资源简介

第八节　圆锥曲线中的定点问题
【核心考点·分类突破】
角度1 椭圆中的直线过定点问题
[例1](2024·郑州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,圆x2+y2=4与椭圆C恰有两个公共点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知结论:若点(x0,y0)为椭圆+=1上一点,则椭圆在该点处的切线方程为+=1.若椭圆C的短轴长小于4,过点T(8,t)作椭圆C的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB过定点.
角度2 双曲线中的直线过定点问题(规范答题)
[例2](12分)(2023·新高考II卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于P,证明:P在定直线上.
审题导思破题点·柳暗花明
(1) 思路:题目给出双曲线的左焦点坐标和离心率,根据各参数之间的关系,求出曲线的标准方程.
(2) 思路:考查直线与双曲线的位置关系,可以从多个角度理解直线MN.选择确定直线MN的初始参变量不同,将导致解题过程的运算量大小不同. [路径1]把M,N分别看成直线MA1,NA2与双曲线的另一个交点. [路径2,3]把M,N看成直线MN与双曲线的两个交点,但路径2与3的直线MN设法不同.
角度3 抛物线中的直线过定点问题
教考衔接 教材情境·研习·探究类
[例3](人教A版选择性必修第一册P138·T6)
如图,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点,求证:OA⊥OB.
【探究1】将已知条件和结论的位置调换.
1.若直线l与抛物线y2=2x相交于A,B两点,OA⊥OB,求证直线l过定点(2,0).
【探究2】将抛物线y2=2x变为y2=2px(p>0):
2.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,O为坐标原点,且OA⊥OB,求证:
(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值.
(2)直线AB过定点.
【探究3】将“kOA·kOB=-1”变为“kOA·kOB=t”或“kOA+kOB=t”( t为常数).
3.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为kOA,kOB.
(1)若kOA·kOB=t(t为常数),求证直线AB过定点(-,0);
(2)若kOA+kOB=s(s为常数),求证直线AB过定点(0,).
【探究4】若点O不是坐标原点,而是抛物线上一动点.
4.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,M为抛物线上一定点,过点M作两条弦MA,MB.求证:
(1)若kMA·kMB=m,则直线AB过定点;
(2)若kMA+kMB=n,则直线AB过定点.
高考链接
　已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在抛物线E上,点P的横坐标为1,且|PF|=2,A,B是抛物线E上异于O的两点.
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)若直线OA,OB的斜率之积为-4,求证:直线AB恒过定点.
对点训练
1.(2024·沧州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,p),直线l与该抛物线C相交于M,N两点,过点M作x轴的垂线,与直线y=-x交于点G,点M关于点G的对称点为P,且O,N,P三点共线.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若过点Q(2,0)作QH⊥l,垂足为H(不与点Q重合),是否存在定点T,使得|HT|为定值 若存在,求出该定点和该定值;若不存在,请说明理由.
2.(2024·成都模拟)已知椭圆C1:+y2=1(a>1)与椭圆C2:+=1(0(1)求实数a和b的值;
(2)若梯形ABCD的顶点都在椭圆C1上,AB∥CD,CD=2AB,直线BC与直线AD相交于点P,且点P在椭圆C2上,证明直线CD恒过定点.
3.已知双曲线C的渐近线方程为y=±x,且过点P(3,).
(1)求C的方程;
(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证:直线AD过定点.第八节　圆锥曲线中的定点问题
【核心考点·分类突破】
角度1 椭圆中的直线过定点问题
[例1](2024·郑州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,圆x2+y2=4与椭圆C恰有两个公共点.
(1)求椭圆C的标准方程;
【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c.当圆x2+y2=4在椭圆C的内部时,b=2,c=1,a2=b2+c2=5,椭圆C的方程为+=1.
当圆x2+y2=4在椭圆C的外部时,a=2,c=1,b2=a2-c2=3,
椭圆C的方程为+=1.
(2)已知结论:若点(x0,y0)为椭圆+=1上一点,则椭圆在该点处的切线方程为+=1.若椭圆C的短轴长小于4,过点T(8,t)作椭圆C的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB过定点.
【解析】(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
因为椭圆C的短轴长小于4,所以C的方程为+=1.则由已知可得,切线AT的方程为+=1,BT的方程为+=1,
将T(8,t)代入AT,BT的方程整理可得,
6x1+ty1-3=0,6x2+ty2-3=0.
