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第2课时　余弦定理、正弦定理应用举例
【课标解读】
【课程标准】
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 正、余弦定理的应用主要解决与距离、高度、角度等有关的实际问题,主要以选择、填空题的形式考查.
预测 预计2025年高考以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主,可能与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查,题型主要为选择题或填空题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).
2.方位角
从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角.如点B的方位角为α(如图②).
微点拨仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对正北方向而言的.
3.方向角
相对某一正方向的水平角,即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向,方向角小于90°).如北偏东α,南偏西α.特别地,若目标方向线与指北或指南方向线成45°角,则称为东北方向、西南方向等.
(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③);
(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向;
(3)南偏西等其他方向角类似.
4.坡角与坡度
(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角(如图④,角θ为坡角).
(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度),坡度又称为坡比.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同.(　　)
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.(　　)
提示:(2)俯角是视线与水平线所构成的角.
(3)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.
(　　)
提示: (3)α=β.
(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是 .(　　)
答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.(弄错方向角的含义)如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站的南偏西40°方向上,灯塔B在观察站的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的(　　)
A. 北偏东10°方向上
B. 北偏西10°方向上
C. 南偏东80°方向上
D. 南偏西80°方向上
【解析】选D. 由条件及题图可知,△ABC为等腰三角形,所以∠BAC=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,
所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.
3.(必修第二册P49例9·变条件)如图所示,为测量河对岸一点C与岸边一点A之间的距离,已经测得岸边的A,B两点间的距离为m,∠CAB=α,∠CBA=β,则C,A间的距离为(　　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】选C.因为=,
所以AC==.
4.(2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)(　　)
A.346 B.373 C.446 D.473
【解析】选B.作CM⊥BB',BN⊥AA',CQ⊥AA',其中M,N,Q为相应的垂足(图略),由题意得,BM=100,∠BCM=15°,∠ABN=45°,即CM==B'C',所以BN=B'A'====100+100≈273,所以AN=BN=273,
AQ=AA'-CC'=AN+QN=AN+(BB'-CC')=273+100=373.
【核心考点·分类突破】
考点一测量距离问题
[例1](1)(2023·龙岩模拟)如图所示,为了测量A,B两处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为(　　)
A. 20海里　 B. 10海里
C. 20(1+)海里　 D. 10(1+)海里
【解析】选B.在三角形ACD中,
∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°-60°=30°,
∠CAD=180°-105°-30°=45°,
由正弦定理得=,AC===10(+1).
在三角形BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°,
所以∠CBD=45°,所以BC=CD=20,
由余弦定理得AB==10(海里).
(2)萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.如图为萧窑出土的一块三角形瓷器片,其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片,现测得如下数据:AB=34.64 cm,AD=10 cm,BE=14 cm,A=B=,则D,E两点间的距离为
　　　　　cm.(参考数据:≈1.732)
【解析】如图,延长AD,BE交于点C,因为A=B=,所以C=,
故==,
所以AC=BC==≈=20(cm).
由题意得CD=20-10=10,CE=20-14=6,C=,
故DE==14(cm),故D,E两点间的距离为14 cm.
答案:14
解题技法
距离问题的类型及解法
(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达.
(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.
对点训练
1.(2023·青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,若要测量如图所示某蓝洞洞口边缘A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为　　　　　海里.
【解析】在三角形ACD中,∠DCA=15°,∠ADC=135°+15°=150°,
∠CAD=180°-150°-15°=15°,
所以AD=CD=8,
所以AC==8.
在三角形BCD中,
∠BDC=15°,∠BCD=15°+120°=135°,∠CBD=180°-15°-135°=30°,
由正弦定理得=,BC==16×sin(45°-30°)
=16×(×-×)=16×=4(-).
在三角形ABC中,∠ACB=120°,
所以AB==
==8(海里).
答案:8
2.(2023·吉安模拟)如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.
(1)求线段MN的长度;
【解析】(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN,
即MN2=22+22-2×2×2×(-)=12,可得MN=2,
所以线段MN的长度为2千米.
(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.
