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第四节　平面向量的应用
【核心考点·分类突破】
考点一平面向量在几何中的应用
[例1](1)(2023·漳州模拟)已知P为△ABC所在平面内一点,+2+2=0,=4,==3,则△ABC的面积等于(　　)
A.4　 B.8　 C.4　 D.8
【解析】选D.因为==3,所以P位于线段BC的垂直平分线上,设线段BC的中点为D,
由+2+2=0得,=-2(+)=-4=4,
所以AB⊥BC,=1,如图所示,
所以BC=2BD=2=4,所以S△ABC=BC·AB=×4×4=8.
(2)在△ABC中,AC=9,∠A=60°,D点满足=2,AD=,则BC的长为(　　)
A.3 B.3 C.3 D.6
【解析】选A.因为=2,
所以=+
=+
=+(-)
=+,
设AB=x,则=(+)2,
得37=x2+×x×9cos 60°+×92,
即2x2+9x-126=0,
因为x>0,故解得x=6,即AB=6,
所以||=|-|
=
==3.
(3)在△ABC中,已知(+)·=0,且·=,则△ABC为(　　)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.三边均不相等的三角形
【解析】选A.,分别表示,方向上的单位向量,
+在∠A的平分线上,
因为(+)·=0,所以||=||,
又·=,所以cos<,>=·=,
则与的夹角为60°,即∠BAC=60°,
可得△ABC是等边三角形.
解题技法
用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.
对点训练
1.P为△ABC内一点,满足++2=0,则△PAB和△ABC的面积比为　　　　　.
【解析】如图,取AB的中点D,连接PA,PB,PC,PD,
则+=2,又由题意++2=0,所以2+2=0,
故C,D,P三点共线,且满足=,所以P为CD的中点,
从而S△PAB∶S△ABC=1∶2.
答案:1∶2
2.如图,在△ABC中,cos∠BAC=,点D在线段BC上,且BD=3DC,AD=,则△ABC的面积的最大值为　　　　.
【解析】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为BD=3DC,所以=+,
又AD=,cos∠BAC=,
所以=(+)2=c2+b2+bccos∠BAC=c2+b2+bc,
又=c2+b2+bc=(c)2+(b)2+bc≥2×c×b+bc=bc,
当且仅当c=3b时,等号成立.
所以bc≤8,又sin∠BAC=,
所以S△ABC=bcsin∠BAC≤×8×=.
答案:
考点二平面向量的实际应用
[例2](1)渭河某处南北两岸平行,如图所示,某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=
6 km/h.设v1与v2的夹角为120°,北岸的点A'在码头A的正北方向,那么该游船航行到北岸的位置应(　　)
A.在A'东侧 B.在A'西侧
C.恰好与A'重合 D.无法确定
【解析】选A.建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意可得v1=(-5,5),v2=(6,0),
所以v1+v2=(1,5),
说明游船有x轴正方向的速度,即向东的速度,所以该游船航行到北岸的位置应在A'东侧.
(2)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知=1 N,=
2 N,F1与F3的夹角为60°,则F2的大小为(　　)
A.1 N　 B. N　 C. N　 D.3 N
【解析】选C.根据三力平衡得F1+F3+F2=0,即F1+F3=-F2,
两边同时平方得+2F1·F3+=,
即+2cos 60°+=,
即12+2×1×2×+22=7=,
解得= N.
(3)(2023·温州模拟)物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W=F·s(其中W是功,F是力,s是位移).一物体在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于(　　)
A.25　 B.5　 C.-5　 D.-25
【解析】选A.因为F1=(2,4),F2=(-5,3),所以F1+F2=(-3,7),又A(1,0),B(2,4),所以=(1,4),故W=(F1+F2)·=-3+7×4=25.
解题技法
平面向量对物理背景问题主要研究下面三类
1.求几个力的合力,可以用几何法通过解三角形求解,也可以用向量法求解.
2.如果一个物体在力F的作用下产生位移为s,那么力F所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F与s的夹角.由于力和位移都是向量,所以力所做的功就是力与位移的数量积.
3.速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用求向量和的平行四边形法则,求两个速度的合速度.
