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第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
【课标解读】
【课程标准】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程.
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 本节内容高考一般不单独命题,时常与圆的方程相结合,考查直线与圆的位置关系,多以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考直线方程仍会出现,一般与其他知识交汇考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
微思考 任何一条直线都有倾斜角吗
提示:由直线倾斜角的定义可知:任何一条直线都有倾斜角.
2.直线的斜率
(1)定义:把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α(α≠90°).
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=.
微点拨 直线的斜率k与倾斜角α之间的关系.
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀:
“斜率变化分两段,90°是分界线;
遇到斜率要谨记,存在与否要讨论.”
3.直线的方向向量与法向量
(1)方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量.
(2)法向量: 如果表示非零向量v的有向线段所在的直线与直线l垂直, 则称向量v为直线l的一个法向量.
微点拨 直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A).
4.直线方程的5种形式
名称 方程 适用条件
点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线
两点式 = 不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
截距式 +=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0,(A2+B2≠0) 平面内所有直线
微点拨
1.用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在两种情况讨论,否则会造成失误.
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.
3.直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.
常用结论
1.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=
(x-x1)(y2-y1)表示;
2.识记几种特殊位置的直线方程
(1)x轴:y=0;
(2)y轴:x=0;
(3)平行于x轴的直线:y=b(b≠0);
(4)平行于y轴的直线:x=a(a≠0);
(5)过原点的直线:y=kx或x=0.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 3 2,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线斜率为,则它的倾斜角为30°.(　 √　)
提示:(1)设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°),则由题意得tan α=,所以α=30°.
(2)若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90°.(　 √　)
提示:(2)因为A(1,-3),B(1,3),所以直线AB与x轴垂直,则其斜率不存在,故其倾斜角为90°.
(3)若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4).(　 √　)
提示:(3)因为直线过定点(1,2),且斜率为tan 45°=1,所以直线的方程为y-2=x-1,即y=x+1,易知4=3+1,故直线必过点(3,4).
(4)若直线的斜率为,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点.(　 ×　)
提示:(4)不妨取y=x,满足直线的斜率为,但显然该直线y=x不过(1,1)与(5,4)两点.
2.(忽视截距为零的情形致误)过点P(1,2),且在两坐标轴上截距相等的直线有(　　)
A.4条　 B.2条　 C.3条　 D.1条
【解析】选B.当截距为0时,设直线方程为y=kx,将P(1,2)代入y=kx,求得k=2,故方程为y=2x;当截距不为0,截距相等时,设方程为+=1,
将P(1,2)代入,即+=1,解得a=3,故方程为x+y=3.
3.(选择性必修一人AP65例5变条件)已知直线l过点(2,-1),且在x轴上的截距为3,则直线l的方程为(　　)
A.x-y-3=0　 B.x-2y+6=0
C.2x+y+3=0　 D.2x+y-3=0
【解析】选A.由题意,直线l过点(3,0)和点(2,-1),所以其斜率为k==1,直线方程为y=x-3,即x-y-3=0.
4.(不明确方向向量与斜率的关系致误)若直线l的倾斜角为,方向向量为e=(-1,a),则实数a的值是(　　)
A.　 B.-　 C.　 D.-
【解析】选A.因为直线l的方向向量是e=(-1,a),
所以直线l的斜率为k==-a,
又直线的倾斜角α=,
所以斜率k=tan =-=-a,解得a=.
【核心考点·分类突破】
考点一直线的倾斜角与斜率
[例1](1)如图,在平面直角坐标系中有三条直线l1,l2,l3,其对应的斜率分别为k1,k2,k3,则下列选项正确的是(　　)
A.k3>k1>k2　 B.k1-k2>0
C.k3>k2>k1　 D.k1·k2<0
【解析】选C.由题图可知,k1<0,k2<0,k3>0,且k1(2)直线xcos α+y-2=0的倾斜角的范围是(　　)
A. [-, B.[0,
C. [0,∪[,π) D. [,
【解析】选C.已知直线方程xcos α+y-2=0,设直线的倾斜角为θ,故tan θ
=-=-cos α∈[-,,即θ∈[0,∪[,π).
一题多变
[变式1]若例(2)中直线方程改为“xsin α+y-2=0”,结果如何
【解析】选C.因为直线方程为xsin α+y-2=0,
设直线的倾斜角为θ,故tan θ=-=-sin α∈[-,,
即θ∈[0,∪[,π).
