第一册P48习题2.2T1(2)变条件)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是　　　　.
【解析】因为0≤x≤1,所以3-2x>0,
所以y=·2x·(3-2x)≤[]2=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.
答案:
【核心考点·分类突破】
考点一利用基本不等式求最值
考情提示
利用基本不等式求最值时应注意基本不等式成立的条件.高考时,一般不会直接应用基本不等式求最值,常常需要对题目进行“添加项”“换元”或“常数代换”后再利用基本不等式求最值.
角度1　直接法
[例1](1)(2024·滨州模拟)若x>0,则f=4x+的最小值为(　　)
A.4 B.9 C.12 D.21
【解析】选C.因为x>0,由基本不等式得:
f=4x+≥2=12,当且仅当4x=,即x=时等号成立,即f=12.
(2)已知a,b∈R,且2a-b-2=0,则9a+的最小值为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选C.因为2a-b-2=0,所以2a-b=2,
因为32a>0,3-b>0,所以9a+=32a+3-b≥
2=2=2=6,
当且仅当,即时,取等号,故9a+的最小值为6.
解题技法
利用基本不等式求最值的条件
必须满足的三个条件为“一正、二定、三相等”.
(1)“一正”:各项必须为正数.
(2)“二定”:要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.
(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.
角度2　配凑法
[例2](1)若x<,则f(x)=3x+1+有(　　)
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值-3 D.最小值-3
【解析】选C.因为x<,所以3x-2<0,
f(x)=3x-2++3=-[(2-3x)+]+3≤-2+3=-3.
当且仅当2-3x=,即x=-时,取“=”.
(2)已知0【解析】因为0所以1-2x2>0,x=·x≤·=,当且仅当2x2=1-2x2,即x=时等号成立.
答案:
解题技法
配凑法求最值的解题策略
1.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法;
2.对于或的分式型代数式需要先化简,再配凑,最后利用基本不等式或对勾函数解决相应最值问题.
提醒:注意验证等号取得的条件.
角度3　常数代换法
[例3](1)(2024·昆明模拟)已知实数x>0,y>0,x+3y=2,则+的最小值为(　　)
A.3 B.1+ C.2+ D.2+
【解析】选D.因为x>0,y>0,且x+3y=2,
所以+==≥2+=2+,
当且仅当=,即y=,x=-1时取等号.
(2)已知正数a,b满足a+b=ab-1,则a+b的最小值为　　　　　　.
【解析】因为a+b=ab-1,所以a=>0,
所以b>1.
所以a+b=+b=+b=1++b
=1++(b-1)+1=2+(b-1)+≥
2+2=2+2(当且仅当b=1+,a=1+时,取等号).
答案:2+2
解题技法
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
角度4　消元法
[例4](2024·烟台模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　　.
【解析】方法一(换元消元法):
由已知得9-(x+3y)=xy=·x·3y≤·()2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号.即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,
令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,
得t≥6,即x+3y的最小值为6.
方法二(代入消元法):
由x+3y+xy=9,得x=,
所以x+3y=+3y=
==
=3(1+y)+-6≥2-6
=12-6=6,
当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时取等号,所以x+3y的最小值为6.
答案:6
解题技法
利用消元法、换元法求最值的方法
(1)消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
(2)换元法,求较复杂的式子的最值时,通常利用换元法将式子恰当变形,简化式子,再利用基本不等式求解.
角度5 由条件等式求a+b或ab的取值范围或最值
教考衔接 教材情境·研习·典题类
[例5](必修第一册P58T5变形式)若a,b>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围为　　　　　　.
【解析】解法一(基本不等式法):
由已知得a+b=ab-3,
又a,b>0时,a+b≥2,
所以ab-3≥2,
所以-2-3≥0,
则(-3)(+1)≥0,
所以≥3或≤-1(舍去),
所以≥3,则ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立,所以ab的取值范围为[9,+∞).
解法二(换元法):
令ab=t(t>0),则a=(t>0),代入ab=a+b+3,
整理得b2+(3-t)b+t=0,
因为该方程有正根,
所以
即,解得t≥9,
所以ab的取值范围为[9,+∞).
答案:[9,+∞)
解题导思
看问题 双变量求范围问题
提信息 a,b>0,ab=a+b+3
定思路 [思路①]从结构特征上看,联想到基本不等式法. 利用a+b≥2与ab=a+b+3建立关于的不等式,求解ab的取值范围. [思路②]从方程角度上分析,联想到换元法. 令ab=t(t>0),与ab=a+b+3联立建立关于b(或a)的一元二次方程,根据方程有正根,建立关于t的不等式求解t的范围,从而求出ab的取值范围.