显然A,B的坐标都满足方程6x+ty-3=0,
故直线AB的方程为6x+ty-3=0,
令y=0,可得x=,即直线AB过定点(,0).
角度2 双曲线中的直线过定点问题(规范答题)
[例2](12分)(2023·新高考II卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为.
(1)求C的方程;
规范答题微敲点·水到渠成
【解析】(1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由焦点坐标为(-2,0)可知c=2,由e==,可得a=2.……………………………………………………………………2分
关键点　由焦点坐标及离心率可求出c和a.
所以双曲线C的方程为-=1. ………………………………………3分
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于P,证明:P在定直线上.
规范答题微敲点·水到渠成
【解析】(2)解法1(以直线MA1,NA2的斜率为参数):
设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线MA1:y=m(x+2),
直线NA2:y=n(x-2),
由
得(4-m2)x2-4m2x-(4m2+16)=0.
因为-2x1=,
所以x1=,y1=.…………………………………………………5分
由
得(4-n2)x2+4n2x-(4n2+16)=0.
因为2x2=,
所以x2=,y2=. ……………………………………………………7分
由题设知=,
扫清障碍　利用直线MN的斜率建立关系式,起到承上启下的作用,为后续解题起到桥梁和纽带作用.
所以(mn-4)(m+3n)=0,由题意知mn<0,
故m=-3n. …………………………………………………………………10分
点P(x,y)满足y=m(x+2)且满足y=n(x-2),
所以x=-1.
故P在定直线x=-1上. …………………………………………………12分
解法2(以直线MN的斜率为参数):
设M(x1,y1),N(x2,y2),
(i)当MN的斜率存在时,
设直线MN:y=k(x+4)(|k|≠2),
由
得(4-k2)x2-8k2x-(16k2+16)=0.
由于x1+x2=,x1x2=. ………………………………………………5分
直线MA1:y=(x+2),
直线NA2:y=(x-2),
联立方程得,x=. …………………………………………7分
扫清障碍　此处如果直接求解运算量会很大,可以对照分式的特征,采用分子+分母,再进行运算,求出和值,即可求出比值.
因为2(y1x2+y2x1-2y1+2y2)
+(-y1x2+y2x1+2y1+2y2)
=4kx1x2+10kx2+10kx1+16k
=2k(2x1x2+5x2+5x1+8)
=2k[2×+5×+8]
=2k[+8]=0, ………………………………………………………10分
所以x=-1.
(ii)当MN的斜率不存在时,
避误区　解决直线与圆锥曲线综合问题时,注意分直线斜率存在和不存在两种情况进行说明,避免造成不必要的失分.
直线MN:x=-4,M(-4,4),N(-4,-4).
直线MA1:y=-2(x+2),
直线NA2:y=(x-2),
联立方程得P(-1,-2),
此时点P在定直线x=-1上.
综上,P在定直线x=-1上. ……………………………………………12分
解法3:设M(x1,y1),N(x2,y2),
显然,直线MN的斜率不为0,
所以设直线MN的方程为x=my-4,
关键点　避免对直线MN斜率是否存在进行讨论.
则x1=my1-4,x2=my2-4.
联立得,
得(4m2-1)y2-32my+48=0. ……………………………………………………5分
因为直线MN与双曲线C的左支交于M,N两点,所以4m2-1≠0,且Δ>0.
由根与系数的关系得,
所以y1+y2=y1y2. ………………………………………………………6分
因为A1,A2分别为双曲线C的左、右顶点,
所以A1(-2,0),A2(2,0).
直线MA1的方程为y=(x+2),
直线NA2的方程为y=(x-2), ……………………………………………8分
因为直线MA1与NA2交于P,可得,
===
破题有招　求的值相对于直接联立方程求x的值,可减少运算量.
=………………………………………………………10分
指点迷津　构造-2(y1+y2)的巧妙之处是可以运用根与系数的关系求值.
===-,
由=-,
解得x=-1,即xP=-1.
所以点P在定直线x=-1上. ……………………………………………12分
审题导思破题点·柳暗花明
(1) 思路:题目给出双曲线的左焦点坐标和离心率,根据各参数之间的关系,求出曲线的标准方程.
(2) 思路:考查直线与双曲线的位置关系,可以从多个角度理解直线MN.选择确定直线MN的初始参变量不同,将导致解题过程的运算量大小不同. [路径1]把M,N分别看成直线MA1,NA2与双曲线的另一个交点. [路径2,3]把M,N看成直线MN与双曲线的两个交点,但路径2与3的直线MN设法不同.
