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第三节　二次函数与一元二次方程、不等式
【课标解读】
【课程标准】
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式.
2.结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 本节是高考的必考内容之一,常与函数、导数、解析几何等内容相结合命题,重点考查不等式的求解等问题.
预测 2025年高考对于二次函数的考查,还是以一元二次不等式为主,难度不会太大,比如集合部分和函数定义域部分的求解等,稍有难度的主要还是与数形结合出题,整体保持稳定.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,a≠0).
2.二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数的零点.
微点拨二次函数的零点为对应方程的根,是一个实数,不是点的坐标.
3.三个二次的对应关系(其中a>0)
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c的图象
方程ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0的解集 {x|xx2} 　R　
ax2+bx+c<0的解集 {x|x1微点拨1.解一元二次不等式一定要结合二次函数开口方向和不等号的方向下结论.
2.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为(m,n),则x=m与x=n为一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个根.
4.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),
|x|0)的解集为(-a,a).
常用结论
1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足;
2.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,则一定满足;
3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足;
4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为 ,则一定满足.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.(　 　)
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　 　)
(3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　 　)
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(　 　)
2.(必修第一册P52例3变条件)不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　　)
A.{x|-6≤x≤1}　　
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|x≥3或x≤2}
D.{x|x≥1或x≤-6}
3.(必修第一册P55习题2.3T3变条件)已知集合A=,B=,则A∩B=(　　)
A. B. C. D.
4.(忽略a=0的情形致误)不等式ax2-ax+a+1>0对 x∈R恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪
【核心考点·分类突破】
考点一一元二次不等式的解法
1.(2024·莆田模拟)不等式<0的解集是(　　)
A.
B.
C.{x<1或x>3}
D.{x<-3或x>1}
2.不等式-2x2+x+3<0的解集为(　　)
A. (-1,)
B. (-,1)
C.(-∞,-1)∪(,+∞)
D. (-∞,-)∪(1,+∞)
3.不等式>0的解集为　　　　.
4.不等式0解题技法
考点二含参数不等式解法
[例1]解关于x的不等式.
(1)x2+ax+1<0(a∈R);
(2)ax2-(a+1)x+1<0.
解题技法
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个不相等的实根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
考点三三个二次之间的关系
[例2](1)(2024·通辽模拟)已知不等式ax2+bx-1>0的解集为,则不等式x2-bx-a≥0的解集为(　　)
A.{x|x≤-3或x≥-2}
B.{x|-3≤x≤-2}
C.{x|2≤x≤3}
D.{x|x≤2或x≥3}
(2)(多选题)(2024·安庆模拟)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(　　)
A.b>0 B.c>0 C.a+b+c>0 D.a-b+c>0
解题技法
已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
对点训练
1.若ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(4,+∞),则对于函数f(x)=ax2+bx+c,有(　　)
A.f(5)B.f(2)C.f(-1)D.f(2)2.关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是　　　　.
【加练备选】
　　(2024·玉林模拟)已知关于x的不等式ax2-b≥2x-ax.
(1)若不等式的解集为,求a,b的值;
(2)若a<0,b=2,解不等式.
考点四一元二次不等式恒(能)成立问题
角度1　在R上的恒成立问题
[例3](2024·重庆模拟)当a∈(t1,t2)时,不等式<3对任意实数x恒成立,则t1+t2的值为(　　)
A.-7 B.6 C.7 D.8
解题技法
ax2+bx+c>0(<0)在R上恒成立的条件
1.ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足
(1)a=b=0,c>0或(2);
2.ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足
(1)a=b=0,c<0或(2).
角度2　在给定区间上的恒成立问题
[例4]金榜原创·易错对对碰
(1)(一题多法)若对于x∈[1,3],mx2-mx+m-6<0(m≠0)恒成立,则m的取值范围是　　　　　　　　　　.
方法二:因为x2-x+1=(x-)2+>0,又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.因为m≠0,所以m的取值范围是{m.
(2)若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为　　　　　　　　　　.
解题技法
在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).
(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a.
(3)对于以下两种题型,可以利用二次函数在端点m,n处的取值特点确定不等式求范围.
①ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[m,n]恒成立;
②ax2+bx+c>0(a<0)对x∈[m,n]恒成立.
提醒:一般地,知道谁的范围,就选谁当主元;求谁的范围,谁就是参数.如本例(1)中建立关于x的函数,m为参数,本例(2)中建立关于m的函数,x为参数.
角度3　不等式能成立或有解问题
[例5](一题多法)若关于x的不等式x2-ax+7>0在上有实数解,则a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
方法二:(最值转化法)原不等式在(2,7)上有解,
它的否定是不等式x2-ax+7>0在(2,7)上无解,则,解得a≥8,因此不等式x2-ax+7>0在(2,7)上有解时a<8.
解题技法
一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略
(1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或af(x)min或a(2)最值转化法;若f(x)>0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0.
(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.
(4)最后一定要注意检验区间的开闭.
对点训练
1.(2024·大同模拟)已知命题p: x∈R,使得ax2+2x+1<0成立为真命题,则实数a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
2.若不等式x2+a(x-1)+1≥0对一切x∈(1,2]都成立,则a的最小值为(　　)
A.0 B.-2 C.-2-2 D.-5
3.已知对任意m∈,mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.
【加练备选】
　　已知f=x2+x+3a+b,若存在常数a,使f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是　　　　. 第三节　二次函数与一元二次方程、不等式
【课标解读】
【课程标准】
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式.
2.结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 本节是高考的必考内容之一,常与函数、导数、解析几何等内容相结合命题,重点考查不等式的求解等问题.
预测 2025年高考对于二次函数的考查,还是以一元二次不等式为主,难度不会太大,比如集合部分和函数定义域部分的求解等,稍有难度的主要还是与数形结合出题,整体保持稳定.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,a≠0).
2.二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数的零点.
微点拨二次函数的零点为对应方程的根,是一个实数,不是点的坐标.
3.三个二次的对应关系(其中a>0)
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c的图象
方程ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0的解集 {x|xx2} 　R　
ax2+bx+c<0的解集 {x|x1微点拨1.解一元二次不等式一定要结合二次函数开口方向和不等号的方向下结论.
2.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为(m,n),则x=m与x=n为一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个根.
4.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),
|x|0)的解集为(-a,a).
常用结论
1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足;
2.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,则一定满足;
3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足;
4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为 ,则一定满足.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2,3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.(　 √　)
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　 √　)
(3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　 ×　)
提示:(3)对于不等式x2≤a,当a>0时,其解集为[-,];当a=0时,其解集为{0};当a<0时,其解集为 .
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(　 ×　)
提示: (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为 .
2.(必修第一册P52例3变条件)不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　　)
A.{x|-6≤x≤1}　　
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|x≥3或x≤2}
D.{x|x≥1或x≤-6}
【解析】选A.不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.
3.(必修第一册P55习题2.3T3变条件)已知集合A=,B=,则A∩B=(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.因为x2-2x-3≤0,
所以≤0,即-1≤x≤3,
所以A=,B=,
所以A∩B=.
4.(忽略a=0的情形致误)不等式ax2-ax+a+1>0对 x∈R恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪
【解析】选B.①当a=0时,1>0成立,
②当a≠0时,只需,
解得a>0,
综上可得a≥0,即实数a的取值范围为.
【核心考点·分类突破】
考点一一元二次不等式的解法
1.(2024·莆田模拟)不等式<0的解集是(　　)
A.
B.
C.{x<1或x>3}
D.{x<-3或x>1}
【解析】选C.由<0,可得(x-1)(x-3)>0,
所以x<1或x>3,所以不等式的解集为{x<1或x>3}.
2.不等式-2x2+x+3<0的解集为(　　)
A. (-1,)
B. (-,1)
C.(-∞,-1)∪(,+∞)
D. (-∞,-)∪(1,+∞)
【解析】选C.-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0,即(x+1)(2x-3)>0,所以x<-1或x>.
3.不等式>0的解集为　　　　.
【解析】不等式>0等价于(-2x+5)(x-2)>0,即<0,解得2所以不等式>0的解集为.
