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第三节　平面向量的数量积
【课标解读】
【课程标准】
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
【核心素养】
数学抽象、直观想象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题,如证明垂直、求夹角、模等是每年必考的内容,单独命题时,一般以选择题、填空题形式出现.交汇命题时,向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查.
预测 平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填空题的形式出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.向量的夹角
定义 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB叫做a与b的夹角
范围 设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是0≤θ≤π
共线与垂直 θ=0或θ=π a∥b,θ= a⊥b
微点拨确定两个非零向量a和b的夹角,必须将两个向量平移至同一起点.
2.平面向量的数量积
条件 两个非零向量a与b的夹角为θ
结论 数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法 记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ
规定 零向量与任一向量的数量积为0
3.投影向量
条 件 设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,=a,=b
作 图 过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到
结 论 我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e
4.向量数量积的运算律
交换律 a·b=b·a
分配律 (a+b)·c=a·c+b·c
数乘结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
微点拨(1)数量积不满足消去律,即a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c;
(2)数量积不满足乘法结合律,即一般情况下,(a·b)·c≠a·(b·c).
5.平面向量数量积的坐标运算
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
结论 符号表示 坐标表示
模 |a|= |a|=
夹角 cos θ= cos θ=
a⊥b的 充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0
|a·b|与 |a||b|的 关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤
常用结论
1.两个向量a,b的夹角为锐角 a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角 a·b<0且a,b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
3.向量a在b上的投影向量为·,向量a在b上的投影向量的模为.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　 ×　)
提示:(1)两个向量夹角的范围是[0,π].
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(　 √　)
(3)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.(　 ×　)
提示: (3)由a·b=a·c(a≠0)得|a||b|·cos=|a||c|·cos,所以向量b和c不一定相等.
(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos θ).(　 √　)
2.(必修第二册P36练习T1·变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且=3,则t=(　　)
A.　 B.　 C.±　 D.±
【解析】选C.由向量a=(-1,t-1),b=(3,2),可得2a+b=(1,2t),因为=3,
可得=3,解得t2=2,所以t=±.
3.(2023·上海高考)已知向量a=(-2,3),b=(1,2),则a·b=　　　　　.
【解析】因为向量a=(-2,3),b=(1,2),
所以a·b=-2×1+3×2=4.
答案:4
4.(向量夹角的概念不清致误)在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,则·=　　　　.
【解析】在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,
则·=||||cos (180°-60°)=6×5×(-)=-15.
答案:-15
【核心考点·分类突破】
考点一平面向量的数量积的运算
[例1](1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·=(　　)
A.　 B.3　 C.2　 D.5
【解析】选B.正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,所以·=-1,⊥,⊥,
·=2×2=4,
则·=(+)·(+)=·+·+·+·=-1+0+0+4=3.
(2)(2023·福州模拟)四边形ABCD为平行四边形,=6,=3.若点M,N满足=2,=,则·=(　　)
A.20　 B.16　 C.9　 D.6
【解析】选B.因为=2,=,
所以=+=+,=-=-+,
所以·=(+)·(-+)=-=×36-×9=16.
(3)(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　　.
【解析】由题意可得a·b=1×3×=1,b2=9,
则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11.
答案:11
解题技法
解决向量数量积的运算问题的三种方法
(1)当已知向量的长度和夹角时,直接利用定义法求解;若不知长度和夹角,选择知道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
对点训练
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选C.因为|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2,
|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,所以9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,所以a·b=1.
2.(2022·上海高考)若平面向量|a|=|b|=|c|=λ,且满足a·b=0,a·c=2,b·c=1,则λ=　　　　　.
【解析】由题意,有a·b=0,则a⊥b,设=θ,

则得,tan θ=,
由同角三角函数的基本关系得cos θ=,
则a·c=|a||c|cos θ=λ·λ·=2,λ2=,
则λ=.
答案:
【加练备选】
　　　已知点O是△ABC内部的一点,且满足++=0,AC=,·=-1,则·的值为(　　)
A.　 B.　 C.2　 D.1
【解析】选A.记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由题意++=0,+=-=,
设D是线段AC的中点,则2=,
所以B,O,D三点共线,且O为△ABC的重心,
所以==×(+)=(+),所以·=(-)·(+)=(a2-c2),
又由·=bccos A=-1,
可得bc·=-1 a2-c2=5,
所以·=.