高考链接
(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)
A.1+ B.4 C.1+3 D.7
【解析】选C.解法一(换元法):
令x-y=t,则x=t+y,代入x2+y2-4x-2y-4=0,
整理得2y2+(2t-6)y+t2-4t-4=0,
因为存在实数y,则Δ≥0,
即(2t-6)2-4×2(t2-4t-4)≥0,
化简得t2-2t-17≤0,
解得1-3≤t≤1+3.
所以x-y的最大值为1+3.
解法二(基本不等式法):
由a2+b2≥2ab(a,b∈R)得
≥,
由已知得(x-2)2+(y-1)2=9,
所以=
=≥,
当且仅当x-2=1-y,即x=,
y=或x=,y=时,等号成立.
即≥,所以(x-y-1)2≤18,
则|x-y-1|≤3,
所以1-3≤x-y≤1+3,
故x-y的最大值为1+3.
[溯源点评]从命题情境角度上,高考真题与教材题目“形似”,都考查了二元二次方程相关的知识.从解题方法上看“法同”,通过构造变形采用基本不等式法和换元法求解.体现了高考试题对于同一考点可以变换角度与变换题型进行考查.
对点训练
1.(2024·曲靖模拟)已知0A.1 B.2 C. D.
【解析】选C.因为0所以x=≤=,
当且仅当x2=5-x2,即x=时,等号成立,
所以x的最大值是.
2.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.方法一:由条件得y=,
由x>0,y>0知x>,
从而3x+4y=3x+=3x+=3++≥2+=5,
当且仅当3=,
即x=1,y=时取等号.
故3x+4y的最小值为5.
方法二:对原条件式转化得+=5,
则3x+4y==≥=5,
当且仅当=,x+3y=5xy,即x=1,y=时取等号.故3x+4y的最小值为5.
3.已知ab>0,a+b=1,则的最小值为　　　.
【解析】因为ab>0,a+b=1,所以==++5≥2+5=9,当且仅当=即a=,b=时,等号成立.所以的最小值为9.
答案:9
考点二基本不等式的综合应用
[例6](1)对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为(　　)
A. B.2 C.4 D.
【解析】选B.因为对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,所以m2+2n2≥amn,
即a≤=+恒成立,
因为+≥2=2,
当且仅当=,即m=n时,取等号,
所以a≤2,故实数a的最大值为2.
(2)已知正数x,y满足4x+9y=xy且x+y【解析】由已知,得+=1,x+y=(x+y)·(+)=++13≥2+13=25,
当且仅当=,即x=15,y=10时,取等号.
由题意得,(x+y)min即m2-24m>25,解得m<-1或m>25.
答案:(-∞,-1)∪(25,+∞)
解题技法
利用基本不等式求解综合问题的求解策略
(1)当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.
(2)求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.
对点训练
1.(多选题)实数x,y满足xy+3x=3 ,若+A.-3 B.-2 C.4 D.5
【解析】选AD.因为实数x,y满足xy+3x=3(03,
所以+=y+3+=++6≥2+6=8,
当且仅当y=4时,等号成立,所以m2-2m>8,
即m2-2m-8>0,解得m<-2或m>4.
2.(2024·潮州模拟)正实数x,y满足+=2,且不等式x+≥m2-m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　　.
【解析】因为不等式x+≥m2-m恒成立,
所以≥m2-m,
因为x>0,y>0,且+=2,
所以x+=(x+) (+)=++1≥2+1=2,
当且仅当=,即x=1,y=4时,等号成立,所以=2,所以m2-m≤2,
即(m+1)(m-2)≤0,解得-1≤m≤2.
答案:
【加练备选】
　　 若 x∈,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,则实数λ的可能取值是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.5
【解析】选A.因为原命题为假命题,所以其否定: x∈,2x2-λx+1≥0为真命题,
即 x∈,λ≤2x+,
又2x+≥2=2(当且仅当2x=,即x=时取等号),所以λ的取值范围为,则选项中λ可能的取值为2.
考点三基本不等式的实际应用
[例7]某公司购买了一批机器投入生产,若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位:万元)与机器运转时间t(单位:年,t∈N*)的关系为s=-t2+23t-64,要使年平均利润最大,则每台机器运转的时间t为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选D.由题意得,年平均利润y==-t-+23=-+23≤-2+23=7,当且仅当t=,即t=8时等号成立,故要使年平均利润最大,则每台机器运转的时间t为8.
解题技法
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题建立函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.
对点训练
某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32 m2的矩形空地,并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区四周各空0.5 m,各试验区之间也空0.5 m.则每块试验区的面积的最大值为　　　　m2.