答案:
4.不等式0【解析】由题意得
故
即-2≤x<-1或2故不等式的解集为[-2,-1)∪(2,3].
答案:[-2,-1)∪(2,3]
解题技法
考点二含参数不等式解法
[例1]解关于x的不等式.
(1)x2+ax+1<0(a∈R);
【解析】(1)Δ=a2-4.
①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式无解.
②当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,方程
x2+ax+1=0的两根分别为x1=,
x2=,则原不等式的解集为.
综上所述,当-2≤a≤2时,原不等式无解;
当a>2或a<-2时,原不等式的解集为.
(2)ax2-(a+1)x+1<0.
【解析】(2)若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1.
若a<0,原不等式等价于(x-1)>0,解得x<或x>1.
若a>0,原不等式等价于(x-1)<0.
①当a=1时,=1,(x-1)<0无解;
②当a>1时,<1,解(x-1)<0,得③当01,解(x-1)<0,得1综上所述,当a<0时,解集为{x|x<或x>1};
当a=0时,解集为{x|x>1};
当0当a=1时,解集为 ;当a>1时,解集为{x|解题技法
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个不相等的实根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
考点三三个二次之间的关系
[例2](1)(2024·通辽模拟)已知不等式ax2+bx-1>0的解集为,则不等式x2-bx-a≥0的解集为(　　)
A.{x|x≤-3或x≥-2}
B.{x|-3≤x≤-2}
C.{x|2≤x≤3}
D.{x|x≤2或x≥3}
【解析】选A.因为不等式ax2+bx-1>0的解集为,
所以ax2+bx-1=0的两根分别为-,-,即,解得a=-6,b=-5.
所以不等式x2-bx-a≥0可化为x2+5x+6≥0,其解集为{x|x≤-3或x≥-2}.
(2)(多选题)(2024·安庆模拟)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(　　)
A.b>0 B.c>0 C.a+b+c>0 D.a-b+c>0
【解析】选ABC.由题意可知,方程ax2+bx+c=0的解为x1=-,x2=2,且a<0,
则-=x1+x2=,=x1x2=-1,
解得b=-a,c=-a,
令f=ax2+bx+c=ax2-ax-a,
对于A,b=-a>0,故A正确;
对于B,c=-a>0,故B正确;
对于C,a+b+c=f=a-a-a=-a>0,故C正确;
对于D,a-b+c=f=a+a-a=a<0,故D错误.
解题技法
已知一元二次不等式的解集,就能够得到相应的一元二次方程的两根,由根与系数的关系,可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
对点训练
1.若ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(4,+∞),则对于函数f(x)=ax2+bx+c,有(　　)
A.f(5)B.f(2)C.f(-1)D.f(2)【解析】选D.因为ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(4,+∞),所以a>0,
且-2,4是方程ax2+bx+c=0的两根,
由根与系数的关系得
所以所以函数f(x)=ax2+bx+c=ax2-2ax-8a=a(x2-2x-8),
其图象的对称轴为直线x=1,开口向上,所以f(2)2.关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是　　　　.
【解析】因为不等式(ax-b)(x-2)>0的解集为,所以方程(ax-b)(x-2)=0的实数根为和2,且即a=2b<0,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是(-2,-1).
答案:(-2,-1)(答案不唯一)
【加练备选】
　　(2024·玉林模拟)已知关于x的不等式ax2-b≥2x-ax.
(1)若不等式的解集为,求a,b的值;
【解析】(1)原不等式可化为ax2+x-b≥0,由题知,-2,-1是方程ax2+x-b=0的两根,由根与系数的关系得,解得.
(2)若a<0,b=2,解不等式.