考点二投影向量
[例2](1)已知|a|=3,|b|=1,向量a与向量b的夹角为120°, 则①向量a在向量b上的投影向量为　　　　　;②向量b在向量a上的投影向量为　　　　　.
【解析】①因为|b|=1,所以b为单位向量.
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·=3×(-)·b=-b.
②因为|a|=3,所以=a,
所以向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°·=1×(-)·a=-a.
答案:①-b　②-a
(2)(2023·常州模拟)已知平面向量a,b,满足=2,b=(1,1),=,则a在b方向上的投影向量的坐标为　　　　　.
【解析】由=2,=,且=,
平方得+2a·b+=4+2a·b+2=10,解得a·b=2,
所以a在b方向上的投影向量为·=·b=·b=b=(1,1).
答案:(1,1)
解题技法
投影向量的求法
方法一:用几何法作出恰当的垂线,直接得到投影向量.
方法二:利用公式.向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos·.
对点训练
1.已知|a|=12,|b|=8,a·b=24,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　.
【解析】设a,b的夹角为θ,因为a·b=|a||b|cos θ,
所以cos θ===,
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·=12××b=b.
答案:b
2.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8),=5,且b与向量(1,0)的夹角是钝角.则b在向量(1,0)上的投影向量为(　　)
A.(-3,0)　 B.(-4,0) C.(0,3)　 D.(0,-4)
【解析】选B.设b=(x,y),因为a=(6,-8),a⊥b,
所以6x-8y=0,即3x=4y①.
又=5,所以x2+y2=25②,
由①②解得或,
设c=(1,0),因为b与向量c的夹角是钝角,
所以b·c=x<0,所以b=(-4,-3).
则b在向量c上的投影向量为·=-4·(1,0)=(-4,0).
考点三平面向量数量积的应用
【考情提示】
高考对数量积的考查主要从模、夹角、垂直等角度出发,常以选择题、填空题的形式出现.
角度1　求平面向量的模
[例3](1)(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【命题意图】考查向量的模、向量坐标形式的运算.
【解析】选D.因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|==5.
(2)已知向量a,b,c满足a+b与c互为相反向量,=2,=1,a·c=1,则=(　　)
A.2　 B.7　 C.　 D.
【解析】选D.由a+b与c互为相反向量,
得c=-(a+b),两边平方得,=++2a·b=1,
即+2a·b=-3,①
又由a·c=1,在c=-(a+b)两边同时点乘向量a,
得a·c=--a·b=1,即a·b=-5,②
联立①②,解得=7,所以=.
(3)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　　　　　.
【解析】因为|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,
所以a2+b2-2a·b=3,a2+b2+2a·b=4a2+b2-4a·b,
所以a2=2a·b,所以b2=3,所以|b|=.
答案:
解题技法
求平面向量模的两种方法
(1)公式法:利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量模的运算转化为数量积的运算.
(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.
角度2　求平面向量的夹角
[例4](1)(2023·全国甲卷)向量|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos=(　　)
A.-　 B.-　 C.　 D.
【解析】选D.因为向量|a|=|b|=1,|c|=,
且a+b+c=0,所以-c=a+b,
所以c2=a2+b2+2a·b,
即2=1+1+2×1×1×cos,
解得cos=0,所以a⊥b.
又a-c=2a+b,b-c=a+2b,
所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+2b2+5a·b=2+2+0=4,
|a-c|=|b-c|===,
所以cos===.
(2)已知向量a与a+b的夹角为60°,且=8,=7,则a与b夹角的余弦值为　　　　　.
【解析】设向量a与b的夹角为θ,由=8,=7,
可得a·(a+b)=a2+a·b=64+8×7cos θ=64+56cos θ,
且===.
又因为向量a与a+b的夹角为60°,
可得cos 60°==,
即=,
可得16+14cos θ=,
解得cos θ=-或cos θ=-,
即a与b夹角的余弦值为-或-.
答案:-或-
(3)金榜原创·易错对对碰
①设a=(-3,m),b=(4,3),若a与b的夹角是钝角,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.
【解析】①由a与b的夹角是钝角,
则a·b=(-3,m)·(4,3)=-12+3m<0,
解得m<4,
又a与b的夹角不等于180°,
则a与b不平行,即-9≠4m,解得m≠-,
所以实数m的取值范围是m<4且m≠-.
