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第3课时　直线和椭圆
【核心考点·分类突破】
考点一 直线与椭圆位置关系的判断
[例1](1)(2024·长沙模拟)椭圆+=1与直线y=k(x-1)的位置关系是(　　)
A.相离　 B.相交
C.相切　 D.无法确定
【解析】选B.直线过定点M(1,0)在椭圆内,故直线与椭圆相交.
(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.
①无公共点;
【解析】①依题意,联立,
消去y,得25x2+32mx+16m2-144=0,
所以Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=-576m2+14 400,
要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144无公共点,
则Δ<0,即-576m2+14 400<0,解得m<-5或m>5,
所以当m<-5或m>5时,直线和椭圆无公共点.
②有且仅有一个公共点;
【解析】②要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144有且仅有一个公共点,
则Δ=0,即-576m2+14 400=0,解得m=±5,所以当m=±5时,直线和椭圆有且仅有一个公共点.
③有两个公共点.
【解析】③要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144有两个公共点,
则Δ>0,即-576m2+14 400>0,解得-5所以当-5解题技法
判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆公共点个数.
对点训练
1.直线y=2x-1与椭圆+=1的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
【解析】选A.因为+=<1,所以在椭圆内,
因为y=2x-1恒过点,所以直线y=2x-1与椭圆+=1相交.
2.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是(　　)
A.至多为1 B.2
C.1 D.0
【解析】选B.由题意知>2,即<2,
所以点P(m,n)在椭圆+=1的内部,
故所求交点个数是2.
【加练备选】
　　已知直线l:kx+y+1=0,椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的位置关系是(　　)
A.相离　 B.相切
C.相交　 D.无法确定
【解析】选C.由直线l:kx+y+1=0,得直线l过定点(0,-1),
因为+<1,所以该点在椭圆C:+=1的内部.
所以直线l与椭圆C相交.
考点二 直线与椭圆相交的有关问题
角度1 弦长问题
[例2]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),离心率是,直线x=c被椭圆截得的弦长等于2.
(1)求椭圆C的标准方程;
【解析】(1)由题意可得,解得,
所以椭圆C的标准方程为+=1;
(2)若直线l:x+2y-2=0与椭圆相交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.
【解析】(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
联立,消元整理可得x2-2x-6=0,
显然Δ>0,故x1+x2=2,x1x2=-6,
所以|AB|=|x1-x2|=·=·=,又由于原点到直线l的距离为d==,
所以S△OAB=·d·|AB|=××=,所以△OAB的面积为.
解题技法
1.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则
①|AB|=|x1-x2|=;
②|AB|=|y1-y2|=.(k≠0)
2.弦长公式的运用技巧
在利用曲线方程和直线方程联立时,设直线方程也很讲究.
(1)若直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式方程y=kx+b便于运算,即“定点落在纵轴上,斜截式帮大忙”;
(2)若直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a可以减小运算量,即“直线定点落横轴,斜率倒数作参数”.
提醒:联立直线与曲线方程后得到一元二次方程,一定要考虑判别式Δ.
角度2 中点弦问题
[例3](一题多法)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为__________.
【解析】方法一:设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,
所以即
因为kAB=kMN,所以==-.
将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程,
得相减得+=0,
由题意知x1+x2≠0,x1≠x2,
所以·=-,
即·(-)=-,整理得m2=2n2.①
又|MN|=2,所以由勾股定理,
得m2+n2=12,②
由①②并结合m>0,n>0,得
所以直线l的方程为+=1,
即x+y-2=0.
方法二:设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,
设为Q,则Q(,),则kAB==-,kOQ==.
由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ=-=-,
即(-)·=-,以下同方法一.
答案:x+y-2=0
解题技法
处理中点弦问题常用的求解方法
对点训练
1.(2024·南昌模拟)已知直线l交椭圆C:+=1于A,B两点,若点M(1,2)为A,B两点的中点,则直线l的斜率为(　　)
A.　 B.-　 C.　 D.-
【解析】选D.椭圆C:+=1,
依题意可知直线l的斜率存在,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,
两式相减并化简得-=·,即-=·,=-,
所以直线l的斜率为-.
2.若椭圆+=1的弦AB的中点为(-1,-1),则弦AB的长为(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为弦AB的中点为(-1,-1),
可得x1+x2=-2,y1+y2=-2,
又因为A,B在椭圆上,可得,两式相减可得+=0,
可得=-=-,即直线AB的斜率为k=-,
所以弦AB的直线方程为y+1=-(x+1),即y=-x-,
联立,整理得3x2+6x+1=0,可得x1+x2=-2,x1x2=,
由弦长公式,
可得|AB|=·=·=.
【加练备选】
　　已知椭圆G:+=1的离心率为,且过点.
(1)求椭圆G的方程;
【解析】(1)由题意,,解得,故椭圆G的方程为+=1.
(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△ABP的面积.
【解析】(2)令AB为y=x+n,则AB中垂线方程为y=-(x+3)+2=-x-1,
联立AB与椭圆方程得,x2+3(x+n)2=12,整理得4x2+6nx+3n2-12=0,
若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,所以y1+y2=x1+x2+2n=,
又(,)在AB中垂线上,所以-1=,可得n=2,即x1+x2=-3,x1x2=0,
所以|AB|=·=3,
又P(-3,2)到AB的距离d==,
所以S△PAB=|AB|·d=.第3课时　直线和椭圆
【核心考点·分类突破】
考点一 直线与椭圆位置关系的判断
[例1](1)(2024·长沙模拟)椭圆+=1与直线y=k(x-1)的位置关系是(　　)
A.相离　 B.相交
C.相切　 D.无法确定
(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.
①无公共点;
②有且仅有一个公共点;
③有两个公共点.
解题技法
判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆公共点个数.
对点训练
1.直线y=2x-1与椭圆+=1的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
2.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是(　　)
A.至多为1 B.2
C.1 D.0
【加练备选】
　　已知直线l:kx+y+1=0,椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的位置关系是(　　)
A.相离　 B.相切
C.相交　 D.无法确定
考点二 直线与椭圆相交的有关问题
角度1 弦长问题
[例2]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),离心率是,直线x=c被椭圆截得的弦长等于2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:x+2y-2=0与椭圆相交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.
解题技法
1.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则
①|AB|=|x1-x2|=;
②|AB|=|y1-y2|=.(k≠0)
2.弦长公式的运用技巧
在利用曲线方程和直线方程联立时,设直线方程也很讲究.
(1)若直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式方程y=kx+b便于运算,即“定点落在纵轴上,斜截式帮大忙”;
(2)若直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a可以减小运算量,即“直线定点落横轴,斜率倒数作参数”.
提醒:联立直线与曲线方程后得到一元二次方程,一定要考虑判别式Δ.
角度2 中点弦问题
[例3](一题多法)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为__________.
解题技法
处理中点弦问题常用的求解方法
对点训练
1.(2024·南昌模拟)已知直线l交椭圆C:+=1于A,B两点,若点M(1,2)为A,B两点的中点,则直线l的斜率为(　　)
A.　 B.-　 C.　 D.-
2.若椭圆+=1的弦AB的中点为(-1,-1),则弦AB的长为(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
【加练备选】
　　已知椭圆G:+=1的离心率为,且过点.
(1)求椭圆G的方程;
(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△ABP的面积.

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