资源简介

第五节　解三角形
第1课时　余弦定理、正弦定理
【课标解读】
【课程标准】
借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.
【核心素养】
数学建模、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 本节内容是新高考卷的必考内容,考查正、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用,同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查.
预测 预计高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,与三角函数的图象及性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.正弦定理
条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径
内容 ===2R
变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=.
微点拨已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.
2.余弦定理
条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c
内容 a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C
变形 cos A=; cos B=; cos C=
3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a= bsin A bsin A b a≤b
解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解
4.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A=.
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
常用结论
在△ABC中,常有以下结论:
(1)A+B+C=π.
(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(3)a>b A>B sin A>sin B,cos A(4) 三角形中的三角函数关系
sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
tan(A+B)=-tan C;sin =cos ;
cos =sin .
(5)三角形中的射影定理:在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(　　)
(3)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.(　　)
(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.(　　)
2.(应用正弦定理求角时漏解)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,A=30°,则B等于(　　)
A.30°　 B.45°
C.30°或150°　 D.45°或135°
3.(必修第二册P48练习T2·变条件)在△ABC中,a=6,b=6,A=30°,则最长边c=　　　　.
4.(2023·上海高考)已知△ABC中,角A,B,C所对的边a=4,b=5,c=6,则sin A=　　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一利用正、余弦定理解三角形
1.在△ABC 中,已知b=40 ,c=20 ,C=60°,则此三角形的解的情况是(　　)
A.有一解 B. 有两解
C.无解 D. 有解但解的个数不确定
2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,sin B=,C=,则c=(　　)
A.　 B.或
C.或　 D.
3.(2023·北京高考)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
4.(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则∠B=(　　)
A. B. C. D.
5.(2023·天津高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=120°.
(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
解题技法
应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边:利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解.
(2)求角:利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理变形公式cos A=等求解.
(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
考点二利用正、余弦定理判断三角形形状
[例1](1)(2023·绥化模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos A=bcos B=ccos C,则△ABC的形状是(　　)
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.三边比为1∶2∶3的三角形
(2)(2023·重庆模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
①求A;
②若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形.
解题技法
三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,如a=2Rsin A,a2+b2-c2=2abcos C等,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sin A=sin B A=B;sin(A-B)=0 A=B;sin 2A=sin 2B A=B或A+B=等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sin A=,cos A=等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.
提醒:1.注意无论是化边还是化角,在化简过程中是否出现公因式;
2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.
对点训练
1.在△ABC中,sin A=,cos B=,则该三角形是(　　)
A.锐角三角形　 B.钝角三角形
C.直角三角形　 D.无法判断
2.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c2-a2+b2=
(4ac-2bc)cos A,则(　　)
A.△ABC一定为直角三角形
B.△ABC可能为等腰三角形
C.角A可能为直角
D.角A可能为钝角
考点三正、余弦定理的综合应用
考情提示
正、余弦定理在高考中一般综合考查,主要考查三角形的面积、周长、与边有关或与角有关的最值范围问题.
角度1　三角形面积问题
[例2](1)(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知S1-S2+S3=,sin B=.
①求△ABC的面积;
②若sin Asin C=,求b.
解题技法
三角形面积问题的常见类型
(1)求三角形面积:一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等,求出角与边,再求面积;
(2)已知三角形面积解三角形:常选用已知邻边求出其夹角,或利用已知角求出角的两边间的关系;
(3)已知与三角形面积有关的关系式:常选用关系式中的角作为面积公式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形.
对点训练
在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(1)a的值;
(2)sin C和△ABC的面积.
条件①:c=7,cos A=-;
条件②:cos A=,cos B=.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
角度2　三角形中的最值与范围问题
[例3]锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C=2asin A-ccos B.
(1)求A;
(2)若b=2,D为AB的中点,求CD的取值范围.
解题技法
解三角形中的最值或范围问题的两种解法
(1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;
(2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性,单调性再结合角的范围确定最值或范围.
对点训练
(2023·牡丹江模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+2c=bcos C+bsin C.
(1)求角B;
(2)若b=3,求△ABC周长的取值范围.
【加练备选】
　　(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求角B的大小;
(2)若BC的中点为D且AD=,求a+2c的最大值.第五节　解三角形
第1课时　余弦定理、正弦定理
【课标解读】
【课程标准】
借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.
【核心素养】
数学建模、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 本节内容是新高考卷的必考内容,考查正、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用,同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查.
预测 预计高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,与三角函数的图象及性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.正弦定理
条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径
内容 ===2R
变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=.
微点拨已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.
2.余弦定理
条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c
内容 a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C
变形 cos A=; cos B=; cos C=
3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a= bsin A bsin A b a≤b
解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解
4.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A=.
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
常用结论
在△ABC中,常有以下结论:
(1)A+B+C=π.
(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(3)a>b A>B sin A>sin B,cos A(4) 三角形中的三角函数关系
sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
tan(A+B)=-tan C;sin =cos ;
cos =sin .