[变式2]若例(2)中直线方程改为“xsin α+ycos α-2=0”,则直线倾斜角的范围为________.
【解析】因为直线方程为xsin α+ycos α-2=0,
设直线的倾斜角为θ,当cos α=0时,θ=;
当cos α≠0时,故tan θ=-=-tan α∈R,此时θ∈[0,)∪(,π).
综上可知,θ∈[0,π).
答案:[0,π)
(3)金榜原创·易错对对碰
①已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为(　　)
A.[-1,1]　 B.[1,+∞)
C.(-∞,-1]∪[1,+∞)　 D.(-∞,-1]
【解析】选C.如图,由题意可知kPA==-1,kPB==1.
要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
②已知两点M(2,-1),N(5,6),直线l过点P(1,3)且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A. [-4,]　 B.(-∞,-4]∪[,+∞)
C. [,4]　 D.[-,4]
【解析】选A.由P(1,3),N(5,6),则直线PN的斜率kPN==,
由P(1,3),M(2,-1),则直线PM的斜率kPM==-4,由图可知,kPM≤k≤kPN,
解得-4≤k≤.
解题技法
斜率的两种求法
(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率.
(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据公式k=(x1≠x2)求斜率.
提醒:在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要注意正切函数k=tan α的单调性,当α取值由0°增大到90°(α≠90°)时,k由0增大到+∞,当α取值由90°(α≠90°)增大到180°(α≠180°)时,k由-∞增大到0(取不到0).
对点训练
1.(2024·南京模拟)已知三点(2,-3),(4,3), (5,)在同一条直线上,则实数k的值
为(　　)
A.2　 B.4　 C.8　 D.12
【解析】选D.由题意,三点中任意两点的直线斜率相等,得=,解得k=12.
2.(2024·潍坊模拟)直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的斜率的取值范围为(　　)
A.(0,1]　 B.(-∞,1]
C.(-2,1]　 D.[1,+∞)
【解析】选B.kl==1-m2≤1,故直线l的斜率的取值范围为(-∞,1].
3.直线2xcos α-y-3=0(α∈)的倾斜角的变化范围是(　　)
A. [,　 B. [,
C. [,　 D. [,
【解析】选B.直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α.
由于α∈[,,所以≤cos α≤,因此k=2cos α∈[1,].
设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,].
由于θ∈[0,π),所以θ∈[,,即倾斜角的变化范围是[,.
考点二求直线的方程
[例2]根据所给条件求直线的方程:
(1)过点(2,1)和(-2,3);
【解析】(1)由两点式得直线方程为=,即x+2y-4=0.
(2)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
【解析】(2)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.
设倾斜角为α(0≤α<π,且α≠),则sin α=,
从而cos α=±,则k=tan α=±.
故所求直线方程为y=±(x+4),
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
(3)倾斜角为,与y轴的交点到坐标原点的距离为4;
【解析】(3)因为直线的倾斜角为,所以其斜率k=tan =1,由直线与y轴的交点到原点的距离为4,所以直线在y轴上的截距b=4或b=-4.故所求直线方程为y=x+4或y=x-4.
(4)(一题多法)经过点A(2,6),在x轴上的截距为3.
【解析】(4)方法一:易知直线的斜率存在,设直线方程为y=k(x-3),
因为点A(2,6)在直线上,所以k=-6,所以y=-6×(x-3)=18-6x,
所以所求直线方程为y=-6x+18.
方法二:由于直线过点A(2,6)和点(3,0),则直线的斜率k==-6,
由直线的点斜式方程得y-0=-6×(x-3)=18-6x,
所以所求直线方程为y=-6x+18.
解题技法
直线方程的求法
(1)直接法:根据已知条件,求出直线方程的确定条件,选择适当的直线方程的形式,直接写出直线方程.
(2)待定系数法:
①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式);
②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组;
③解方程或方程组得到待定系数;
④写出直线方程;
⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程,如果有遗漏需要补加.
提醒:选用点斜式或斜截式时,需讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,需讨论直线是否过原点或垂直于坐标轴.
对点训练
1.已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a=__________.
【解析】依题意,a≠0,因此直线ax+y-2+a=0在x,y轴上的截距分别为-1,2-a,
于是-1=2-a,即a2-3a+2=0,解得a=1或a=2,所以实数a=1或a=2.
