资源简介

第五节　椭圆
第1课时　椭圆的定义及标准方程
【课标解读】
【课程标准】
1.掌握椭圆的定义及标准方程.
2.会利用待定系数法确定椭圆的标准方程.
【核心素养】
数学运算、直观想象、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 椭圆是历年高考的重点内容,其中求椭圆的标准方程时常出现在解答题的第一问中.
预测 预计2025年高考求椭圆的标准方程、直线与椭圆的交汇问题仍会出题,一般以解答题出现,求椭圆的离心率,考查比较灵活,一般以选择题、填空题的形式出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
微点拨
(1)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.
(2)当|PF1|+|PF2|<|F1F2|时,动点P不存在,无轨迹.
2.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上:+=1(a>b>0).
(2)焦点在y轴上:+=1(a>b>0).
微思考 如何判断点P(x0,y0)与椭圆+=1的位置关系
提示:当+<1时,点P在椭圆内;
当+=1时,点P在椭圆上;
当+>1时,点P在椭圆外.
微点拨
(1)椭圆的标准方程中
焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大;
焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大.
(2) a,b,c的关系:a2=b2+c2
常用结论
椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,
设∠F1PF2=θ.
(1)当P为短轴端点时,θ最大,最大.
(2)=|PF1||PF2|sin θ=b2tan =c|y0|.
(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.
(4)|PF1|·|PF2|≤()2=a2.
(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a+c).
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.(　 　)
(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.(　 　)
(3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆.(　 　)
(4)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是一条直线.(　 　)
2.(选择性必修第一册P109练习T3变条件)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则△ABF2的周长为(　　)
A.10　 B.15　 C.20　 D.25
3.(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|=(　　)
A.1　 B. 2　 C. 4　 D. 5
4.(忽略隐含条件)若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是____________.
【核心考点·分类突破】
考点一 椭圆的定义及应用
教考衔接 类题串串联
题号 类题说明
(1) 源自教材第108页例2.此题可知一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆
(2) 源自教材第108页例3.此题给出椭圆的另一种定义方式
(3) 源自教材第113页例6.此题给出椭圆的另一种定义方式
[例1](1)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,则线段PD的中点M的轨迹方程为______________.
(2)如图,设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点 M,且它们的斜率之积是-,则点M的轨迹方程为______________.
(3)动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比是常数,则动点M的轨迹方程为__________________.
解题技法
(1)在圆x2+y2=a2(a>0)上取一点 P(不取x轴上的点),过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD上的点M满足=(a>b>0) ,则动点M的轨迹是椭圆(除去左、右两个端点).
(2)设A,B两点的坐标分别为(-a,0),(a,0)(a>0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-1(a>c>0) ,则动点M的轨迹是椭圆(除去左、右两个端点).
(3)动点M(x,y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x=(a>c)的距离的比是常数,则动点M的轨迹是椭圆.
对点训练
1.(2024·丽江模拟)一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A.椭圆　 B.双曲线
C.抛物线　 D.双曲线的一支
2.(2024·梅州模拟)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与椭圆C的一个交点为A,若|AF2|=4,则△AF1F2的面积为(　　)
A.2　 B.　 C.4　 D.
考点二 椭圆的标准方程
考情提示
高考对椭圆方程的考查常以解答题的形式出现,有关椭圆的几何性质的求解也常以选择题和填空题的形式出现.
角度1 定义法
[例2]已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A.-=1　 B.+=1
C.-=1　 D.+=1
角度2 待定系数法
[例3]已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点(-,),(,-),则椭圆的方程为______________.
解题技法
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.若焦点位置不确定,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求出m,n的值即可.
对点训练
1.(2024·潍坊模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且过点P(1,),则椭圆的标准方程为__________ .
2.动圆M过定点A(-3,0),且内切于定圆B:(x-3)2+y2=100,动圆圆心M的轨迹方程为__________.
