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第六节　复数
【课标解读】
【课程标准】
1.通过方程的解,认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
【核心素养】
数学运算、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考对复数的考查相对稳定,为每年必考题型.复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点,以选择题的形式考查.
预测 2025年高考仍会考查复数运算,题型、位置不变.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.复数的有关概念
(1)复数的定义
把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.实部是a,虚部是b.
(2)复数的分类
复数z=a+bi(a,b∈R)
(3)复数相等
a+bi=c+di a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
(4)共轭复数
a+bi与c+di互为共轭复数 a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).
(5)复数的模
向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).
微点拨
(1)虚数不能比较大小;
(2)复数集包含实数集与虚数集.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量(O为坐标原点).
微点拨
(1)复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.
3.复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
④除法:===+i(c+di≠0).
常用结论
1.i的乘方具有周期性
=1,=i,=-1,=-i,
+++=0,n∈N*.
2.(1±i)2=±2i;=i;=-i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·=|z|2=||2.
4.复数z的方程在复平面内表示的图形
(1)a≤|z|≤b(a≠b且a,b>0)表示以原点O为圆心,a和b为半径的两圆所夹的圆环.
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)方程x2+x+1=0没有解.(　　)
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(　　)
(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小,如4+3i>3+3i,3+4i>3+3i等.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(　　)
(5)复数z=-1+2i的共轭复数对应点在第四象限.(　　)
提示:(1)方程x2+x+1=0在复数范围内有解.
提示: (2)虚部为b.
提示: (3)虚数不可以比较大小.
提示: (5)复数z=-1+2i的共轭复数是=-1-2i,对应点在第三象限.
答案:(1)×　(2)×　(3) ×　(4)√　(5)×
2.(虚部概念掌握不清致误)复数z=的虚部是(　　)
A.-　 B.-i　 C.-　 D.-i
【解析】选C.z====-,
故z=的虚部为-.
3.(必修第二册P69例1·变条件)若a∈R,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则(　　)
A.a≠2且a≠-1　 B.a=0
C.a=2　 D.a=0或a=2
【解析】选B.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则解得a=0.
4.(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(　　)
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
【解析】选A.因为a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,
所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1.
【核心考点·分类突破】
考点一复数的有关概念
1.如果复数(b∈R)的实部与虚部相等,那么b=(　　)
A.-2 B.1 C.2 D.4
【解析】选A.==b-2i,所以实部为b,虚部为-2,故b的值为-2.
2.(多选题)若复数z=,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为-1 B.|z|=
C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为-1-i
【解析】选ABC.z====1-i.对于A,z的虚部为-1,正确;
对于B,|z|=,正确;
对于C,因为z2=(1-i)2=-2i,故z2为纯虚数,正确;
对于D,z的共轭复数为1+i,错误.
3.(2023·全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选C.因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,
所以,解得a=1.
4.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则(　　)
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
【解析】选A.=1+2i,
z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i,
由z+a+b=0,得,即.
5.若复数z=+m 为纯虚数,则= 　　　　.
【解析】由题可知z=22+-12i+m=m-5-12i 为纯虚数,所以m=5 ,故=
==.
答案:
解题技法
解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.
(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R b=0(a,b∈R);②z∈R z=;③z∈R z2≥0.
(3)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数 z+=0(z≠0);③z是纯虚数 z2<0.
(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为=a-bi,则z·=|z|2=||2,即|z|=||=,若z∈R,则=z.
考点二复数的四则运算
[例1](1)(2023·石家庄模拟)(1+i3)(2-i)=(　　)
A.3-i　 B.3+i
C.1-3i　 D.1+3i
【解析】选C.(1+i3)(2-i)=(1-i)(2-i)=2-i-2i-1=1-3i.
(2)(2023·全国乙卷) 设z=,则=(　　)
A.1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i
【解析】选B.由题意可得z=====1-2i,
则=1+2i.
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=,则z-=(　　)
A.-i B.i C.0 D.1
【解析】选A.因为z====-i,所以=i,z-=-i-i=-i.
(4)(2023·全国乙卷)|2+i2+2i3|=(　　)
A.1 B. 2 C. D. 5
【解析】选C.由题意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,
则|2+i2+2i3|=|1-2i|==.
(5)(2022·北京高考)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=(　　)
A.1 B.5 C.7 D.25
【解析】选B.由已知,得z==-4-3i,
所以|z|=5.
解题技法
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法类似于多项式的运算(注意:i2=-1),可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.