【解析】设矩形空地的长为x m,则宽为 m,设试验区的总面积为S m2,所以S=(x-0.5×4)·(-0.5×2)=34-x-≤34-2=18,当且仅当x=,即x=8时等号成立,即每块试验区的面积的最大值为=6 m2.
答案:6
【加练备选】
　　 已知圆锥的母线长为2,侧面积为S,体积为V,则取得最大值时圆锥的体积为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.设圆锥底面半径为r,高为h,由题意可得母线l=2,所以圆锥的侧面积为S=πrl=2πr,且h==,所以圆锥的体积为V=πr2h=πr2·,则==r≤·=,当且仅当r=,即r=时,等号成立,此时V=πr2=×π×2×=.
【重难突破 柯西不等式】
　　柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外,柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中,借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.
1.柯西不等式的代数形式
设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
推广:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+
…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
2.柯西不等式的向量形式
设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
3.柯西不等式的三角不等式
设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数,则+
≥.
类型一 利用柯西不等式求最值
[例1](1)(2023·浙江模拟)若sin x+cos y+sin(x+y)=2,则sin x的最小值是(　　)
A.0 B.2- C.3- D.
【解析】选C.由已知sin x+cos y+sin xcos y+cos xsin y=2整理得2-sin x=(sin x
+1)cos y+cos xsin y,
由柯西不等式得(sin x+1)cos y+cos xsin y≤·
=,
当且仅当(sin x+1)sin y=cos ycos x时取等号,
所以(2-sin x)2≤2+2sin x,即sin2x-6sin x+2≤0,解得3-≤sin x≤1,
所以sin x的最小值为3-.
(2)函数f(x)=2+的最大值及取得最大值时x的值分别为(　　)
A., B., C., D.,
【解析】选A.由柯西不等式可知,(2+)2≤(22+12)[()2+()2]=5,
所以2+≤,当且仅当2=,即x=时取等号,
故函数f(x)=2+的最大值及取得最大值时x的值分别为,.
解题技法
柯西不等式求解最值的策略
关键是构建条件与结论之间的联系,通过合理的恒等变形与配凑转化,使之符合柯西不等式的结构,利用柯西不等式来转化所求的代数关系式,联系条件来确定对应的最值问题.
对点训练
1.已知x>0,y>0,+y2=1,则x+y的最大值是　　　　.
【解析】由柯西不等式得(+y2)(12+12)≥(×1+y×1)2=(+y)2,所以1×2≥(+y)2,
当且仅当=y,即x=,y=时等号成立.
所以+y≤,即x+y的最大值是2.
答案:2
2.函数y=2+的最大值为　　　　.
【解析】因为y=2+=++≤·
=,
当且仅当=,即x=时等号成立,
所以函数y的最大值为.
答案:
类型二 利用柯西不等式证明不等式
[例2](1)若直线+=1过点M(cos α,sin α),则(　　)
A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C.+≤1 D.+≥1
【解析】选D.由柯西不等式,得 [()2+()2](cos2α+sin2α)≥(+)2,
当且仅当=时,等号成立,
又因为点M在直线+=1上,即+=1,代入上式,得+≥1.
(2)已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)·(+)≥(a1+a2)2.
【证明】(a1b1+a2b2) (+)=[()2+()2] [ ()2+()2]
≥(·+·)2=(a1+a2)2.
当且仅当b1=b2时,等号成立.
解题技法
柯西不等式证明不等式成立的策略
(1)结合所要证明的不等式,引入一次线性关系式进行配凑,利用柯西不等式加以转化,并利用不等式的性质与恒等变形来证明对应的不等式成立;
(2)通过巧妙引入(x2+y2+z2)2,利用柯西不等式的转化,并结合基本不等式的应用加以综合,进而合理巧妙证明对应的不等式成立.
对点训练
　已知ai>0(i=1,2,…,6,i∈N),且a1+a3=1,a2+a5=2,a4+a6=3,证明:
(1) (2+)(1+)≥7+2.
【证明】(1)因为a1+a3=1,
所以(2+)(1+)=(2+)(1+)=(3+)(2+)=7++≥7+
2=7+2.
当且仅当=,即a1=-2,a3=3-时取等号.
(2)++<7.
【证明】(2)由柯西不等式得:
[(a1+2a2)+(a3+a4)+(2a5+a6)](1+2+3)≥[++]2,
所以++≤
==,
当且仅当==时,取等号.
++≤<7.
【重难突破 不等式链】
【基本不等式链】
　　若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立.
