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第二节　平面向量的基本定理及坐标表示
【课标解读】
【课程标准】
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 高考在本节以考查基础题为主,考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 平面向量基本定理及其应用及坐标表示和运算仍是考查的热点,题型仍将是选择题或填空题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.平面向量基本定理
条件 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
基底 若e1,e2不共线,把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
微点拨基底{e1,e2}必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底.若基底给定,则同一向量的分解形式唯一.
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的加法、减法、数乘及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)两点间的向量坐标公式
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.
(3)单位向量
a=(x,y),同向单位向量为,反向单位向量为.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b a=λb(λ∈R) x1y2=x2y1.
微点拨只有x2y2≠0时,a∥b才与=等价.
常用结论
1.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为(,);已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为(,).
2.如果对于一个基底,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2.特别地,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,{,}可以作为基底.(　 √　)
(2)平面向量无论经过怎样的平移变换其坐标都不变.(　 √　)
(3)设a,b是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(　 √　)
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.(　 ×　)
提示:(4)若b=(0,0),则=无意义.
2.(必修第二册P31例7·变条件)已知a=(4,2),b=(3,y),且a∥b,则y的值为(　　)
A.　 B.　 C.6　 D.
【解析】选B.因为a∥b,所以4y=2×3,所以y=.
3.(2023·上海高考)已知向量a=(3,4),b=(1,2),则a-2b=　　　　　　.
【解析】因为向量a=(3,4),b=(1,2),所以a-2b=(3-2×1,4-2×2)=(1,0).
答案:(1,0)
4.(忽视共线包括两种情况致误)已知A(-3,4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为　　　　　.
【解析】由点P在直线AB上,且||=2||,可得=2或=-2.当=2时,设P(a,b),则(a+3,b-4)=2(-1-a,2-b),解得a=-,b=,
此时点P的坐标为(-,).
当=-2时,设P(m,n),则(m+3,n-4)=-2(-1-m,2-n),解得m=1,n=0,此时点P的坐标为(1,0).
综上,点P的坐标为(-,)或(1,0).
答案: (-,)或(1,0)
【核心考点·分类突破】
考点一平面向量基本定理及其应用
[例1](1)(多选题)如图,正方形ABCD中,E为AB中点,M为线段AD上的动点,若=λ+μ,则λ+μ的值可以是(　　)
A.　 B.　 C.1　 D.2
【解析】选ACD.因为M在线段AD上,设=k,
其中0≤k≤1,则-=k(-),所以=(1-k)+k,
因为E为BA的中点,则=2,所以=2(1-k)+k,
又因为=λ+μ,且,不共线,则,
所以,λ+μ=2(1-k)+k=2-k∈.
(2)如图,以向量=a,=b为邻边作平行四边形OADB,=,=,则=　　　　.(用a,b表示)
【解析】因为=-=a-b,
==a-b,
所以=+=b+(a-b)=a+b.
因为=a+b,所以=+=+==a+b,
所以=-=a+b-a-b=a-b.
答案:a-b
解题技法
应用平面向量基本定理的关键
(1)合理选择基底,注意基底必须是两个不共线的向量.
(2)选定基底后,通过构造平行四边形(或三角形),利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用基底表示出来.
(3)注意几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.
提醒:同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的.
对点训练
1.(多选题)如图,在△ABC中,=,E是线段BC上的点,且满足=2,线段CD与线段AE交于点F,则下列结论正确的是(　　)
A.=+　 B.3DF=2CF
C.=+　 D.4=3
【解析】选ACD.由题意,=+=+=+(-)=+,故选项A正确;
由与共线,可得
=λ=λ(+)=+,
由C,F,D三点共线,得
=t+(1-t)=+(1-t),
由平面向量基本定理,可得,解得,
所以=+,=,
4=3,故选项C,D正确;
由C,F,D三点共线,得=k,即-=k(-),
化简为(1-k)=-k,
由选项C可得,(1-k) (+)=-,
由平面向量基本定理得,,解得k=-1,
所以=-,即DF=CF,故选项B错误.