答案: (-∞,-)∪(-,4)
②已知向量a=(2,0),b=(1,4).若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,则k的取值范围为　　　　　　　　.
【解析】②ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8),
因为向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,
所以4×(2k+1)+4×8>0且8×(2k+1)≠4×4,
解得k>-且k≠,
所以k的取值范围是(-,)∪(,+∞).
答案: (-,)∪(,+∞)
解题技法
求平面向量夹角的两种方法
定义法 由cos θ=,θ∈[0,π]
坐标法 若a=(x1,y1)与b=(x2,y2), 则cos =, ∈[0,π]
角度3　平面向量的垂直问题
[例5](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　)
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1
【解析】选D.由题意得a+λb=(1+λ,1-λ),
a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),
所以(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.
(2)(2022·全国甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=　　　　　.
【解析】因为向量a=(m,3),b=(1,m+1),a⊥b,
所以a·b=m+3(m+1)=0,则m=-.
答案:-
解题技法
平面向量垂直问题的解法
(1)坐标法:a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0.
(2)向量法:把a,b用已知(模与夹角)的基底向量表示,进行运算证明a·b=0.
对点训练
1.(2023·济南模拟)若向量a,b满足=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则=(　　)
A.2　　 B.　 C.1　 D.
【解析】选B.因为(a+b)⊥a,=1,故(a+b)·a=0,即a2+a·b=0,a·b=-a2=-=-1.
又(2a+b)⊥b,故(2a+b)·b=2a·b+b2=-2+b2=0,故b2=2,故=.
2.已知平面向量a,b的夹角为120°,且|a|=3,|b|=2.
(1)求(2a+b)·(a-2b);
【解析】(1)由a,b的夹角为120°,|a|=3,|b|=2,则a·b=|a||b|cos 120°=3×2×(-)=-3,
故(2a+b)·(a-2b)=2a2-3a·b-2b2=2×9-3×(-3)-2×4=19;
(2)若a+b与a-kb垂直,求实数k的值.
【解析】(2)由a+b与a-kb垂直,
则(a+b)·(a-kb)=0,
故a2-kb2+(1-k)a·b=0,
可得9-4k-3(1-k)=0,解得k=6.
3.(2023·芜湖模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠DAB=,点E是AB的中点,连接DE,AC,记它们的交点为点G,设=a,=b.
(1)用a,b表示;
【解析】(1)不难得出△AGE,△DGC是一对相似三角形,且=,故=,即AG=AC,
根据向量的加法法则,得==(a+b);
(2)求<,>的余弦值.
【解析】(2)由a·b=4×2×=4,=4,=2,
于是=(a+b)2=a2+b2+2a·b=16+4+8=28,
所以=2.
又·=a2+a·b=20,
所以cos<,>=cos<,>===.第三节　平面向量的数量积
【课标解读】
【课程标准】
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
【核心素养】
数学抽象、直观想象、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题,如证明垂直、求夹角、模等是每年必考的内容,单独命题时,一般以选择题、填空题形式出现.交汇命题时,向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查.
预测 平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填空题的形式出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.向量的夹角
定义 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB叫做a与b的夹角
范围 设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是0≤θ≤π
共线与垂直 θ=0或θ=π a∥b,θ= a⊥b
微点拨确定两个非零向量a和b的夹角,必须将两个向量平移至同一起点.
2.平面向量的数量积
条件 两个非零向量a与b的夹角为θ
结论 数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法 记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ
规定 零向量与任一向量的数量积为0
3.投影向量
条 件 设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,=a,=b
作 图 过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到
结 论 我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e
4.向量数量积的运算律
交换律 a·b=b·a
分配律 (a+b)·c=a·c+b·c
数乘结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
微点拨(1)数量积不满足消去律,即a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c;
(2)数量积不满足乘法结合律,即一般情况下,(a·b)·c≠a·(b·c).