【加练备选】
　　1.(2024·沈阳模拟)F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,O为坐标原点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
2.已知点P为椭圆+=1上的任意一点,O为原点,M满足=,则点M的轨迹方程为________________. 第五节　椭圆
第1课时　椭圆的定义及标准方程
【课标解读】
【课程标准】
1.掌握椭圆的定义及标准方程.
2.会利用待定系数法确定椭圆的标准方程.
【核心素养】
数学运算、直观想象、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 椭圆是历年高考的重点内容,其中求椭圆的标准方程时常出现在解答题的第一问中.
预测 预计2025年高考求椭圆的标准方程、直线与椭圆的交汇问题仍会出题,一般以解答题出现,求椭圆的离心率,考查比较灵活,一般以选择题、填空题的形式出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
微点拨
(1)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.
(2)当|PF1|+|PF2|<|F1F2|时,动点P不存在,无轨迹.
2.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上:+=1(a>b>0).
(2)焦点在y轴上:+=1(a>b>0).
微思考 如何判断点P(x0,y0)与椭圆+=1的位置关系
提示:当+<1时,点P在椭圆内;
当+=1时,点P在椭圆上;
当+>1时,点P在椭圆外.
微点拨
(1)椭圆的标准方程中
焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大;
焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大.
(2) a,b,c的关系:a2=b2+c2
常用结论
椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,
设∠F1PF2=θ.
(1)当P为短轴端点时,θ最大,最大.
(2)=|PF1||PF2|sin θ=b2tan =c|y0|.
(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.
(4)|PF1|·|PF2|≤()2=a2.
(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a+c).
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.(　 ×　)
提示:(1)因为2a=|F1F2|=8,动点的轨迹是线段F1F2,不是椭圆;
(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.(　 ×　)
提示:(2)由于2a<|F1F2|,动点不存在,因此轨迹不存在;
(3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆.(　 √　)
提示:(3)由于2a=|MF1|+|MF2|>|F1F2|,符合椭圆的定义;
(4)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是一条直线.(　 √　)
提示:(4)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.(选择性必修第一册P109练习T3变条件)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则△ABF2的周长为(　　)
A.10　 B.15　 C.20　 D.25
【解析】选C.由题意椭圆的长轴长为2a=2=10,
由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10,
|BF1|+|BF2|=2a=10,
所以△ABF2的周长是20.
3.(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0,则|PF1|·|PF2|=(　　)
A.1　 B. 2　 C. 4　 D. 5
【解析】选B.方法一:因为·=0,所以∠F1PF2=90°,从而=b2tan 45°=1=×|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=2.
方法二:因为·=0,所以∠F1PF2=90°,由椭圆方程可知,c2=5-1=4 c=2,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=42=16,
又|PF1|+|PF2|=2a=2,平方得:|PF1|2++2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2.
4.(忽略隐含条件)若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是____________.
【解析】由已知得解得3答案:(3,4)∪(4,5)
【核心考点·分类突破】
考点一 椭圆的定义及应用
教考衔接 类题串串联
题号 类题说明
(1) 源自教材第108页例2.此题可知一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆
(2) 源自教材第108页例3.此题给出椭圆的另一种定义方式
(3) 源自教材第113页例6.此题给出椭圆的另一种定义方式
[例1](1)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,则线段PD的中点M的轨迹方程为______________.
【解析】(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
则点D的坐标为(x0,0),由点M是线段PD的中点,得x=x0,y=.
因为点P (x0,y0)在圆x2+y2=4上,
所以+=4　①
把x0=x,y0=2y代入方程①,得
x2+4y2=4,即+y2=1.
答案:+y2=1
(2)如图,设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点 M,且它们的斜率之积是-,则点M的轨迹方程为______________.
【解析】(2)设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0),
所以直线AM的斜率为kAM=(x≠-5),
同理,直线BM的斜率为kBM=(x≠5),
由已知,有·=-(x≠±5),
化简,得点M的轨迹方程为+=1(x≠±5).