【解析】(2)当a<0时,原不等式化为(x-)(x+1)≤0,当>-1,即a<-2时,解原不等式可得-1≤x≤;当=-1,即a=-2时,原不等式即为≤0,解得x=-1;
当<-1,即-2解得≤x≤-1,
综上所述,当-2考点四一元二次不等式恒(能)成立问题
角度1　在R上的恒成立问题
[例3](2024·重庆模拟)当a∈(t1,t2)时,不等式<3对任意实数x恒成立,则t1+t2的值为(　　)
A.-7 B.6 C.7 D.8
【解析】选B.由于1-x+x2=+>0,则不等式<3等价于4x2+(a-3)x+1>0,
依题意,不等式4x2+(a-3)x+1>0对任意实数x恒成立,则Δ=(a-3)2-16<0,解得-1解题技法
ax2+bx+c>0(<0)在R上恒成立的条件
1.ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足
(1)a=b=0,c>0或(2);
2.ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足
(1)a=b=0,c<0或(2).
角度2　在给定区间上的恒成立问题
[例4]金榜原创·易错对对碰
(1)(一题多法)若对于x∈[1,3],mx2-mx+m-6<0(m≠0)恒成立,则m的取值范围是　　　　　　　　　　.
【解析】由已知得,m(x-)2+m-6<0(m≠0)在x∈[1,3]上恒成立.
方法一:令g(x)=m(x-)2+m-6(m≠0),x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以m<,则0综上所述,m的取值范围是{m}.
方法二:因为x2-x+1=(x-)2+>0,又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.因为m≠0,所以m的取值范围是{m.
答案: {m
(2)若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为　　　　　　　　　　.
【解析】设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则即解得答案: (,)
解题技法
在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).
(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a.
(3)对于以下两种题型,可以利用二次函数在端点m,n处的取值特点确定不等式求范围.
①ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[m,n]恒成立;
②ax2+bx+c>0(a<0)对x∈[m,n]恒成立.
提醒:一般地,知道谁的范围,就选谁当主元;求谁的范围,谁就是参数.如本例(1)中建立关于x的函数,m为参数,本例(2)中建立关于m的函数,x为参数.
角度3　不等式能成立或有解问题
[例5](一题多法)若关于x的不等式x2-ax+7>0在上有实数解,则a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.方法一:(分离参数法)不等式x2-ax+7>0在上有实数解,
等价于不等式a因为函数f(x)=x+在(2,)上单调递减,在(,7)上单调递增,
又由f(2)=2+=,f=7+=8,
所以f方法二:(最值转化法)原不等式在(2,7)上有解,
它的否定是不等式x2-ax+7>0在(2,7)上无解,则,解得a≥8,因此不等式x2-ax+7>0在(2,7)上有解时a<8.
解题技法
一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略
(1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或af(x)min或a(2)最值转化法;若f(x)>0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0.
(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.
(4)最后一定要注意检验区间的开闭.
对点训练
1.(2024·大同模拟)已知命题p: x∈R,使得ax2+2x+1<0成立为真命题,则实数a的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.命题p为真命题等价于不等式ax2+2x+1<0有解.
当a=0时,不等式变形为2x+1<0,则x<-,符合题意;
当a>0时,Δ=4-4a>0,解得0当a<0时,总存在x∈R,使得ax2+2x+1<0;
综上可得实数a的取值范围为.
2.若不等式x2+a(x-1)+1≥0对一切x∈(1,2]都成立,则a的最小值为(　　)
A.0 B.-2 C.-2-2 D.-5
【解析】选D.记f(x)=x2+a(x-1)+1=x2+ax+1-a,要使不等式x2+a+1≥0对一切x∈(1,2]都成立,
则或
或,解得a≥-2或-43.已知对任意m∈,mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.
【解析】选D.对任意m∈,不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,
即对任意m∈,m<6恒成立,
所以对任意m∈,x2-x+1<恒成立,
所以对任意m∈,x2-x+1<=2恒成立,
所以x2-x+1<2,解得故实数x的取值范围是.
【加练备选】
　　已知f=x2+x+3a+b,若存在常数a,使f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是　　　　.
【解析】使f(x)≥0恒成立,则Δ=(2-a)2-4×1×(3a+b)≤0,
化简整理得4b≥a2-16a+4=(a-8)2-60,
由于存在常数a,使f(x)≥0恒成立,
可知4b≥,
因此4b≥-60,解得b≥-15.
答案:[-15,+∞)

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