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第2课时　直线和双曲线
【核心考点·分类突破】
考点一 直线与双曲线的位置关系
[例1](1)(一题多法)直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.方法一:联立直线3x-4y=0与双曲线-=1的方程,,得-=1,方程组无解,说明直线与双曲线没有交点.
方法二:由-=0,得3x±4y=0,所以双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,
因为直线3x-4y=0是双曲线-=1的一条渐近线,因此交点个数为0.
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值________________.
【解析】C:-=1(a>0,b>0),所以C的渐近线方程为y=±x,结合渐近线的特点,只需0<≤2,即≤4,可满足条件“直线y=2x与C无公共点”,所以e==≤=,又因为e>1,所以1答案:2(答案不唯一,满足1解题技法
直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)联立方程,消元化为关于x(或y)的一元方程;
(2)讨论最高次数项系数是否为零求解;
(3)依据方程解的个数,判断交点的个数.
设直线l:y=kx+m,
双曲线-=1 (a>0,b>0),
联立解得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
①m=0时,-k≥,k≤-,或k不存在时,直线与双曲线没有交点;
②m≠0时,若b2-a2k2=0,k=±,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;
若b2-a2k2≠0,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)·(-a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2),
Δ>0,m2+b2-a2k2>0,直线与双曲线相交于2点;
Δ=0,m2+b2-a2k2=0,直线与双曲线相切于1点;
Δ<0,m2+b2-a2k2<0,直线与双曲线相离.
对点训练
1.(2024·哈尔滨模拟)双曲线-=1与直线y=-x+m(m∈R)的公共点的个数为(　　)
A.0 B.1 C.0或1 D.0或1或2
【解析】选C.因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,所以,当m=0时,直线l:y=-x+m与双曲线的一条渐近线重合,此时直线l与双曲线无交点;
当m≠0时,直线l与双曲线的一条渐近线平行,此时直线l与双曲线有一个交点.
2.(2024·南通模拟)已知双曲线x2-=1,若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线,则该双曲线离心率e的取值范围为________________.
【解析】过(2,2)能作两条切线说明该点在双曲线外部,故4-<1,故a2<,
所以e2=1+a2<,所以e<,又点不在该双曲线渐近线上,故a≠1,即e≠,
综上,e∈(1,)∪(,).
答案:(1,)∪(,)
【加练备选】
　　(2024·吉林模拟)已知直线L:y=x+m与曲线C:y=仅有三个交点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-2,) B.(-,)
C.(1,) D.(1,)
【解析】选C.由题意得曲线C:y=,即2y=,可得4y2=|4-x2|(y≥0);
当4-x2≥0时得到4y2=4-x2即+y2=1(y≥0);当4-x2<0时得到-y2=1(y≥0);
由以上可得曲线C的图象如图所示,
易知直线L:y=x+m与双曲线-y2=1的一条渐近线y=x平行;
把直线y=x向上平移到(0,1)点时,
即y=x+1与曲线C有两个交点,此时m=1;
继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点.
当直线与椭圆的上半部分相切时,联立直线与椭圆的方程代入整理得2x2+4mx+4m2-4=0,Δ=16m2-8(4m2-4)=0即m=或-(舍),由图示可得m<;
综上可知1考点二直线与双曲线相交的有关问题
考情提示
直线与双曲线相交问题是近几年高考命题的热点,它常与函数、方程、不等式相结合考查弦长、中点弦等内容.
角度1 弦长问题
[例2](1)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x+2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意,双曲线C的一条渐近线方程为bx-ay=0,
又由圆(x+2)2+y2=4的圆心为(-2,0),半径为r=2,
因为一条渐近线被圆(x+2)2+y2=4所截得的弦长为2,
可得()2+()2=4,所以a2=3b2,即a2=3(c2-a2),
所以e==.
(2)(2024·宝鸡模拟)设动点P(x,y)与点F(,0)之间的距离和点P到直线l:x=的距离的比值为,记点P的轨迹为曲线C.
①求曲线C的方程;
【解析】①由动点P(x,y)与点F(,0)之间的距离和点P到直线l:x=的距离的比值为,
可得=,整理得-=1,
即曲线C的方程为-=1.
②若O为坐标原点,直线y=x+1交曲线C于A,B两点,求△OAB的面积.
【解析】②联立方程组,整理得3x2-4x-24=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=,x1x2=-8,
所以|AB|=|x1-x2|=×=,
又由点O到直线y=x+1的距离d==,所以△OAB的面积S
=|AB|·d=××=.
角度2 中点弦问题
[例3]已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　)
A.4x-3y+1=0 B.2x-y-1=0
C.3x-4y+6=0 D.x-y+1=0
【解析】选A.设以点A(2,3)为中点的双曲线的弦的端点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),可得2-=2,2-=2,相减可得2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),且x1+x2=4,y1+y2=6,
则弦所在直线的斜率k====,可得弦所在的直线方程为y-3=(x-2),即为4x-3y+1=0.