5.平面向量数量积的坐标运算
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
结论 符号表示 坐标表示
模 |a|= |a|=
夹角 cos θ= cos θ=
a⊥b的 充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0
|a·b|与 |a||b|的 关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤
常用结论
1.两个向量a,b的夹角为锐角 a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角 a·b<0且a,b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
3.向量a在b上的投影向量为·,向量a在b上的投影向量的模为.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　 　)
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(　 　)
(3)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.(　 　)
(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos θ).(　 　)
2.(必修第二册P36练习T1·变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且=3,则t=(　　)
A.　 B.　 C.±　 D.±
3.(2023·上海高考)已知向量a=(-2,3),b=(1,2),则a·b=　　　　　.
4.(向量夹角的概念不清致误)在△ABC中,∠B=60°,AB=6,BC=5,则·=　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一平面向量的数量积的运算
[例1](1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·=(　　)
A.　 B.3　 C.2　 D.5
(2)(2023·福州模拟)四边形ABCD为平行四边形,=6,=3.若点M,N满足=2,=,则·=(　　)
A.20　 B.16　 C.9　 D.6
【
(3)(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　　.
解题技法
解决向量数量积的运算问题的三种方法
(1)当已知向量的长度和夹角时,直接利用定义法求解;若不知长度和夹角,选择知道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
对点训练
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2022·上海高考)若平面向量|a|=|b|=|c|=λ,且满足a·b=0,a·c=2,b·c=1,则λ=　　　　　.
【加练备选】
　　　已知点O是△ABC内部的一点,且满足++=0,AC=,·=-1,则·的值为(　　)
A.　 B.　 C.2　 D.1
考点二投影向量
[例2](1)已知|a|=3,|b|=1,向量a与向量b的夹角为120°, 则①向量a在向量b上的投影向量为　　　　　;②向量b在向量a上的投影向量为　　　　　.
(2)(2023·常州模拟)已知平面向量a,b,满足=2,b=(1,1),=,则a在b方向上的投影向量的坐标为　　　　　.
解题技法
投影向量的求法
方法一:用几何法作出恰当的垂线,直接得到投影向量.
方法二:利用公式.向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos·.
对点训练
1.已知|a|=12,|b|=8,a·b=24,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　.
2.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8),=5,且b与向量(1,0)的夹角是钝角.则b在向量(1,0)上的投影向量为(　　)
A.(-3,0)　 B.(-4,0) C.(0,3)　 D.(0,-4)
考点三平面向量数量积的应用
【考情提示】
高考对数量积的考查主要从模、夹角、垂直等角度出发,常以选择题、填空题的形式出现.
角度1　求平面向量的模
[例3](1)(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【命题意图】考查向量的模、向量坐标形式的运算.
(2)已知向量a,b,c满足a+b与c互为相反向量,=2,=1,a·c=1,则=(　　)
A.2　 B.7　 C.　 D.
(3)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　　　　　.
解题技法
求平面向量模的两种方法
(1)公式法:利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量模的运算转化为数量积的运算.
(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.
角度2　求平面向量的夹角
[例4](1)(2023·全国甲卷)向量|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos=(　　)
A.-　 B.-　 C.　 D.
(2)已知向量a与a+b的夹角为60°,且=8,=7,则a与b夹角的余弦值为　　　　　.
(3)易错对对碰
①设a=(-3,m),b=(4,3),若a与b的夹角是钝角,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.
②已知向量a=(2,0),b=(1,4).若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,则k的取值范围为　　　　　　　　.
解题技法
求平面向量夹角的两种方法
定义法 由cos θ=,θ∈[0,π]
坐标法 若a=(x1,y1)与b=(x2,y2), 则cos =, ∈[0,π]
角度3　平面向量的垂直问题
[例5](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　)
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1
(2)(2022·全国甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=　　　　　.
解题技法
平面向量垂直问题的解法
(1)坐标法:a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,若要证明a⊥b,则只需证明a·b=0,即证明x1x2+y1y2=0.
(2)向量法:把a,b用已知(模与夹角)的基底向量表示,进行运算证明a·b=0.
对点训练
1.(2023·济南模拟)若向量a,b满足=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则=(　　)
A.2　　 B.　 C.1　 D.
2.已知平面向量a,b的夹角为120°,且|a|=3,|b|=2.
(1)求(2a+b)·(a-2b);
(2)若a+b与a-kb垂直,求实数k的值.
3.(2023·芜湖模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠DAB=,点E是AB的中点,连接DE,AC,记它们的交点为点G,设=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)求<,>的余弦值.

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