资源简介

第十节　圆锥曲线中的最值、范围问题
【核心考点·分类突破】
考点一最值问题
角度1 运用基本不等式法求最值
[例1](2024·重庆模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则-的最小值为　　　　.
角度2 构造目标函数求最值
[例2](2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
【命题意图】本题为抛物线与圆的综合题,考查抛物线及圆的相关性质.考查逻辑思维能力、运算求解能力.
解题技法
求圆锥曲线中最值的常用方法
1.几何法:利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;
2.代数法:把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
对点训练
1.已知平面内一动点M与两定点B1(0,-1),B2(0,1)的连线的斜率之积为-.
(1)求动点M的轨迹E的方程;
(2)设直线l:y=x+m与轨迹E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,当m变化时,求△PAB面积的最大值.
2.(2024·景德镇模拟)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,且焦距为2.点P在椭圆上且异于A,B两点,若直线PA与PB的斜率之积为-.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F(-1,0)作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M,N两点,直线m的方程为x=-2a,过点M作ME垂直于直线m,交m于点E.求△OEN面积的最大值.
【加练备选】
　　(2024·开封模拟)已知点A(3,1)在椭圆C:+=1上,直线l交C于M,N两点,直线AM,AN的斜率之和为0.
(1)求直线l的斜率;
(2)求△OMN的面积的最大值(O为坐标原点).
考点二 范围问题
[例3](2024·西城模拟)已知椭圆C:x2+2y2=2,点A,B在椭圆C上,且OA⊥OB(O为原点).设AB的中点为M,射线OM交椭圆C于点N.
(1)当直线AB与x轴垂直时,求直线AB的方程;
(2)求的取值范围.
解题技法
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
对点训练
　已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线C于A,B两点,且+=2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若O为坐标原点,过点B作y轴的垂线交直线AO于点D,过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E,AE的中点为G,求的取值范围.第十节　圆锥曲线中的最值、范围问题
【核心考点·分类突破】
考点一最值问题
角度1 运用基本不等式法求最值
[例1](2024·重庆模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则-的最小值为　　　　.
【解析】抛物线的焦点坐标为(,0),
因为焦点为F(1,0),所以=1,得p=2,即抛物线方程为y2=4x,
当AB⊥x轴时,x=1,此时y2=4,y=±2,
即A(1,2),B(1,-2),则|AF|=|BF|=2,-=-=-4,
当AB不垂直x轴时,设斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AB的方程为y=k(x-1),(k≠0)代入y2=4x得k2(x-1)2=4x,
即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
则x1+x2=,x1x2=1,过A,B分别作AM,BN垂直于抛物线的准线(图略),
则|AF|=|AM|=x1+1,|BF|=|BN|=x2+1,+=+===
==1,
则=1-,
则-=-9(1-)=+-9≥2-9=2×-9=3-9=-6,
当且仅当=,即|AF|=6时取等号,
故-的最小值为-6,
综上可知:-的最小值为-6.
答案:-6
角度2 构造目标函数求最值
[例2](2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
【解析】(1)焦点F到x2+(y+4)2=1的最短距离为+4-1=4,所以p=2.
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
【解析】(2)抛物线y=x2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
则由y=x2得y'=,
所以直线PA:y=x1(x-x1)+y1=x1x-=x1x-y1,同理可得直线PB:y=x2x-y2,且=--8y0-15.
,lPB都过点P(x0,y0),则
故直线AB:y0=x0x-y,即y=x0x-y0,
联立
得x2-2x0x+4y0=0,Δ=4-16y0.
所以|AB|=·=·,点P到AB的距离d=,
所以S△PAB=|AB|·d=|-4y0|·=(-4y0=(--12y0-15,而y0∈[-5,-3],故当y0=-5时,S△PAB达到最大,最大值为20.
【命题意图】本题为抛物线与圆的综合题,考查抛物线及圆的相关性质.考查逻辑思维能力、运算求解能力.
解题技法
求圆锥曲线中最值的常用方法
1.几何法:利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;
2.代数法:把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
对点训练
1.已知平面内一动点M与两定点B1(0,-1),B2(0,1)的连线的斜率之积为-.
(1)求动点M的轨迹E的方程;
【解析】(1)设M的坐标为(x,y),
依题意得·=-,化简得+y2=1(x≠0).
(2)设直线l:y=x+m与轨迹E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,当m变化时,求△PAB面积的最大值.
【解析】(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0,
所以x1+x2=-,x1x2=,且Δ=(4m)2-12(2m2-2)>0,
即-设AB中点为C,点C横坐标为xC==-,yC=xC+m=,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=-(x+),所以点P的坐标为(-,0),所以点P到AB的距离d=.
由弦长公式得|AB|=·=·,所以S△PAB=×××=≤·=.
当且仅当m2=,即m=±时,等号成立,
经检验m=±符合题意,
所以△PAB面积的最大值为.
2.(2024·景德镇模拟)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,且焦距为2.点P在椭圆上且异于A,B两点,若直线PA与PB的斜率之积为-.