这是一个基本不等式链.其中,,,分别叫做正数a,b的平方平均数、算术平均数、几何平均数和调和平均数.
【说明】此不等式链含6个不等式:
①≤;　②≤;
③≤;　④≤;
⑤≤;　⑥≤.
这些不等式就是同学们熟悉的基本不等式及其变化,但在解题中常常被忽视,若能灵活运用,则会给解题带来很多方便,现举例说明.
类型一 利用不等式链求最值
[例1](1)(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　)
A.有最大值
B.+有最小值3
C.a2+b2有最小值
D.+有最大值
【解析】选ACD.对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,A正确;
对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误;
对于C,由≥=,得a2+b2≥,当且仅当a=b=时等号成立,C正确;
对于D,由≤=,得+≤,当且仅当a=b=时等号成立,D正确.
(2)函数y=+的最大值为　　　　　　.
【解析】函数的定义域为x∈[,],
由≤,得a+b≤2,则y=+≤2=2,
当且仅当=,即x=时等号成立.
答案:2
类型二 利用基本不等式链证明不等式
[例2]已知a,b,c都是非负实数,求证:++≥(a+b+c).
【证明】因为≥,
所以≥(a+b),
同理,≥(b+c),
≥(c+a),
相加可得++≥(a+b)+(b+c)+(c+a)=(a+b+c),
当且仅当a=b=c时等号成立.第二节　基本不等式
【课标解读】
【课程标准】
1.掌握基本不等式≤(a,b>0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 利用基本不等式求最值是高考的重点,通常与函数、数列、解析几何、导数等内容相结合,题型以选择题、填空题为主,中低档难度.
预测 2025年备考仍以选择题、解答题为主,重点关注利用基本不等式进行大小判断、求最值和求取值范围的问题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.
(3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.
微点拨利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2.
(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2.
微点拨记忆口诀:两正数的和定积最大,两正数的积定和最小.
常用结论
1.ab≤()2≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.
2.常见求最值的模型
模型一:mx+≥2(m>0,n>0,x>0),当且仅当x=时,等号成立;
模型二:mx+=m(x-a)++ma≥2+ma(m>0,n>0,x>a),当且仅当x-a=时,等号成立;
模型三:=≤(a>0,c>0,x>0),当且仅当x=时,等号成立;
模型四:x(n-mx)=≤·()2=(m>0,n>0,0基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 4 2 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　 　)
(2)函数y=x+(x>0)的最小值是2.(　 )
(3)函数f(x)=sin x+的最小值为4.(　 )
(4)x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件.(　 　)
2.(忽视等号成立的条件)函数y=x2+-2(-1A.{y|y>2} B.{y|y≥2}
C. D.
3.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　)
A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
4.(人A必修第一册P48习题2.2T1(2)变条件)函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一利用基本不等式求最值
考情提示
利用基本不等式求最值时应注意基本不等式成立的条件.高考时,一般不会直接应用基本不等式求最值,常常需要对题目进行“添加项”“换元”或“常数代换”后再利用基本不等式求最值.
角度1　直接法
[例1](1)(2024·滨州模拟)若x>0,则f=4x+的最小值为(　　)
A.4 B.9 C.12 D.21
(2)已知a,b∈R,且2a-b-2=0,则9a+的最小值为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
解题技法
利用基本不等式求最值的条件
必须满足的三个条件为“一正、二定、三相等”.
(1)“一正”:各项必须为正数.
(2)“二定”:要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.
(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.
角度2　配凑法
[例2](1)若x<,则f(x)=3x+1+有(　　)
A.最大值0 B.最小值9
C.最大值-3 D.最小值-3
(2)已知0解题技法
配凑法求最值的解题策略
1.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法;
2.对于或的分式型代数式需要先化简,再配凑,最后利用基本不等式或对勾函数解决相应最值问题.
提醒:注意验证等号取得的条件.
角度3　常数代换法
[例3](1)(2024·昆明模拟)已知实数x>0,y>0,x+3y=2,则+的最小值为(　　)
A.3 B.1+ C.2+ D.2+
(2)已知正数a,b满足a+b=ab-1,则a+b的最小值为　　　　　　.
解题技法
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
角度4　消元法
[例4](2024·烟台模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　　.
解题技法
利用消元法、换元法求最值的方法
(1)消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
(2)换元法,求较复杂的式子的最值时,通常利用换元法将式子恰当变形,简化式子,再利用基本不等式求解.
角度5 由条件等式求a+b或ab的取值范围或最值
教考衔接 教材情境·研习·典题类
[例5](必修第一册P58T5变形式)若a,b>0,且ab=a+b+3,则ab的取值范围为　　　　　　.