2.(2023·北京模拟)已知三角形ABC中,D为BC的中点,E为AB上一点,若=λ+3λ(0<λ<1),那么=　　　　　　.
【解析】设=μ(0≤μ≤1),
因为D为BC的中点,所以=(+),
所以=-=(+)-μ=(-μ)+.
因为=λ+3λ(0<λ<1),所以,解得,
所以=,所以=,所以=.
答案:
【加练备选】
1.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)
A.若=+,则点M是边BC的中点
B.若=2-,则点M是边BC的三等分点
C.若=--,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
【解析】选ACD.对于A中,根据向量的平行四边形法则,
若=+=(+),
则点M是边BC的中点,所以A正确;
对于B中,由=2-,则-=-,即=,
则B为CM的中点,所以B错误;
对于C中,如图所示,由=--,可得++=0,
取BC的中点D,可得=-2,则点M为△ABC的重心,所以C正确;
对于D中,由=x+y,且x+y=,
所以3=3x+3y,且3x+3y=1,
设=3,可得=3x+3y,且3x+3y=1,所以N,B,C三点共线,
因为=3,所以M为AN的一个三等分点(靠近A),如图所示,
所以S△MBC=S△ABC,则△MBC的面积是△ABC面积的,所以D正确.
2.(多选题)(2023·景德镇模拟)在平行四边形ABCD中,点E为边CD的中点,点F为边BC上靠近点B的三等分点,连接AF,BE交于点M,连接AC,点N为AC上靠近点C的三等分点,记=a,=b,则下列说法正确的是(　　)
A.点M,N,E三点共线
B.若=λa+μb,则λ+μ=
C.=
D.S△ABM=S,S为平行四边形ABCD的面积
【解析】选ACD.如图所示:
平行四边形ABCD中,
因为点N为AC上靠近点C的三等分点,
所以==+,
=+,
所以=-=-,
设=m=m(-)=3m,m≠0,
所以∥,又有公共点E,
所以点M,N,E三点共线,故A选项正确;
设=c,=-=-m(-)-c=(-m-c)+(m-c)=+,
故 ,
所以==+,λ+μ=,故B选项错误;
=-=-+,
因为=,所以==-+,
故=,C选项正确;
因为=,所以S△ABM=S△ABF=S△ABC=S,故D选项正确.
考点二平面向量的坐标运算
[例2](1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c=(　　)
A. (,)　 B. (-,-)
C. (,)　 D. (-,-)
【解析】选D.因为a-2b+3c=0,
所以c=-(a-2b)=-(5+4×2,-2+2×3)= (-,-).
(2)已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),则λ+μ=(　　)
A.-1　 B.0　 C.1　 D.25
【解析】选B.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
又2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),
所以,且,
解得,,即a=(1,2),b=(2,1),
所以λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1),则,解得,
故λ+μ=0.
(3)如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点B,C,D的坐标分别是(-1,3),(3,4),(2,2),
则向量=　　　　;顶点A的坐标为　　　　.
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,
且顶点B,C的坐标分别是(-1,3),(3,4),
所以=(3,4)-(-1,3)=(4,1);
设A(x,y),又D(2,2),所以=(2-x,2-y),
又=,所以(2-x,2-y)=(4,1),
即,解得,所以顶点A的坐标为(-2,1).
答案:(4,1)　(-2,1)
解题技法
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.
对点训练
1.已知点A(-1,2),B(3,1),向量=(2,1),则向量=(　　)
A.(-2,2)　 B.(-1,0)
C.(3,-1)　 D.(4,-1)
【解析】选A.设C(x,y),则=(x,y)-(-1,2)=(2,1),
故,解得,所以C(1,3).
又因为B(3,1),所以=(1,3)-(3,1)=(-2,2).