对点训练
1.(多选题)在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且=,F1与F2的夹角为θ.给出以下结论正确的是(　　)
A.θ越大越费力,θ越小越省力
B.θ的范围为[0,π]
C.当θ=时,=
D.当θ=时,=
【解析】选AD.对于B,当θ=π时,F1+F2=0,故无法提动行李包,故B错误;
对于A,根据题意,得=,
所以=++2cos θ=2(1+cos θ),
解得=,因为θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,所以θ越大越费力,θ越小越省力,故A正确;
对于C,因为=,所以当θ=时,=,所以=,故C错误;
对于D,因为=,所以当θ=时,=,所以=,故D正确.
2.某河流南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度的大小为=8 km/h,水流速度的大小为=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点B在A的正北方向,游船正好到达B处时,cos θ=(　　)
A.　 B.-　 C.　 D.-
【解析】选D.设游船的实际速度为v,则v=v1+v2,
北岸的点B在A的正北方向,游船正好到达B处,则v⊥v2,所以v·v2=0,
即(v1+v2)·v2=cos θ+=32cos θ+16=0,解得cos θ=-.
考点三平面向量与三角函数的综合
[例3](1)△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),
n=(a+c,sin B-sin A),若m∥n,则角B的大小为　　　　.
【解析】因为m∥n,
所以(a+b)(sin B-sin A)-sin C(a+c)=0,
由正弦定理有(a+b)(b-a)=c(a+c),
即a2+c2-b2=-ac,
再由余弦定理,得cos B=-,所以B=150°.
答案:150°
(2)(2023·天水模拟)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,-sin β),=.
①求cos(α+β)的值;
②若0<α<,-<β<0,且sin β=-,求sin α的值.
【解析】①根据题意可知==1,==1,
且a·b=cos αcos β-sin αsin β;
由=可得-2a·b+=,
即2-2(cos αcos β-sin αsin β)=,
可得cos(α+β)=.
②由-<β<0,且sin β=-,可得cos β=,
又cos β=>=cos(-),所以-<β<0,
因此-<α+β<,
由①得cos(α+β)=,所以0<α+β<,
因此sin(α+β)=,
所以sin α=sin=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=×-×(-)=.
解题技法
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.
(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.
(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系,避免出现将内角等同于向量夹角的错误.
对点训练
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B, cos A),m·n=sin 2C.
(1)求角C的大小;
【解析】(1)m·n=sin A·cos B+sin B·cos A=sin(A+B),
在△ABC中,A+B=π-C,0所以sin(A+B)=sin C,
所以m·n=sin C=sin 2C,所以cos C=.
又因为C∈(0,π),故C=.
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·(-)=18,求c.
【解析】(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得2c=a+b.
因为·(-)=18,所以·=18,
即abcos C=18,所以ab=36.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=4c2-3×36,所以c=6.
考点四和向量有关的最值(范围)问题
考情提示
平面向量主要解决与平面向量基本定理有关的最值、范围问题,数量积的最值、范围问题,模的最值、范围问题.高考题中选择题、填空题、解答题都有考查.
角度1　与平面向量基本定理有关的最值、范围问题
[例4](1)已知△ABC内一点O是其外心,sin A=(0【解析】如图所示,延长AO交BC于D,
令=λ ==+,
因为B,C,D三点共线,
所以+=1 m+n=λ,
所以λ取最大值时,m+n取最大值,则λ=,
因为为外接圆的半径(定值),
所以当取得最小值时,λ取得最大值,
此时AD⊥BC,
所以△ABC为等腰三角形,且sin ∠BAC=(0<∠BAC<),
所以cos ∠BAC=,则sin =,cos =,
tan =.
设∠BAC对的边为a,
则==,==,
所以(m+n)max=λmax==.
答案:
(2)如图,在△ABC中,=2,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设=m,=n,则+的最小值为　　　　.
【解析】因为=2,所以=,
所以=+=+
=+(-)=+,
又=m,=n,
所以=+,
因为M,O,N三点共线,所以+=1,
由图可知m>0,n>0,
所以+=(+) (+)=(3++)≥(3+2)=,
当且仅当=,即n=,m=3-3时取等号,所以+的最小值为.