角度3 抛物线中的直线过定点问题
教考衔接 教材情境·研习·探究类
[例3](人教A版选择性必修第一册P138·T6)
如图,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点,求证:OA⊥OB.
【证明】不妨假设A(x1,y1),B(x2,y2),
则=(x1,y1),=(x2,y2),
联立方程
消x得y2-2y-4=0,
由根与系数的关系知y1+y2=2,y1y2=-4,
所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=4,
所以·=x1x2+y1y2=4-4=0,
因此OA⊥OB.
【探究1】将已知条件和结论的位置调换.
1.若直线l与抛物线y2=2x相交于A,B两点,OA⊥OB,求证直线l过定点(2,0).
【解析】由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+n,其中n≠0,
联立方程
消去x得y2-2my-2n=0,
由根与系数关系知y1+y2=2m,y1y2=-2n,
所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2.
因为OA⊥OB,所以·=0,则x1x2+y1y2=n2-2n=0,解得n=2,进而可得直线方程为x=my+2.
所以直线l经过定点(2,0).
【探究2】将抛物线y2=2x变为y2=2px(p>0):
2.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,O为坐标原点,且OA⊥OB,求证:
(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值.
【证明】设A(x1,y1),B(x2,y2),
(1)kOA=,kOB=,.
因为OA⊥OB,所以kOA·kOB=-1,
即x1x2+y1y2=0,
因为=2px1,=2px2,
所以·+y1y2=0,
因为y1≠0,y2≠0.
所以y1y2=-4p2,x1x2=4p2.
(2)直线AB过定点.
【证明】设A(x1,y1),B(x2,y2),
(2)直线AB的方程为x=my+n,其中n≠0,则=1.
故y2=2px·,
所以ny2+2pmxy-2px2=0,
所以n+2pm-2p=0,
因为OA⊥OB,所以·=-1=-,
所以n=2p,则直线AB的方程为x=my+2p,
故直线AB过定点.
【探究3】将“kOA·kOB=-1”变为“kOA·kOB=t”或“kOA+kOB=t”( t为常数).
3.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为kOA,kOB.
(1)若kOA·kOB=t(t为常数),求证直线AB过定点(-,0);
【证明】设直线AB的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),类似于探究2可得,
可得n+2pm-2p=0,
则·=-,+=-.
(1)若kOA·kOB=t,则·=t=-,
故n=-,
则直线AB的方程为x=my-,
故直线AB过定点.
(2)若kOA+kOB=s(s为常数),求证直线AB过定点(0,).
【证明】设直线AB的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),类似于探究2可得,
可得n+2pm-2p=0,
则·=-,+=-.
(2)若kOA+kOB=s,则+=s=-,
故n=-,则直线AB的方程为
x=my-=m,
故直线AB过定点.
【探究4】若点O不是坐标原点,而是抛物线上一动点.
4.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,M为抛物线上一定点,过点M作两条弦MA,MB.求证:
(1)若kMA·kMB=m,则直线AB过定点;
【证明】设A,B,M,
则kMA=,kMB=,kAB=.
则直线AB的方程为y-y1=,
即(y1+y2)y-y1y2-2px=0.　①
(1)因为kMA·kMB=m,
所以·=m,
y1y2=-y0(y1+y2)-.　②
将②代入①得,(y1+y2)(y+y0)+y02--2px=0,
所以当y=-y0时x=-,
即直线AB过定点.
(2)若kMA+kMB=n,则直线AB过定点.
【证明】设A,B,M,
则kMA=,kMB=,kAB=.
则直线AB的方程为y-y1=,
即(y1+y2)y-y1y2-2px=0.　①
(2)因为kMA+kMB=n,
所以+=n,
y1y2=(y1+y2)+.　③
将③代入①得,(y1+y2)--2px=0,所以x=-,y=-y0,
即直线AB过定点.
高考链接
　已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在抛物线E上,点P的横坐标为1,且|PF|=2,A,B是抛物线E上异于O的两点.
(1)求抛物线E的标准方程;
【解析】(1)由题意得,F(,0),点P的横坐标为1,且|PF|=2,则2=1+,所以p=2,
所以抛物线E的方程为y2=4x;
(2)若直线OA,OB的斜率之积为-4,求证:直线AB恒过定点.