【解析】(2)设∠PMN=α∈(0,),因为∠MPN=,
所以∠PNM=-α,
在△PMN中,由正弦定理得==,
因为==4,
所以PM=4sin∠PNM=4sin(-α),
PN=4sin∠PMN=4sin α,
因此PM+PN=4sin(-α)+4sin α=4(cos α+sin α)+4sin α
=6sin α+2cos α=4sin(α+),
因为0<α<,所以<α+<,
所以当α+=,即α=时,PM+PN取到最大值4千米.
考点二测量高度问题
[例2](1)如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37 m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为(　　)
A. 91 m　 B. 74 m　 C. 64 m　 D. 52 m
【解析】选B.在Rt△ABC中,AC=2AB=74,
在△MCA中,∠MCA=105°,∠MAC=45°,
则∠AMC=180°-∠MCA-∠MAC=30°,
由正弦定理得=,
即=,解得MC=74,
在Rt△MNC中,MN=74×=74(m).
(2)一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶,在A,B,C三处测得道路一侧山顶P的仰角分别为30°,45°,60°,其中AB=a,BC=b(0A.　 B.
C.　 D.
【解析】选D.如图,设点P在地面上的投影为点O,
则∠PAO=30°,∠PBO=45°,∠PCO=60°,设山高PO=h,则AO=h,BO=h,CO=,
在△AOC中,cos∠ABO=-cos∠CBO,
由余弦定理可得:=-,
整理得h2=,所以h=.
解题技法
测量高度问题的求解策略
(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键.
(2)在实际问题中,若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
对点训练
1.(2023·广州模拟)赤岗塔是广州市级文物保护单位,是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一,与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔.如图,在A点测得塔底位于A点北偏东60°方向上的点D处,塔顶C的仰角为30°,在A的正东方向且距D点61 m的B点测得塔底位于B点北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面),则塔的高度CD约为(参考数据:≈2.45)(　　)
A. 40 m　 B. 45 m　 C. 50 m　 D. 55 m
【解析】选C.由题意,BD=61,∠DAB=30°,∠DBA=45°,
所以=,则AD=61 m,
又∠DAC=30°,则tan∠DAC==,
所以CD=AD=×61≈50(m).
2.(2023·江门模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,BC的距离比AC短40米.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A,C两地间的距离;
【解析】(1)由题意,设AC=x,则BC=x-40.
在△ABC中,由余弦定理,得BC2=BA2+AC2-2BA·ACcos∠BAC,
即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420,
所以A,C两地间的距离为420米.
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.
【解析】(2)在Rt△ACH中,AC=420,∠CAH=30°,
所以CH=AC·tan∠CAH=140,
即该仪器的垂直弹射高度CH为140米.
考点三测量角度问题
[例3](2023·郑州模拟)在海岸A处,发现北偏西75°的方向,与A距离2海里的B处有一艘走私船,在A处北偏东45°方向,与A距离(-1)海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏西30°方向逃窜,问:
(1)刚发现走私船时,缉私船距离走私船多远 在走私船的什么方向
【解析】(1)由题意,可得AB=2,AC=-1,
∠BAC=120°,则BC===,
在△ABC中,由正弦定理得=,即=,
解得sin∠ACB=,因为0°<∠ACB<60°,
所以∠ACB=45°,所以BC为水平线,
所以刚发现走私船时,缉私船距离走私船海里,在走私船的正东方向.
(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船
【解析】(2)设经过t小时后,缉私船追上走私船,
在△BCD中,可得BD=10t,CD=10t,
∠DBC=120°,由正弦定理得sin∠BCD===,
因为∠BCD为锐角,所以∠BCD=30°,
所以缉私船沿北偏西60°的方向能最快追上走私船.
解题技法
测量角度问题的求解策略
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
提醒:确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
对点训练
(2023·赣州模拟)如图,某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练,长跑开始时,在A市南偏东方向距A市75 km的B处有一艘小艇,小艇与海岸距离为45 km,若小艇与该运动员同时出发,要追上这位运动员.
(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员
【解析】(1)如图,设小艇以每小时v km的速度从B处出发,沿BD方向行驶,t小时后与该运动员在D处相遇,
在△ABD中,AB=75,AD=15t,BC=45,
故sin∠BAD==,cos∠BAD=,
由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AB·ADcos∠BAD,
即v2t2=(15t)2+752-2×75×15t×,整理得
v2=-+225=5 625[-+]+81=5 625+81,
当=,即t=时,=81,故vmin=9.