答案:
角度2　与数量积有关的最值、范围问题
[例5](1)已知△ABC的三边长AC=3,BC=4,AB=5,P为AB边上任意一点,则·(-)的最大值为　　　　.
【解析】因为=+,-=,
所以·(-)=(+)·
=+·=9-·
=9-||||cos∠BAC
=9-3||cos∠BAC.
因为cos∠BAC为正且为定值,
所以当||最小,即||=0时,
·(-)取得最大值9.
答案:9
(2)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-,则实数λ的值为　　　　,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为　　　　　.
【解析】因为=λ,所以AD∥BC,
所以∠BAD=180°-∠B=120°,
所以·=λ·
=λ||·||cos 120°
=λ×6×3×(-)=-9λ=-,
解得λ=.
以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy,
因为BC=6,所以C(6,0),
因为AB=3,∠ABC=60°,
所以点A的坐标为(,),
因为=,
则D(,),
设M(x,0),则N(x+1,0)(其中0≤x≤5),
所以=(x-,-),=(x-,-),
·=(x-) (x-)+()2=x2-4x+=(x-2)2+,
所以当x=2时,·取得最小值,最小值为.
答案:　
角度3　与模有关的最值、范围问题
[例6](1)(2023·开封模拟)已知e1,e2为单位向量,=,非零向量a满足=1,则的最小值为(　　)
A.　 B.-1　 C.　 D.-1
【解析】选B.
由=得=3,
即+-2e1·e2=3,
则1+1-2×1×1×cos=3,
所以cos=-.
因为∈,所以=.
设e1=,e2=,2e2=,a=,如图,
则===1,
故点C在以点D为圆心,半径为1的圆上运动,
所以=≥-=-1,当A,D,C三点共线时取等号,
在△AOD中,∠AOD=,=1,=2,则==,
所以的最小值为-1.
(2)已知a,b是单位向量,a·b=0,且向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是(　　)
A.[-1,+1] B.[-1,]
C.[,+1] D.[2-,2+]
【解析】选A.a,b是单位向量,a·b=0,设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),|c-a-b|=|(x-1,y-1)|
==1,所以(x-1)2+(y-1)2=1,|c|表示以(1,1)为圆心,1为半径的圆上的点到原点的距离,故-1≤|c|≤+1,所以-1≤|c|≤+1.
解题技法
和向量有关的最值、范围问题的解题策略
1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
2.解题思路通常有两种:
一是“形化”,即利用平面向量的几何意义,先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;
二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题,然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.
对点训练
1.(2023·漳州模拟)已知平面向量a,b,其中=2,a,b的夹角是,若t为任意实数,则的最小值为(　　)
A.1　 B.　 C.　 D.2
【解析】选C.依题意,作=a,=b,使∠AOB=,如图,
显然对 t∈R,tb的终点的轨迹是线段OB确定的直线l,
于是|a+tb|=|a-(-tb)|为点A与直线l上的点的距离,过A作线段AD⊥l于D,
所以|a+tb|min=AD=||sin =.
2.如图,点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点,·=-,若=x+y,则x+y的最大值为(　　)
A.　 B.　 C.　 D.4
【解析】选B.因为==1,所以·=cos∠AOB=cos∠AOB=-,
所以∠AOB=.
以O为坐标原点,可建立如图所示平面直角坐标系,
则A(1,0),B(-,).设C(cos θ,sin θ),
θ∈[0,],
由=x+y得,,
所以,
所以x+y=cos θ+sin θ+sin θ=2sin θ+cos θ=sin(θ+φ),其中tan φ=,φ∈(0,).
因为θ∈[0,],φ∈(0,),所以当θ+φ=时,=.
3.(2023·扬州模拟)在△ABC中,AB=4,B=,A∈[,],则·的取值范围是　　　　.
【解析】设∠B的对边为b,
根据正弦定理得=,
即=,
所以b==,
·=||||cos A=4bcos A==.
因为A∈[,),所以tan A∈[,+∞),
所以tan A+∈[,+∞),
所以0<·≤12,
即·的取值范围为(0,12].