对点训练
1.(2022·全国甲卷)若z=-1+i,则=(　　)
A.-1+i B.-1-i
C.-+i D.--i
【解析】选C.因为z=-1+i,
所以z·=|z|2=()2=4,
则==-+i.
2.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选D.由题设有1-z===-i,
故z=1+i,故z+=(1+i)+(1-i)=2.
3.(一题多法)(2023·忻州模拟)若复数z=(1+i)(1+3i),则|z|=(　　)
A.2　 B.4　 C.20　 D.32
【解析】选A.方法一:由题意可得z=(1+i)(1+3i)=1+3i+i+3i2=-2+4i,
则|z|==2.
方法二:|z|=|1+i||1+3i|=×=2.
4.已知a,b∈R,a+i与3+bi互为共轭复数,则|a-bi|=(　　)
A.2　 B.3　 C.　 D.4
【解析】选C.因为a+i与3+bi互为共轭复数,所以a=3,b=-1,所以|a-bi|=|3+i|=.
【加练备选】
　　1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)=(　　)
A.-2+4i B.-2-4i
C.6+2i D.6-2i
【解析】选D.(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i.
2.(2022·全国甲卷)若z=1+i.则|iz+3|=(　　)
A.4 B.4 C.2 D.2
【解析】选D.因为z=1+i,
所以iz+3=i+3=2-2i,
所以==2.
考点三复数的几何意义
[例2](1)复平面内,复数z=i(2+i)的共轭复数对应的点位于(　　)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
【解析】选C.复数z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,
复数z的共轭复数为=-1-2i,对应的点为(-1,-2),在第三象限.
(2)(2023·唐山模拟)已知复平面内,复数z=对应的点(x,y)满足x+y=0,则实数a=(　　)
A.-1　 B.0　 C.1　 D.2
【解析】选B.由z===,
复数z对应的点(,)满足x+y=0,
则+=0,解得a=0.
(3)(2023·景德镇模拟)已知i为虚数单位,且|z-2i|=1,则|z|的最大值是　　　　　 .
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),
由|z-2i|=1的几何意义知:z对应的点(a,b)的轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆,
即a2+(b-2)2=1,
因为|z|的几何意义为点(a,b)到坐标原点(0,0)的距离,
所以|z|max=+1=3.
答案:3
解题技法
复数几何意义的解题策略
(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.
(2)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解:①|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离;
②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
对点训练
1.(2023·北京高考)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),则z的共轭复数=(　　)
A.1+i　 B.1-i
C.-1+i　 D.-1-i
【解析】选D.因为在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),所以z=-1+i,则z的共轭复数=-1-i.
2.若i为虚数单位,复数z满足|z|≤1,则|z-(1+i)|的最大值为(　　)
A.-1 B.
C.+1 D.2
【解析】选C.设z=x+yi,x,y∈R,
则x2+y2≤1,表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆上和圆内的点,
|z-(1+i)|=|x-1+(y-1)i|=,表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆上和圆内的点到点(1,1)的距离,故|z-(1+i)|的最大值为+1=+1.
考点四复数与方程
[例3]已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于(　　)
A.2-2i　 B.2+2i
C.-2+2i　 D.-2-2i
【解析】选A.由b是方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)的实根可得b2+(4+i)b+4+ai=0,
整理可得:(b+a)i+(b2+4b+4)=0,
所以,解得,
所以z=2-2i.
解题技法
复数与方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说,求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化,仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程来说,判别式判断根的功能失去了,其他仍适用.
对点训练
(多选题)若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有两个不等复数根x1和x2,其中x1=-+i(i是虚数单位),则下面四个选项正确的有(　　)
A.m=1　 B.x1>x2
C.=1　 D.=
【解析】选ACD.由题可知,x1+x2=-1,所以x2=--i,m=x1x2=(-+i)(--i)=1,故A正确;
x1,x2均为虚数,不能比较大小,故B错误;
==1,故C正确;
==-+i=,故D正确.
　课堂巩固,阶段测评,请使用　“核心素养测评　三十五”“阶段滚动检测(二)”第六节　复数
【课标解读】
【课程标准】
1.通过方程的解,认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
【核心素养】
数学运算、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 高考对复数的考查相对稳定,为每年必考题型.复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点,以选择题的形式考查.
预测 2025年高考仍会考查复数运算,题型、位置不变.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.复数的有关概念
(1)复数的定义
把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.实部是a,虚部是b.
(2)复数的分类
复数z=a+bi(a,b∈R)
(3)复数相等
a+bi=c+di a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
(4)共轭复数
a+bi与c+di互为共轭复数 a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).