(1)求椭圆C的标准方程;
【解析】(1)由题意知,A(-a,0),B(a,0),
设P(x,y),
则kPA·kPB=·===-,所以-=-,
又a2-b2=c2=1,所以a2=4,b2=3,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)过点F(-1,0)作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M,N两点,直线m的方程为x=-2a,过点M作ME垂直于直线m,交m于点E.求△OEN面积的最大值.
【解析】(2)设直线MN:x=ty-1,M(x1,y1),N(x2,y2),则E(-4,y1),
由得(3t2+4)y2-6ty-9=0,
显然Δ>0,所以y1+y2=,y1y2=-,
所以-2ty1y2=3(y1+y2),又kEN=,
所以直线EN的方程为y-y1=(x+4),
令y=0,则x=-4-=-4-=-4-=-4+=-,
所以直线EN过定点P(-,0);
而|y1-y2|=
==,
则S△OEN=|OP||y1-y2|=××==,
令u=≥1,有3+=3u+在[1,+∞)上单调递增,
则u=1,即t=0时,3+取最小值4,
于是当t=0时,=,
所以△OEN面积的最大值是.
【加练备选】
　　(2024·开封模拟)已知点A(3,1)在椭圆C:+=1上,直线l交C于M,N两点,直线AM,AN的斜率之和为0.
(1)求直线l的斜率;
【解析】(1)由题意得a2-8>0,解得a2>8,
A(3,1)代入椭圆方程中,+=1,
解得a2=12或6(舍去),故C:+=1.
当直线l的斜率不存在时,M,N关于x轴对称,此时由对称性可知,直线AM,AN的斜率之和不为0,舍去;
当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+b,联立椭圆方程C:+=1得,(1+3k2)x2+6kbx+3b2-12=0,
则Δ=36k2b2-4(1+3k2)(3b2-12)=-12(b2-12k2-4)>0,则b2<12k2+4,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,kAM+kAN
=+=
=
==0,
故2k·-(b-1-3k)·-6b+6=0,即-24k+6kb+18k2-6b+6=0,
故6b(k-1)+6(k-1)(3k-1)=0,
即6(k-1)(b+3k-1)=0,
当b+3k-1=0时,b=1-3k,此时直线l:y=kx+1-3k=k(x-3)+1,
显然直线l恒过A(3,1),矛盾,
当k=1时,经检验,满足题意,
故直线l的斜率为1;
(2)求△OMN的面积的最大值(O为坐标原点).
【解析】(2)由(1)知l:y=x+b,联立椭圆方程C:+=1得,4x2+6bx+3b2-12=0,
Δ=36b2-16(3b2-12)>0,
解得-4x1+x2=,x1x2=,
　|MN|=·=·=,
点O到直线l的距离为d==|b|,
故S△OMN=|MN|·d=··|b|==,
故当b2=8,即b=±2时,S△OMN取得最大值,最大值为2.
考点二 范围问题
[例3](2024·西城模拟)已知椭圆C:x2+2y2=2,点A,B在椭圆C上,且OA⊥OB(O为原点).设AB的中点为M,射线OM交椭圆C于点N.
(1)当直线AB与x轴垂直时,求直线AB的方程;
【解析】(1)当直线AB与x轴垂直时,设其方程为x=t(-由点A,B关于x轴对称,且OA⊥OB,由勾股定理可知不妨设A(t,t),
将点A的坐标代入椭圆C的方程,得t2+2t2=2,解得t=±.
所以直线AB的方程为x=±.
(2)求的取值范围.
【解析】(2)当直线AB的斜率不存在时,由(1)知==.
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+m.
由
得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.
由Δ=8(2k2-m2+1)>0,得m2<1+2k2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=.
因为OA⊥OB,所以·=0.
所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.
整理得(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.
所以(k2+1)(2m2-2)+km(-4km)+m2(2k2+1)=0.
解得3m2=2k2+2,从而m2≥.
设=λ,其中λ>0.
则=(+)=(x1+x2,y1+y2)=(,).
将N(,)代入椭圆C的方程,得m2λ2=2k2+1.
所以m2λ2=3m2-1,即λ2=3-.
因为m2≥,
所以≤λ2<3,即≤λ<.
综上所述,的取值范围是[,].
解题技法
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
(2)利用已知参数的范围,求新的参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(4)利用已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
对点训练
　已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线C于A,B两点,且+=2.
(1)求抛物线C的方程;
【解析】(1)抛物线C的焦点为F(,0),
若直线AB与x轴重合,则直线AB与抛物线C只有一个公共点,不合题意;
设直线AB的方程为x=my+,设点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立可得y2-2pmy-p2=0,
Δ=4p2m2+4p2>0,
由根与系数的关系可得y1+y2=2pm,y1y2=-p2,
+=+=+=
=
====2,解得p=1,
所以抛物线C的方程为y2=2x.
(2)若O为坐标原点,过点B作y轴的垂线交直线AO于点D,过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E,AE的中点为G,求的取值范围.
【解析】(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,由(1)可得y1+y2=2m,y1y2=-1,
又因为直线AO的方程为y=x=x=x,
将y=y2代入直线AO的方程可得y2=x,可得x==-,即点D(-,y2),
所以kDF==-y2,
因为AE⊥DF,所以kAE=-=,
所以直线AE的方程为y-y1=(x-x1),
联立可得y2-2y2y-2x1-2=0,则y1+yE=2y2,
故yE=2y2-y1,则xE=y2yE+x1+1=y2(2y2-y1)+x1+1=x1+2-y1y2+1=x1+4x2+2,
由AE的中点为G,可得G(x1+2x2+1,y2),
故G,B,D三点共线,则==.
又由y1y2=-1,知x1x2==,
故===1-=1-=1-∈(,1),
故的取值范围为(,1).

展开更多......

收起↑