解题技法
1.解决直线与双曲线相交有关问题的解题策略
(1)解决弦长问题,可联立直线与双曲线方程,消元转化为关于x(或y)的一元方程,利用弦长公式即可求解;
(2)解决中点弦问题,常常采用点差法求解,但一定要注意直线是否与双曲线相交的判断.
2.相交弦AB的弦长公式==,
或==.
对点训练
1.(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　　)
A.(1,1) B.(-1,2)
C.(1,3) D.(-1,-4)
【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(,),
可得kAB=,k==,
因为A,B在双曲线上,则,
两式相减得(-)-=0,所以kAB·k==9.
对于选项A:可得k=1,kAB=9,
则AB:y=9x-8,联立方程,
消去y得72x2-2×72x+73=0,
此时Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,
所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误;
对于选项B:可得k=-2,kAB=-,
则AB:y=-x-,联立得方程组,
消去y得45x2+2×45x+61=0,
此时Δ=(2×45)2-4×45×61=-2 880<0,
所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误;
对于选项C:可得k=3,kAB=3,则AB:y=3x,
由双曲线方程可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线,所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误;
对于选项D:k=4,kAB=,则AB:y=x-,
联立得方程组,消去y得63x2+126x-193=0,此时Δ=1262+4×63×193>0,故直线AB与双曲线有两个交点,故D正确.
2.已知焦点在x轴上的双曲线Γ经过点M(,),N(-2,-).
(1)求双曲线Γ的离心率e;
【解析】(1)设双曲线Γ的方程为-=1(a>0,b>0),则,
解得,所以c2=a2+b2=5,e==;
(2)若直线l:y=x-1与双曲线Γ交于A,B两点,求弦长|AB|.
【解析】(2)由(1)得双曲线Γ的方程为-=1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得x2+2x-9=0,x1+x2=-2,x1·x2=-9,
|AB|===8,
故弦长|AB|为8.
考点三 双曲线的综合问题
[例4](多选题)(2024·南昌模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,4为半径的圆与C的一条渐近线切于点P,过F1的直线l与C交于A,B两个不同的点,若C的离心率e=,则(　　)
A.|PF1|=2
B.|AB|的最小值为
C.若|AF2|=7,则|AF1|=13
D.若A,B同在C的左支上,则直线l的斜率k∈(-∞,-)∪(,+∞)
【解析】选ACD.对于A选项,设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,则F2(c,0)到直线bx-ay=0的距离为=b,
因为以F2为圆心的圆与l相切于点P,所以|PF2|=b=4,
因为e=,即=,则c=a,又a2+b2=c2,即a2+16=a2,所以a=3,c=5.
在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1==,
在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,
=+-2|F1F2|·|PF2|·cos∠PF2F1=100+16-2×10×4×=52,
所以|PF1|=2,故A正确;
对于B选项,当直线l的斜率为0时,A,B两点分别为双曲线的顶点,则|AB|=2a=6,
又因为6<,即|AB|的最小值不可能为,故B错误;
对于C选项,因为|AF2|=7,又a+c=8,且|AF2|所以|AF1|-|AF2|=2a=6,所以|AF1|=|AF2|+6=7+6=13,故C正确;
对于D选项,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+5),
设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立,可得(16-9k2)x2-90k2x-225k2-144=0,因为直线l与双曲线C交于左支的两点,
所以,
解得k<-或k>,故D正确.
解题技法
双曲线的综合问题
(1)当与圆、椭圆有关时,常常结合圆、椭圆的方程或性质,构造函数解决问题;
(2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解.
(3)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解.
对点训练
(多选题)(2024·玉溪模拟)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1的焦点相同,双曲线E的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于P,Q两点,PF1与y轴相交于点A,△PAF2的内切圆与边AF2相切于点B.若|AB|=1,则下列说法错误的有(　　)
A.双曲线E的离心率为
B.双曲线E的方程为x2-=1
C.若PF1⊥PF2,则△PAF2的内切圆面积为
D.过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有3条
【解析】选ACD.如图,设PF1,PF2与△PAF2的内切圆分别相切于M,N两点,
所以|PM|=|PN|,|AM|=|AB|=1,|F2N|=|F2B|,且|AF1|=|AF2|,
因为2a=|PF1|-|PF2|=|PM|+|AM|+|AB|+|F2B|-|PN|-|F2N|=2,可得a=1,
双曲线E:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1的焦点相同,所以c2=b2+a2=9-5=4,可得b2=3,所以双曲线E的离心率为=2,故A错误;
所以双曲线E的方程为x2-=1,故B正确;
对于C,若PF1⊥PF2,设|PF2|=m,则|PF1|=m+2,|F1F2|=4,
由+=可得(m+2)2+m2=16,解得m=-1,
可得|PA|=|PM|+1,|AF2|=1+|F2B|=1+|F2N|=1+-1-|PN|=-|PN|,
由|PA|2+=得(|PM|+1)2+==,
解得|PM|=,即内切圆的半径为r=,
则△PAF2的内切圆面积为π,故C错误;
对于D,当过点(1,1)的直线与x轴垂直时,其方程为x=1,与双曲线方程联立得
,可得y=0,即直线x=1与双曲线E有一个交点;当过点(1,1)的直线与x轴不垂直时,设其方程为y-1=k(x-1),与双曲线方程联立得,
可得(3-k2)x2+(2k2-2k)x+2k-4-k2=0,当k=±时,此时可得直线y-1=k(x-1)与双曲线E有一个交点;当3-k2≠0即k≠±时,由-4(3-k2)(2k-4-k2)=0得-24k+48=0,可得k=2,此时直线y-1=k(x-1)与双曲线E有一个交点.