答案:1或2
2.求适合下列条件的直线l的方程:
(1)经过点P(1,2),倾斜角α的正弦值为;
【解析】(1)由题可知sin α=,则tan α=±,
因为直线l经过点P(1,2),所以直线l的方程为y-2=±(x-1),
即y=±(x-1)+2,整理得4x-3y+2=0或4x+3y-10=0.
(2)经过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等;
【解析】(2)方法一:①当截距为0时,直线l过点(0,0),(2,3),则直线l的斜率为k==,
因此直线l的方程为y=x,即3x-2y=0.
②当截距不为0时,可设直线l的方程为+=1.
因为直线l过点P(2,3),所以+=1,
所以a=5.
所以直线l的方程为x+y-5=0.
综上可知,直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.
方法二:由题意可知所求直线的斜率存在,
则可设直线方程为y-3=k(x-2),且k≠0.
令x=0,得y=-2k+3.
令y=0,得x=-+2.
于是-2k+3=-+2,解得k=或k=-1.
则直线l的方程为y-3=(x-2)或y-3=-(x-2),
即3x-2y=0或x+y-5=0.
(3)经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线的一个方向向量v=(-3,2).
【解析】(3)联立解得
所以直线过点(1,1),
因为直线的一个方向向量v=(-3,2),
所以直线的斜率k=-,
则直线的方程为y-1=-(x-1),
即2x+3y-5=0.
考点三 直线方程的综合应用
[例3]过点P(4,1)作直线l,分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B.
(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;
【解析】设直线l:+=1(a>0,b>0),因为直线l经过点P(4,1),所以+=1.
(1)因为+=1≥2=,
所以ab≥16,=ab≥8,
当且仅当a=8,b=2时等号成立.
所以当a=8,b=2时,△AOB的面积最小,
此时直线l的方程为+=1,
即x+4y-8=0.
(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.
【解析】(2)因为+=1,a>0,b>0,
所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(+)=5++≥9,
当且仅当a=6,b=3时等号成立.
所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为+=1,即x+2y-6=0.
解题技法
直线综合问题的求解策略
(1)求解含有参数的直线过定点问题的方法是分项整理,将含参数的并为一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零,解方程组所得的解即为所求定点.
(2)涉及直线在坐标轴上的截距问题(或与坐标轴的交点构成的图形面积、周长等问题),常用直线的截距式方程求解.
对点训练
(2024·南京模拟)已知直线l1:kx-y+3k+5=0恒过点A,已知B(2,8),动点P在直线l2:x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为(　　)
A.5　 B.　 C.5　 D.2
【解析】选D.由kx-y+3k+5=0化简得y-5=k(x+3),
所以A(-3,5),如图所示:
由图形可知,点A,B在直线x-y+1=0的同侧,且直线x-y+1=0的斜率为1,
设点B关于直线x-y+1=0的对称点为点B'(a,b),
则,解得a=7,b=3,即点B'(7,3),
由对称性可知|PA|+|PB|=|PA|+|PB'|≥|AB'|==2.第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
【课标解读】
【课程标准】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程.
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 本节内容高考一般不单独命题,时常与圆的方程相结合,考查直线与圆的位置关系,多以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考直线方程仍会出现,一般与其他知识交汇考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
微思考 任何一条直线都有倾斜角吗
提示:由直线倾斜角的定义可知:任何一条直线都有倾斜角.
2.直线的斜率
(1)定义:把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α(α≠90°).
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=.
微点拨 直线的斜率k与倾斜角α之间的关系.
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀:
“斜率变化分两段,90°是分界线;
遇到斜率要谨记,存在与否要讨论.”
3.直线的方向向量与法向量
(1)方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量.
(2)法向量: 如果表示非零向量v的有向线段所在的直线与直线l垂直, 则称向量v为直线l的一个法向量.
微点拨 直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A).
4.直线方程的5种形式
名称 方程 适用条件
点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线
两点式 = 不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
截距式 +=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0,(A2+B2≠0) 平面内所有直线
微点拨
1.用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在两种情况讨论,否则会造成失误.
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.
3.直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.