2.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基底{a,b}表示c,则(　　)
A.c=2a-3b B.c=-2a-3b
C.c=-3a+2b D.c=3a-2b
【解析】选D.如图建立平面直角坐标系,设正方形网格的边长为1,
则A(1,0),B(2,1),C(0,4),D(7,1),
所以a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3),
设向量c=ma+nb,则c=ma+nb=(m-2n,m+3n)=(7,-3),
则,解得,所以c=3a-2b.
考点三 平面向量共线的坐标表示
考情提示
向量共线的坐标表示在向量部分是一个非常重要的知识点,它为解决向量共线或三点共线问题提供了一种便捷的方法.可单独考查,也常与数量积、三角函数等结合考查.
角度1　利用向量共线求向量或点的坐标
[例3](1)已知点A(1,2),B(-2,6),则与向量方向相反的单位向量为(　　)
A. (-,)　 B. (,-)
C. (-,)　 D. (,-)
【解析】选B.由点A(1,2),B(-2,6),可得=(-3,4),则=5,
所以与向量方向相反的单位向量为-=-×(-3,4)= (,-).
(2)已知两点A(3,-4),B(-9,2),点P在直线AB上,且=,则点P的坐标为　　　　　.
【解析】由题知A(3,-4),B(-9,2),可得=(-12,6),
设P(x,y),因为=(x-3,y+4),
=,所以(x-3,y+4)=(-6,3),得,解得,
所以点P的坐标为(-3,-1).
答案:(-3,-1)
角度2　利用向量共线求参数
[例4](1)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k=　　　　　.
【解析】=-=(4-k,-7),
=-=(-2k,-2).
因为A,B,C三点共线,所以,共线,
所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-.
答案:-
(2)(一题多法)已知向量a=(1,-2),b=(3,4),若(3a-b)∥(a+kb),则k=　　　　　.
【解析】方法一:3a-b=(3,-6)-(3,4)=(0,-10),a+kb=(1+3k,-2+4k),
因为(3a-b)∥(a+kb),所以0+10(1+3k)=0,解得k=-.
方法二:因为1×4≠(-2)×3,所以a与b不平行,由(3a-b)∥(a+kb)得=,解得k=-.
答案:-
解题技法
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)利用两向量共线求参数时,如果已知两向量共线,求某些参数的取值,则利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标,一般地,求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
对点训练
1.(2023·曲靖模拟)已知向量a=(2,2),b=(1,x),若b∥(a+2b),则=(　　)
A.　 B.2　 C.2　 D.4
【解析】选A.a+2b=(4,2+2x),则1×(2x+2)=4×x,
得x=1,b=(1,1),=.
2.已知两个非零向量a与b不共线.
(1)若ka+b与a+kb平行,求实数k的值;
(2)若a=(1,3),b=(x,1),c=a+2b且=5,求x.
【解析】(1)因为ka+b与a+kb平行,且a与b不共线,所以ka+b=λ(a+kb)=λa+λkb,
所以,解得k=±1.
(2)因为c=a+2b=(1,3)+2(x,1)=(1+2x,5),
所以==5,解得x=2或-3.
经检验,均满足a与b不共线,故x=2或-3.第二节　平面向量的基本定理及坐标表示
【课标解读】
【课程标准】
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 高考在本节以考查基础题为主,考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 平面向量基本定理及其应用及坐标表示和运算仍是考查的热点,题型仍将是选择题或填空题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.平面向量基本定理
条件 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
基底 若e1,e2不共线,把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
微点拨基底{e1,e2}必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底.若基底给定,则同一向量的分解形式唯一.
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的加法、减法、数乘及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)两点间的向量坐标公式
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.
(3)单位向量
a=(x,y),同向单位向量为,反向单位向量为.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b a=λb(λ∈R) x1y2=x2y1.
微点拨只有x2y2≠0时,a∥b才与=等价.
常用结论
1.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为(,);已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为(,).
2.如果对于一个基底,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2.特别地,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,{,}可以作为基底.(　 　)
(2)平面向量无论经过怎样的平移变换其坐标都不变.(　 　)
(3)设a,b是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(　 　)
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.(　 　)
2.(必修第二册P31例7·变条件)已知a=(4,2),b=(3,y),且a∥b,则y的值为(　　)
A.　 B.　 C.6　 D.
3.(2023·上海高考)已知向量a=(3,4),b=(1,2),则a-2b=　　　　　　.