答案:(0,12]第四节　平面向量的应用
【核心考点·分类突破】
考点一平面向量在几何中的应用
[例1](1)(2023·漳州模拟)已知P为△ABC所在平面内一点,+2+2=0,=4,==3,则△ABC的面积等于(　　)
A.4　 B.8　 C.4　 D.8
(2)在△ABC中,AC=9,∠A=60°,D点满足=2,AD=,则BC的长为(　　)
A.3 B.3 C.3 D.6
(3)在△ABC中,已知(+)·=0,且·=,则△ABC为(　　)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.三边均不相等的三角形
解题技法
用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.
对点训练
1.P为△ABC内一点,满足++2=0,则△PAB和△ABC的面积比为　　　　　.
2.如图,在△ABC中,cos∠BAC=,点D在线段BC上,且BD=3DC,AD=,则△ABC的面积的最大值为　　　　.
考点二平面向量的实际应用
[例2](1)渭河某处南北两岸平行,如图所示,某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=
6 km/h.设v1与v2的夹角为120°,北岸的点A'在码头A的正北方向,那么该游船航行到北岸的位置应(　　)
A.在A'东侧 B.在A'西侧
C.恰好与A'重合 D.无法确定
(2)若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知=1 N,=
2 N,F1与F3的夹角为60°,则F2的大小为(　　)
A.1 N　 B. N　 C. N　 D.3 N
(3)(2023·温州模拟)物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W=F·s(其中W是功,F是力,s是位移).一物体在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于(　　)
A.25　 B.5　 C.-5　 D.-25
解题技法
平面向量对物理背景问题主要研究下面三类
1.求几个力的合力,可以用几何法通过解三角形求解,也可以用向量法求解.
2.如果一个物体在力F的作用下产生位移为s,那么力F所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F与s的夹角.由于力和位移都是向量,所以力所做的功就是力与位移的数量积.
3.速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用求向量和的平行四边形法则,求两个速度的合速度.
对点训练
1.(多选题)在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且=,F1与F2的夹角为θ.给出以下结论正确的是(　　)
A.θ越大越费力,θ越小越省力
B.θ的范围为[0,π]
C.当θ=时,=
D.当θ=时,=
2.某河流南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度的大小为=8 km/h,水流速度的大小为=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点B在A的正北方向,游船正好到达B处时,cos θ=(　　)
A.　 B.-　 C.　 D.-
考点三平面向量与三角函数的综合
[例3](1)△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),
n=(a+c,sin B-sin A),若m∥n,则角B的大小为　　　　.
(2)(2023·天水模拟)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,-sin β),=.
①求cos(α+β)的值;
②若0<α<,-<β<0,且sin β=-,求sin α的值.
解题技法
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.
(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.
(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系,避免出现将内角等同于向量夹角的错误.
对点训练
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B, cos A),m·n=sin 2C.
(1)求角C的大小;
考点四和向量有关的最值(范围)问题
考情提示
平面向量主要解决与平面向量基本定理有关的最值、范围问题,数量积的最值、范围问题,模的最值、范围问题.高考题中选择题、填空题、解答题都有考查.
角度1　与平面向量基本定理有关的最值、范围问题
[例4](1)已知△ABC内一点O是其外心,sin A=(0(2)如图,在△ABC中,=2,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设=m,=n,则+的最小值为　　　　.
角度2　与数量积有关的最值、范围问题
[例5](1)已知△ABC的三边长AC=3,BC=4,AB=5,P为AB边上任意一点,则·(-)的最大值为　　　　.
(2)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-,则实数λ的值为　　　　,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为　　　　　.
角度3　与模有关的最值、范围问题
[例6](1)(2023·开封模拟)已知e1,e2为单位向量,=,非零向量a满足=1,则的最小值为(　　)
A.　 B.-1　 C.　 D.-1
解题技法
和向量有关的最值、范围问题的解题策略
1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
2.解题思路通常有两种:
一是“形化”,即利用平面向量的几何意义,先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;
二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题,然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.
对点训练
1.(2023·漳州模拟)已知平面向量a,b,其中=2,a,b的夹角是,若t为任意实数,则的最小值为(　　)
A.1　 B.　 C.　 D.2
2.如图,点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点,·=-,若=x+y,则x+y的最大值为(　　)
A.　 B.　 C.　 D.4
3.(2023·扬州模拟)在△ABC中,AB=4,B=,A∈[,],则·的取值范围是　　　　.

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