常用结论
1.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=
(x-x1)(y2-y1)表示;
2.识记几种特殊位置的直线方程
(1)x轴:y=0;
(2)y轴:x=0;
(3)平行于x轴的直线:y=b(b≠0);
(4)平行于y轴的直线:x=a(a≠0);
(5)过原点的直线:y=kx或x=0.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 3 2,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线斜率为,则它的倾斜角为30°.(　 　)
(2)若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90°.(　 　)
(3)若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4).(　 　)
(4)若直线的斜率为,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点.(　 　)
2.(忽视截距为零的情形致误)过点P(1,2),且在两坐标轴上截距相等的直线有(　　)
A.4条　 B.2条　 C.3条　 D.1条
3.(选择性必修一人AP65例5变条件)已知直线l过点(2,-1),且在x轴上的截距为3,则直线l的方程为(　　)
A.x-y-3=0　 B.x-2y+6=0
C.2x+y+3=0　 D.2x+y-3=0
4.(不明确方向向量与斜率的关系致误)若直线l的倾斜角为,方向向量为e=(-1,a),则实数a的值是(　　)
A.　 B.-　 C.　 D.-
【核心考点·分类突破】
考点一直线的倾斜角与斜率
[例1](1)如图,在平面直角坐标系中有三条直线l1,l2,l3,其对应的斜率分别为k1,k2,k3,则下列选项正确的是(　　)
A.k3>k1>k2　 B.k1-k2>0
C.k3>k2>k1　 D.k1·k2<0
(2)直线xcos α+y-2=0的倾斜角的范围是(　　)
A. [-, B.[0,
C. [0,∪[,π) D. [,
[变式1]若例(2)中直线方程改为“xsin α+y-2=0”,结果如何
[变式2]若例(2)中直线方程改为“xsin α+ycos α-2=0”,则直线倾斜角的范围为________.
(3) 易错对对碰
①已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为(　　)
A.[-1,1]　 B.[1,+∞)
C.(-∞,-1]∪[1,+∞)　 D.(-∞,-1]
②已知两点M(2,-1),N(5,6),直线l过点P(1,3)且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A. [-4,]　 B.(-∞,-4]∪[,+∞)
C. [,4]　 D.[-,4]
解题技法
斜率的两种求法
(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率.
(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据公式k=(x1≠x2)求斜率.
提醒:在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要注意正切函数k=tan α的单调性,当α取值由0°增大到90°(α≠90°)时,k由0增大到+∞,当α取值由90°(α≠90°)增大到180°(α≠180°)时,k由-∞增大到0(取不到0).
对点训练
1.(2024·南京模拟)已知三点(2,-3),(4,3), (5,)在同一条直线上,则实数k的值
为(　　)
A.2　 B.4　 C.8　 D.12
2.(2024·潍坊模拟)直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的斜率的取值范围为(　　)
A.(0,1]　 B.(-∞,1]
C.(-2,1]　 D.[1,+∞)
3.直线2xcos α-y-3=0(α∈)的倾斜角的变化范围是(　　)
A. [,　 B. [,
C. [,　 D. [,
考点二求直线的方程
[例2]根据所给条件求直线的方程:
(1)过点(2,1)和(-2,3);
(2)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
(3)倾斜角为,与y轴的交点到坐标原点的距离为4;
(4)(一题多法)经过点A(2,6),在x轴上的截距为3.
解题技法
直线方程的求法
(1)直接法:根据已知条件,求出直线方程的确定条件,选择适当的直线方程的形式,直接写出直线方程.
(2)待定系数法:
①设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式);
②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组;
③解方程或方程组得到待定系数;
④写出直线方程;
⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程,如果有遗漏需要补加.
提醒:选用点斜式或斜截式时,需讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,需讨论直线是否过原点或垂直于坐标轴.
对点训练
1.已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a=__________.
2.求适合下列条件的直线l的方程:
(1)经过点P(1,2),倾斜角α的正弦值为;
(2)经过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等;
(3)经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线的一个方向向量v=(-3,2).
考点三 直线方程的综合应用
[例3]过点P(4,1)作直线l,分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B.
(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;
(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.
解题技法
直线综合问题的求解策略
(1)求解含有参数的直线过定点问题的方法是分项整理,将含参数的并为一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零,解方程组所得的解即为所求定点.
(2)涉及直线在坐标轴上的截距问题(或与坐标轴的交点构成的图形面积、周长等问题),常用直线的截距式方程求解.
对点训练
(2024·南京模拟)已知直线l1:kx-y+3k+5=0恒过点A,已知B(2,8),动点P在直线l2:x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为(　　)
A.5　 B.　 C.5　 D.2

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