(5)复数的模
向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).
微点拨
(1)虚数不能比较大小;
(2)复数集包含实数集与虚数集.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量(O为坐标原点).
微点拨
(1)复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.
3.复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
④除法:===+i(c+di≠0).
常用结论
1.i的乘方具有周期性
=1,=i,=-1,=-i,
+++=0,n∈N*.
2.(1±i)2=±2i;=i;=-i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·=|z|2=||2.
4.复数z的方程在复平面内表示的图形
(1)a≤|z|≤b(a≠b且a,b>0)表示以原点O为圆心,a和b为半径的两圆所夹的圆环.
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)方程x2+x+1=0没有解.(　　)
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(　　)
(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小,如4+3i>3+3i,3+4i>3+3i等.(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(　　)
(5)复数z=-1+2i的共轭复数对应点在第四象限.(　　)
2.(虚部概念掌握不清致误)复数z=的虚部是(　　)
A.-　 B.-i　 C.-　 D.-i
3.(必修第二册P69例1·变条件)若a∈R,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则(　　)
A.a≠2且a≠-1　 B.a=0
C.a=2　 D.a=0或a=2
4.(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(　　)
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
【核心考点·分类突破】
考点一复数的有关概念
1.如果复数(b∈R)的实部与虚部相等,那么b=(　　)
A.-2 B.1 C.2 D.4
2.(多选题)若复数z=,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为-1 B.|z|=
C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为-1-i
3.(2023·全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则(　　)
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
5.若复数z=+m 为纯虚数,则= 　　　　.
解题技法
解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.
(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R b=0(a,b∈R);②z∈R z=;③z∈R z2≥0.
(3)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数 z+=0(z≠0);③z是纯虚数 z2<0.
(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为=a-bi,则z·=|z|2=||2,即|z|=||=,若z∈R,则=z.
考点二复数的四则运算
[例1](1)(2023·石家庄模拟)(1+i3)(2-i)=(　　)
A.3-i　 B.3+i
C.1-3i　 D.1+3i
(2)(2023·全国乙卷) 设z=,则=(　　)
A.1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=,则z-=(　　)
A.-i B.i C.0 D.1
(4)(2023·全国乙卷)|2+i2+2i3|=(　　)
A.1 B. 2 C. D. 5
(5)(2022·北京高考)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=(　　)
A.1 B.5 C.7 D.25
解题技法
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法类似于多项式的运算(注意:i2=-1),可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.
对点训练
1.(2022·全国甲卷)若z=-1+i,则=(　　)
A.-1+i B.-1-i
C.-+i D.--i
2.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.(一题多法)(2023·忻州模拟)若复数z=(1+i)(1+3i),则|z|=(　　)
A.2　 B.4　 C.20　 D.32
4.已知a,b∈R,a+i与3+bi互为共轭复数,则|a-bi|=(　　)
A.2　 B.3　 C.　 D.4
【加练备选】
　　1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)=(　　)
A.-2+4i B.-2-4i
C.6+2i D.6-2i
2.(2022·全国甲卷)若z=1+i.则|iz+3|=(　　)
A.4 B.4 C.2 D.2
考点三复数的几何意义
[例2](1)复平面内,复数z=i(2+i)的共轭复数对应的点位于(　　)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
(2)(2023·唐山模拟)已知复平面内,复数z=对应的点(x,y)满足x+y=0,则实数a=(　　)
A.-1　 B.0　 C.1　 D.2
(3)(2023·景德镇模拟)已知i为虚数单位,且|z-2i|=1,则|z|的最大值是　　　　　 .
解题技法
复数几何意义的解题策略
(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.
(2)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解:①|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离;
②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
对点训练
1.(2023·北京高考)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),则z的共轭复数=(　　)
A.1+i　 B.1-i
C.-1+i　 D.-1-i
2.若i为虚数单位,复数z满足|z|≤1,则|z-(1+i)|的最大值为(　　)
A.-1 B.
C.+1 D.2
考点四复数与方程
[例3]已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于(　　)
A.2-2i　 B.2+2i
C.-2+2i　 D.-2-2i
解题技法
复数与方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说,求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化,仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程来说,判别式判断根的功能失去了,其他仍适用.
对点训练
(多选题)若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有两个不等复数根x1和x2,其中x1=-+i(i是虚数单位),则下面四个选项正确的有(　　)
A.m=1　 B.x1>x2
C.=1　 D.=

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