综上所述,过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有4条,故D错误.第2课时　直线和双曲线
【核心考点·分类突破】
考点一 直线与双曲线的位置关系
[例1](1)(一题多法)直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值________________.
解题技法
直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)联立方程,消元化为关于x(或y)的一元方程;
(2)讨论最高次数项系数是否为零求解;
(3)依据方程解的个数,判断交点的个数.
设直线l:y=kx+m,
双曲线-=1 (a>0,b>0),
联立解得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
①m=0时,-k≥,k≤-,或k不存在时,直线与双曲线没有交点;
②m≠0时,若b2-a2k2=0,k=±,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;
若b2-a2k2≠0,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)·(-a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2),
Δ>0,m2+b2-a2k2>0,直线与双曲线相交于2点;
Δ=0,m2+b2-a2k2=0,直线与双曲线相切于1点;
Δ<0,m2+b2-a2k2<0,直线与双曲线相离.
对点训练
1.(2024·哈尔滨模拟)双曲线-=1与直线y=-x+m(m∈R)的公共点的个数为(　　)
A.0 B.1 C.0或1 D.0或1或2
2.(2024·南通模拟)已知双曲线x2-=1,若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线,则该双曲线离心率e的取值范围为________________.
【加练备选】
　　(2024·吉林模拟)已知直线L:y=x+m与曲线C:y=仅有三个交点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-2,) B.(-,)
C.(1,) D.(1,)
考点二直线与双曲线相交的有关问题
考情提示
直线与双曲线相交问题是近几年高考命题的热点,它常与函数、方程、不等式相结合考查弦长、中点弦等内容.
角度1 弦长问题
[例2](1)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x+2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2024·宝鸡模拟)设动点P(x,y)与点F(,0)之间的距离和点P到直线l:x=的距离的比值为,记点P的轨迹为曲线C.
①求曲线C的方程;
②若O为坐标原点,直线y=x+1交曲线C于A,B两点,求△OAB的面积.
角度2 中点弦问题
[例3]已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　)
A.4x-3y+1=0 B.2x-y-1=0
C.3x-4y+6=0 D.x-y+1=0
解题技法
1.解决直线与双曲线相交有关问题的解题策略
(1)解决弦长问题,可联立直线与双曲线方程,消元转化为关于x(或y)的一元方程,利用弦长公式即可求解;
(2)解决中点弦问题,常常采用点差法求解,但一定要注意直线是否与双曲线相交的判断.
2.相交弦AB的弦长公式==,
或==.
对点训练
1.(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　　)
A.(1,1) B.(-1,2)
C.(1,3) D.(-1,-4)
2.已知焦点在x轴上的双曲线Γ经过点M(,),N(-2,-).
(1)求双曲线Γ的离心率e;
(2)若直线l:y=x-1与双曲线Γ交于A,B两点,求弦长|AB|.
考点三 双曲线的综合问题
[例4](多选题)(2024·南昌模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,4为半径的圆与C的一条渐近线切于点P,过F1的直线l与C交于A,B两个不同的点,若C的离心率e=,则(　　)
A.|PF1|=2
B.|AB|的最小值为
C.若|AF2|=7,则|AF1|=13
D.若A,B同在C的左支上,则直线l的斜率k∈(-∞,-)∪(,+∞)
解题技法
双曲线的综合问题
(1)当与圆、椭圆有关时,常常结合圆、椭圆的方程或性质,构造函数解决问题;
(2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解.
(3)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解.
对点训练
(多选题)(2024·玉溪模拟)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1的焦点相同,双曲线E的左右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线E的右支交于P,Q两点,PF1与y轴相交于点A,△PAF2的内切圆与边AF2相切于点B.若|AB|=1,则下列说法错误的有(　　)
A.双曲线E的离心率为
B.双曲线E的方程为x2-=1
C.若PF1⊥PF2,则△PAF2的内切圆面积为
D.过点(1,1)与双曲线E有且仅有一个交点的直线有3条

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