答案:+=1(x≠±5)
(3)动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比是常数,则动点M的轨迹方程为__________________.
【解析】(3)设d是点M到直线l:x=的距离,
根据题意,动点M的轨迹就是集合P=.
由此得,=.
将上式两边平方,并化简,得9x2+25y2=225,即+=1.
答案:+=1
解题技法
(1)在圆x2+y2=a2(a>0)上取一点 P(不取x轴上的点),过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD上的点M满足=(a>b>0) ,则动点M的轨迹是椭圆(除去左、右两个端点).
(2)设A,B两点的坐标分别为(-a,0),(a,0)(a>0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-1(a>c>0) ,则动点M的轨迹是椭圆(除去左、右两个端点).
(3)动点M(x,y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x=(a>c)的距离的比是常数,则动点M的轨迹是椭圆.
对点训练
1.(2024·丽江模拟)一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A.椭圆　 B.双曲线
C.抛物线　 D.双曲线的一支
【解析】选A.设动圆P的半径为r,又圆A:(x+1)2+y2=1的半径为1,
圆B:(x-1)2+y2=64的半径为8,则|PA|=r+1,|PB|=8-r,
可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|,
则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆.
2.(2024·梅州模拟)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与椭圆C的一个交点为A,若|AF2|=4,则△AF1F2的面积为(　　)
A.2　 B.　 C.4　 D.
【解析】选D.椭圆C:+=1中,|F1F2|=2=4,
由|AF2|=4及椭圆定义得|AF1|=2,
因此△AF1F2为等腰三角形,底边上的高h===,
所以=|AF1|·h=.
考点二 椭圆的标准方程
考情提示
高考对椭圆方程的考查常以解答题的形式出现,有关椭圆的几何性质的求解也常以选择题和填空题的形式出现.
角度1 定义法
[例2]已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A.-=1　 B.+=1
C.-=1　 D.+=1
【解析】选D.设动圆的圆心M(x,y),半径为r,
圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切,与圆C2:(x+4)2+y2=9外切,
所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r.
|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,由椭圆的定义,M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a=8,c=4,所以b2=82-42=48,动圆圆心M的轨迹方程为+=1.
角度2 待定系数法
[例3]已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点(-,),(,-),则椭圆的方程为______________.
【解析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).
由解得
所以椭圆的方程为+=1.
答案:+=1.
解题技法
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.若焦点位置不确定,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),用待定系数法求出m,n的值即可.
对点训练
1.(2024·潍坊模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且过点P(1,),则椭圆的标准方程为__________ .
【解析】由题知:c=1,①
又椭圆经过点P(1,),所以+=1,②
又a2-b2=c2,③
联立解得:a2=4,b2=3,
故椭圆的标准方程为:+=1.
答案:+=1
2.动圆M过定点A(-3,0),且内切于定圆B:(x-3)2+y2=100,动圆圆心M的轨迹方程为__________.
【解析】由圆B方程知其圆心为B(3,0),
半径r1=10.设圆M半径为r2,则|MA|=r2,
由题意可知|MB|=r1-r2=10-r2,即|MA|+|MB|=10,
又|AB|=6,所以|MA|+|MB|>|AB|.
所以动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点且a=5,
c=3的椭圆,所以b2=a2-c2=16.
所以动圆圆心M的轨迹方程为+=1.
答案:+=1
【加练备选】
　　1.(2024·沈阳模拟)F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,O为坐标原点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA====,因为2a=6,
所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5,所以椭圆方程为+=1;
同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.
2.已知点P为椭圆+=1上的任意一点,O为原点,M满足=,则点M的轨迹方程为________________.
【解析】设点M(x,y),
由=得点P(2x,2y),而点P为椭圆+=1上的任意一点,
于是得+=1,整理得:+=1,
所以点M的轨迹方程是+=1.
答案:+=1

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