解题导思
看问题 双变量求范围问题
提信息 a,b>0,ab=a+b+3
定思路 [思路①]从结构特征上看,联想到基本不等式法. 利用a+b≥2与ab=a+b+3建立关于的不等式,求解ab的取值范围. [思路②]从方程角度上分析,联想到换元法. 令ab=t(t>0),与ab=a+b+3联立建立关于b(或a)的一元二次方程,根据方程有正根,建立关于t的不等式求解t的范围,从而求出ab的取值范围.
高考链接
(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)
A.1+ B.4 C.1+3 D.7
对点训练
1.(2024·曲靖模拟)已知0A.1 B.2 C. D.
2.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知ab>0,a+b=1,则的最小值为　　　.
考点二基本不等式的综合应用
[例6](1)对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为(　　)
A. B.2 C.4 D.
(2)已知正数x,y满足4x+9y=xy且x+y解题技法
利用基本不等式求解综合问题的求解策略
(1)当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值.
(2)求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围.
对点训练
1.(多选题)实数x,y满足xy+3x=3 ,若+A.-3 B.-2 C.4 D.5
2.(2024·潮州模拟)正实数x,y满足+=2,且不等式x+≥m2-m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　　.
【加练备选】
　　 若 x∈,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,则实数λ的可能取值是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.5
考点三基本不等式的实际应用
[例7]某公司购买了一批机器投入生产,若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位:万元)与机器运转时间t(单位:年,t∈N*)的关系为s=-t2+23t-64,要使年平均利润最大,则每台机器运转的时间t为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
解题技法
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题建立函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.
对点训练
某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32 m2的矩形空地,并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区四周各空0.5 m,各试验区之间也空0.5 m.则每块试验区的面积的最大值为　　　　m2.
【加练备选】
　　 已知圆锥的母线长为2,侧面积为S,体积为V,则取得最大值时圆锥的体积为(　　)
A. B. C. D.
【重难突破 柯西不等式】
　　柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外,柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中,借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.
1.柯西不等式的代数形式
设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
推广:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+
…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
2.柯西不等式的向量形式
设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
3.柯西不等式的三角不等式
设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数,则+
≥.
类型一 利用柯西不等式求最值
[例1](1)(2023·浙江模拟)若sin x+cos y+sin(x+y)=2,则sin x的最小值是(　　)
A.0 B.2- C.3- D.
(2)函数f(x)=2+的最大值及取得最大值时x的值分别为(　　)
A., B., C., D.,
解题技法
柯西不等式求解最值的策略
关键是构建条件与结论之间的联系,通过合理的恒等变形与配凑转化,使之符合柯西不等式的结构,利用柯西不等式来转化所求的代数关系式,联系条件来确定对应的最值问题.
对点训练
1.已知x>0,y>0,+y2=1,则x+y的最大值是　　　　.
2.函数y=2+的最大值为　　　　.
类型二 利用柯西不等式证明不等式
[例2](1)若直线+=1过点M(cos α,sin α),则(　　)
A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C.+≤1 D.+≥1
(2)已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1+a2b2)·(+)≥(a1+a2)2.
解题技法
柯西不等式证明不等式成立的策略
(1)结合所要证明的不等式,引入一次线性关系式进行配凑,利用柯西不等式加以转化,并利用不等式的性质与恒等变形来证明对应的不等式成立;
(2)通过巧妙引入(x2+y2+z2)2,利用柯西不等式的转化,并结合基本不等式的应用加以综合,进而合理巧妙证明对应的不等式成立.
对点训练
　已知ai>0(i=1,2,…,6,i∈N),且a1+a3=1,a2+a5=2,a4+a6=3,证明:
(1) (2+)(1+)≥7+2.
(2)++<7.
【重难突破 不等式链】
【基本不等式链】
　　若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立.
这是一个基本不等式链.其中,,,分别叫做正数a,b的平方平均数、算术平均数、几何平均数和调和平均数.
【说明】此不等式链含6个不等式:
①≤;　②≤;
③≤;　④≤;
⑤≤;　⑥≤.
这些不等式就是同学们熟悉的基本不等式及其变化,但在解题中常常被忽视,若能灵活运用,则会给解题带来很多方便,现举例说明.
类型一 利用不等式链求最值
[例1](1)(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　)
A.有最大值
B.+有最小值3
C.a2+b2有最小值
D.+有最大值
(2)函数y=+的最大值为　　　　　　.
类型二 利用基本不等式链证明不等式
[例2]已知a,b,c都是非负实数,求证:++≥(a+b+c).

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