【解析】(2)当直线AB的斜率不存在时,
设A(,t),B(,-t)(t>0),
因为直线OA,OB的斜率之积为-4,
则×=-4,化简得t2=4.
所以A(1,t),B(1,-t),此时直线AB的方程为x=1.
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立,化简得ky2-4y+4b=0,需满足Δ=16(1-kb)>0,
根据根与系数的关系得y1y2=,
因为直线OA,OB的斜率之积为-4,
所以·=-4,即y1y2+4x1x2=0,即y1y2+4··=0,
解得y1y2=0(舍去)或y1y2=-4,
所以y1y2==-4,即b=-k,满足Δ=16(1-kb)>0,所以y=kx-k,
即y=k(x-1),
综上所述,直线AB过定点(1,0).
　[溯源点评](1)本题主要考查了直线过定点问题,一般方法是设出直线方程,联立圆锥曲线方程,可得根与系数关系式,要结合题设进行化简得到参数之间的关系式,结合直线方程即可证明直线过定点.
(2)解题时也可参考探究过程,利用探究的解题方法进行求解.
对点训练
1.(2024·沧州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,p),直线l与该抛物线C相交于M,N两点,过点M作x轴的垂线,与直线y=-x交于点G,点M关于点G的对称点为P,且O,N,P三点共线.
(1)求抛物线C的方程;
【解析】(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,p),所以p2=2p,所以p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)若过点Q(2,0)作QH⊥l,垂足为H(不与点Q重合),是否存在定点T,使得|HT|为定值 若存在,求出该定点和该定值;若不存在,请说明理由.
【解析】(2)设点M(,y1),N(,y2),联立,
得G(,-),
又因为点M关于点G的对称点为P,所以点P(,--y1),
由O,N,P三点共线,可得kOP=kON,即=,
化简得2(y1+y2)+y1y2=0,
设直线l的方程为x=my+n,联立,消去x,得y2-4my-4n=0,
则Δ=(4m)2-4×(-4n)>0,即m2+n>0,可得y1+y2=4m,y1y2=-4n,
代入2(y1+y2)+y1y2=0,可得8m-4n=0,可得n=2m,
所以直线l的方程:x=my+n,即x=my+2m,则x=m(y+2),
所以直线l过定点E(0,-2),
因为QH⊥l,
所以点H的轨迹是以EQ为直径的圆(除去E,Q两点),圆心为(1,-1),半径为,
所以存在定点T(1,-1),使得|HT|为定值,该定值为.
2.(2024·成都模拟)已知椭圆C1:+y2=1(a>1)与椭圆C2:+=1(0(1)求实数a和b的值;
【解析】(1)由椭圆C1的方程可得其焦距为2,离心率为;
由椭圆C2的方程可得其焦距为2,离心率为.
由题意知,
解得(舍)或,所以a=2,b=.
(2)若梯形ABCD的顶点都在椭圆C1上,AB∥CD,CD=2AB,直线BC与直线AD相交于点P,且点P在椭圆C2上,证明直线CD恒过定点.
【解析】(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),P(x0,y0),则+=1,
因为AB∥CD,CD=2AB,所以A,B分别为PD,PC的中点,
所以B(,),A(,),所以,
所以+2x1x0+8y1y0+4-12=0,
因为+=1,所以+4=12,所以2x1x0+8y1y0=0,即x1x0+4y1y0=0.
同理可得:x2x0+4y2y0=0,所以直线CD的方程为x0x+4y0y=0,
所以直线CD恒过定点(0,0).
3.已知双曲线C的渐近线方程为y=±x,且过点P(3,).
(1)求C的方程;
【解析】(1)因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,
则可设双曲线的方程为-=λ(λ≠0),
将点P(3,)代入得-=λ,解得λ=,
所以双曲线C的方程为-y2=1;
(2)设Q(1,0),直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线BQ与C交于另一点D,求证:直线AD过定点.
【解析】(2)显然直线BQ的斜率不为零,
设直线BQ的方程为x=my+1,B(x1,y1),D(x2,y2),A(x1,-y1),
联立,消x整理得(m2-3)y2+2my-2=0,
依题意得m2-3≠0且Δ=4m2+8(m2-3)>0,即m2>2且m2≠3,
y1+y2=-,y1y2=-,
直线AD的方程为y+y1=(x-x1),
令y=0,
得x=+x1======3.
所以直线AD过定点(3,0).

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