即小艇至少以每小时9 km的速度从B处出发才能追上这位运动员.
(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.
【解析】(2)当小艇以每小时9 km的速度从B处出发时,
经过小时追上该运动员,
故BD=9×=56.25,AD=15×=93.75,
又sin∠BAD=,由正弦定理得=,解得sin∠ABD=1,
故∠ABD=90°,
即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角为90°.第2课时　余弦定理、正弦定理应用举例
【课标解读】
【课程标准】
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 正、余弦定理的应用主要解决与距离、高度、角度等有关的实际问题,主要以选择、填空题的形式考查.
预测 预计2025年高考以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主,可能与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查,题型主要为选择题或填空题.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).
2.方位角
从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角.如点B的方位角为α(如图②).
微点拨仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对正北方向而言的.
3.方向角
相对某一正方向的水平角,即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向,方向角小于90°).如北偏东α,南偏西α.特别地,若目标方向线与指北或指南方向线成45°角,则称为东北方向、西南方向等.
(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③);
(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向;
(3)南偏西等其他方向角类似.
4.坡角与坡度
(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角(如图④,角θ为坡角).
(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度),坡度又称为坡比.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同.(　　)
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.(　　)
(3)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.
(　　)
(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是 .(　　)
2.(弄错方向角的含义)如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站的南偏西40°方向上,灯塔B在观察站的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的(　　)
A. 北偏东10°方向上
B. 北偏西10°方向上
C. 南偏东80°方向上
D. 南偏西80°方向上
3.(必修第二册P49例9·变条件)如图所示,为测量河对岸一点C与岸边一点A之间的距离,已经测得岸边的A,B两点间的距离为m,∠CAB=α,∠CBA=β,则C,A间的距离为(　　)
A. 　 B.
C. 　 D.
4.(2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)(　　)
A.346 B.373 C.446 D.473
【核心考点·分类突破】
考点一测量距离问题
[例1](1)(2023·龙岩模拟)如图所示,为了测量A,B两处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为(　　)
A. 20海里　 B. 10海里
C. 20(1+)海里　 D. 10(1+)海里
(2)萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.如图为萧窑出土的一块三角形瓷器片,其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片,现测得如下数据:AB=34.64 cm,AD=10 cm,BE=14 cm,A=B=,则D,E两点间的距离为
　　　　　cm.(参考数据:≈1.732)
解题技法
距离问题的类型及解法
(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达.
(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.
对点训练
1.(2023·青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,若要测量如图所示某蓝洞洞口边缘A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为　　　　　海里.
2.(2023·吉安模拟)如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.
(1)求线段MN的长度;
(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.
考点二测量高度问题
[例2](1)如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37 m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为(　　)
A. 91 m　 B. 74 m　 C. 64 m　 D. 52 m
(2)一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶,在A,B,C三处测得道路一侧山顶P的仰角分别为30°,45°,60°,其中AB=a,BC=b(0A.　 B.
C.　 D.
解题技法
测量高度问题的求解策略
(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键.
(2)在实际问题中,若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
对点训练
1.(2023·广州模拟)赤岗塔是广州市级文物保护单位,是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一,与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔.如图,在A点测得塔底位于A点北偏东60°方向上的点D处,塔顶C的仰角为30°,在A的正东方向且距D点61 m的B点测得塔底位于B点北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面),则塔的高度CD约为(参考数据:≈2.45)(　　)
A. 40 m　 B. 45 m　 C. 50 m　 D. 55 m
2.(2023·江门模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,BC的距离比AC短40米.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A,C两地间的距离;
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.
考点三测量角度问题
[例3](2023·郑州模拟)在海岸A处,发现北偏西75°的方向,与A距离2海里的B处有一艘走私船,在A处北偏东45°方向,与A距离(-1)海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏西30°方向逃窜,问:
(1)刚发现走私船时,缉私船距离走私船多远 在走私船的什么方向
(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船
解题技法
测量角度问题的求解策略
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
提醒:确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
对点训练
(2023·赣州模拟)如图,某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练,长跑开始时,在A市南偏东方向距A市75 km的B处有一艘小艇,小艇与海岸距离为45 km,若小艇与该运动员同时出发,要追上这位运动员.
(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员
(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.

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