(5)三角形中的射影定理:在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
提示:(1)已知三角时,不可求三边.
(2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(　　)
(3)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.(　　)
提示: (3)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.(　　)
提示: (4)当b2+c2-a2>0时,△ABC不一定为锐角三角形.
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.(应用正弦定理求角时漏解)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,A=30°,则B等于(　　)
A.30°　 B.45°
C.30°或150°　 D.45°或135°
【解析】选D.由正弦定理=得=,sin B=,又b>a,即B>A,
又因为0°3.(必修第二册P48练习T2·变条件)在△ABC中,a=6,b=6,A=30°,则最长边c=　　　　.
【解析】在△ABC中,a=6,b=6,A=30°,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
36=108+c2-12×c,
化简得c2-18c+72=0,解得c=6或c=12,
因为c是最长的边,所以c=12.
答案:12
4.(2023·上海高考)已知△ABC中,角A,B,C所对的边a=4,b=5,c=6,则sin A=　　　　　.
【解析】a=4,b=5,c=6,由余弦定理得,cos A===,
又因为A∈(0,π),所以sin A>0,
所以sin A===.
答案:
【核心考点·分类突破】
考点一利用正、余弦定理解三角形
1.在△ABC 中,已知b=40 ,c=20 ,C=60°,则此三角形的解的情况是(　　)
A.有一解 B. 有两解
C.无解 D. 有解但解的个数不确定
【解析】选C.由正弦定理得= ,
所以sin B===>1 ,
所以B不存在,即满足条件的三角形不存在.
2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,sin B=,C=,则c=(　　)
A.　 B.或
C.或　 D.
【解析】选B.由正弦定理知=,
则c==,
sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C),
因为sin B=,
所以cos B=±=±,故B=或.
又C=,故均满足题设.
当B=时,sin A=1,此时c=;
当B=时,sin A=,此时c=.
3.(2023·北京高考)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
【解析】选B.由正弦定理知,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B)可化为(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2+b2-c2=ab,
所以cos C===,又C∈(0,π),所以C=.
4.(2023·全国乙卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则∠B=(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意结合正弦定理可得
sin Acos B-sin Bcos A=sin C,
即sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,
整理可得sin Bcos A=0,
由于B∈(0,π),故sin B>0,
据此可得cos A=0,A=,
则B=π-A-C=π--=.
5.(2023·天津高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=120°.
(1)求sin B的值;
【解析】(1)a=,b=2,A=120°,
则sin B===;
(2)求c的值;
【解析】(2)a=,b=2,A=120°,
则a2=b2+c2-2bc·cos A=4+c2+2c=39,化简整理可得,(c+7)(c-5)=0,解得c=5(负值舍去);
(3)求sin(B-C)的值.
【解析】(3)因为a>c>b,所以B,C为锐角,
所以cos B==,
c=5,a=,A=120°,
则sin C===,
故cos C==,
所以sin(B-C)=sin Bcos C-sin Ccos B=×-×=-.
解题技法
应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边:利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解.
(2)求角:利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理变形公式cos A=等求解.
(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
考点二利用正、余弦定理判断三角形形状
[例1](1)(2023·绥化模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos A=bcos B=ccos C,则△ABC的形状是(　　)
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.三边比为1∶2∶3的三角形
【解析】选B.因为acos A=bcos B,由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.
因为A,B为三角形的内角,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,
同理可得B=C或B+C=.
当A=B时,B+C=不可能成立(三角形内角和不等于π);当B=C时,A+B=不可能成立;
当A+B=时,B+C=也不可能成立,
所以只有A=B=C,即△ABC为等边三角形.
(2)(2023·重庆模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
①求A;
【解析】①由=整理可得,
bc=b2+c2-a2,
由余弦定理可得cos A===,
又0②若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形.
【解析】②由b-c=a及正弦定理可得,sin B-sin C=sin A=,
所以sin B-sin (-B)=sin B-cos B-sin B=sin B-cos B=sin (B-)=,
因为B∈(0,),所以B-∈(-,),
所以B-=,
所以B=,即△ABC是直角三角形.
解题技法
三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,如a=2Rsin A,a2+b2-c2=2abcos C等,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sin A=sin B A=B;sin(A-B)=0 A=B;sin 2A=sin 2B A=B或A+B=等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sin A=,cos A=等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.
提醒:1.注意无论是化边还是化角,在化简过程中是否出现公因式;
2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.
对点训练
1.在△ABC中,sin A=,cos B=,则该三角形是(　　)
A.锐角三角形　 B.钝角三角形
C.直角三角形　 D.无法判断
【解析】选A.根据题意,sin B=>=sin A,
于是B>A,从而A,B为锐角.
又sin A=>=sin ,
于是A+B>2A>,
因此C为锐角,所以△ABC为锐角三角形.