4.(忽视共线包括两种情况致误)已知A(-3,4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为　　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一平面向量基本定理及其应用
[例1](1)(多选题)如图,正方形ABCD中,E为AB中点,M为线段AD上的动点,若=λ+μ,则λ+μ的值可以是(　　)
A.　 B.　 C.1　 D.2
(2)如图,以向量=a,=b为邻边作平行四边形OADB,=,=,则=　　　　.(用a,b表示)
解题技法
应用平面向量基本定理的关键
(1)合理选择基底,注意基底必须是两个不共线的向量.
(2)选定基底后,通过构造平行四边形(或三角形),利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用基底表示出来.
(3)注意几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.
提醒:同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的.
对点训练
1.(多选题)如图,在△ABC中,=,E是线段BC上的点,且满足=2,线段CD与线段AE交于点F,则下列结论正确的是(　　)
A.=+　 B.3DF=2CF
C.=+　 D.4=3
2.(2023·北京模拟)已知三角形ABC中,D为BC的中点,E为AB上一点,若=λ+3λ(0<λ<1),那么=　　　　　　.
【加练备选】
1.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)
A.若=+,则点M是边BC的中点
B.若=2-,则点M是边BC的三等分点
C.若=--,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
2.(多选题)(2023·景德镇模拟)在平行四边形ABCD中,点E为边CD的中点,点F为边BC上靠近点B的三等分点,连接AF,BE交于点M,连接AC,点N为AC上靠近点C的三等分点,记=a,=b,则下列说法正确的是(　　)
A.点M,N,E三点共线
B.若=λa+μb,则λ+μ=
C.=
D.S△ABM=S,S为平行四边形ABCD的面积
考点二平面向量的坐标运算
[例2](1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c=(　　)
A. (,)　 B. (-,-)
C. (,)　 D. (-,-)
(2)已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),则λ+μ=(　　)
A.-1　 B.0　 C.1　 D.25
(3)如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点B,C,D的坐标分别是(-1,3),(3,4),(2,2),
则向量=　　　　;顶点A的坐标为　　　　.
解题技法
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.
对点训练
1.已知点A(-1,2),B(3,1),向量=(2,1),则向量=(　　)
A.(-2,2)　 B.(-1,0)
C.(3,-1)　 D.(4,-1)
2.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基底{a,b}表示c,则(　　)
A.c=2a-3b B.c=-2a-3b
C.c=-3a+2b D.c=3a-2b
考点三 平面向量共线的坐标表示
考情提示
向量共线的坐标表示在向量部分是一个非常重要的知识点,它为解决向量共线或三点共线问题提供了一种便捷的方法.可单独考查,也常与数量积、三角函数等结合考查.
角度1　利用向量共线求向量或点的坐标
[例3](1)已知点A(1,2),B(-2,6),则与向量方向相反的单位向量为(　　)
A. (-,)　 B. (,-)
C. (-,)　 D. (,-)
(2)已知两点A(3,-4),B(-9,2),点P在直线AB上,且=,则点P的坐标为　　　　　.
角度2　利用向量共线求参数
[例4](1)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k=　　　　　.
(2)(一题多法)已知向量a=(1,-2),b=(3,4),若(3a-b)∥(a+kb),则k=　　　　　.
解题技法
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)利用两向量共线求参数时,如果已知两向量共线,求某些参数的取值,则利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标,一般地,求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
对点训练
1.(2023·曲靖模拟)已知向量a=(2,2),b=(1,x),若b∥(a+2b),则=(　　)
A.　 B.2　 C.2　 D.4
2.已知两个非零向量a与b不共线.
(1)若ka+b与a+kb平行,求实数k的值;
(2)若a=(1,3),b=(x,1),c=a+2b且=5,求x.

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