2.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c2-a2+b2=
(4ac-2bc)cos A,则(　　)
A.△ABC一定为直角三角形
B.△ABC可能为等腰三角形
C.角A可能为直角
D.角A可能为钝角
【解析】选BC.由余弦定理可得2bccos A=(4ac-2bc)cos A,化简可得bcos A=(2a-b)cos A.
当cos A=0时,A=90°,此时△ABC为直角三角形;
当cos A≠0时,可得b=2a-b,即a=b,此时△ABC为等腰三角形,cos A==>0,所以B,C选项正确.
考点三正、余弦定理的综合应用
考情提示
正、余弦定理在高考中一般综合考查,主要考查三角形的面积、周长、与边有关或与角有关的最值范围问题.
角度1　三角形面积问题
[例2](1)(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　.
【解析】由题意得S△ABC=acsin B=ac=,则ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×=8,则b=2.
答案:2
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知S1-S2+S3=,sin B=.
①求△ABC的面积;
【解析】①由题意得S1=·a2·=a2,
S2=b2,S3=c2,
则S1-S2+S3=a2-b2+c2=,
即a2+c2-b2=2.
由余弦定理得cos B=,整理得accos B=1,则cos B>0.
又sin B=,则cos B==.
ac==,则S△ABC=acsin B=.
②若sin Asin C=,求b.
【解析】②由正弦定理得==,
则=·===,则=,b=sin B=.
解题技法
三角形面积问题的常见类型
(1)求三角形面积:一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等,求出角与边,再求面积;
(2)已知三角形面积解三角形:常选用已知邻边求出其夹角,或利用已知角求出角的两边间的关系;
(3)已知与三角形面积有关的关系式:常选用关系式中的角作为面积公式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形.
对点训练
在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(1)a的值;
【解析】选条件①:c=7,cos A=-,且a+b=11.
(1)在△ABC中,由余弦定理,得cos A===-,
解得a=8.
(2)sin C和△ABC的面积.
条件①:c=7,cos A=-;
条件②:cos A=,cos B=.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
【解析】选条件①:c=7,cos A=-,且a+b=11.
(2)因为cos A=-,A∈(0,π),
所以sin A===.
在△ABC中,由正弦定理,得sin C===.
因为a+b=11,a=8,所以b=3,
所以S△ABC=absin C=×8×3×=6.
选条件②:cos A=,cos B=,且a+b=11.
(1)因为A∈(0,π),B∈(0,π),cos A=,cos B=,
所以sin A===,sin B===.
在△ABC中,由正弦定理,可得===.
又因为a+b=11,所以a=6,b=5.
(2)sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B
=×+×==.
所以S△ABC=absin C=×6×5×=.
角度2　三角形中的最值与范围问题
[例3]锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C=2asin A-ccos B.
(1)求A;
【解析】(1)因为bcos C=2asin A-ccos B,
由正弦定理可得
sin Bcos C=2sin Asin A-sin Ccos B,
则(sin Bcos C+sin Ccos B)=2sin2A,
即sin(B+C)=2sin2A,
又sin(B+C)=sin A,sin A>0,则sin A=,
因为0(2)若b=2,D为AB的中点,求CD的取值范围.
【解析】(2)△ACD中,由余弦定理可得
CD==,
因为锐角三角形ABC中,cos B>0,cos C>0,
所以,
又a2=c2+4-2c,c>0,
所以,解得1故CD的取值范围为[,2).
解题技法
解三角形中的最值或范围问题的两种解法
(1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;
(2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性,单调性再结合角的范围确定最值或范围.
对点训练
(2023·牡丹江模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+2c=bcos C+bsin C.
(1)求角B;
【解析】(1)因为a+2c=bcos C+bsin C,
整理得,sin A+2sin C=sin Bcos C+sin Bsin C,
sin(B+C)+2sin C=sin Bcos C+sin Bsin C,
cos Bsin C+2sin C=sin Bsin C,
因为sin C≠0,所以sin B-cos B=2,
sin(B-)=1,B-=,可得,B=;
(2)若b=3,求△ABC周长的取值范围.
【解析】(2)因为====2,
所以a=2sin A,c=2sin C,
所以周长=a+b+c=2sin A+2sin C+3=2(sin A+sin(A+) )+3
=2sin A+cos A)+3=2sin(A+)+3,
因为0所以△ABC周长的取值范围为(6,3+2].
【加练备选】
　　(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求角B的大小;
【解析】(1)因为=,
所以由正弦定理得=,
所以2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B,
所以2sin Acos B=sin (B+C)=sin A,
又0(2)若BC的中点为D且AD=,求a+2c的最大值.
【解析】(2)设∠BAD=θ,则在△ABD中,
由B=知0<θ<,
由正弦定理得===2,所以BD=2sin θ,AB=2sin (-θ).
又BD=,所以a=4sin θ,c=2sin (-θ),所以a+2c=4sin θ+4sin (-θ)=6sin θ+2cos θ=4sin(θ+).
因为0<θ<,所以<θ+<,
所以所以a+2c的最大值为4.

展开更多......

收起↑