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第一节　平面向量的概念及其线性运算
【课标解读】
【课程标准】
1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,理解平面向量的几何表示和基本要素.
2.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.
3.掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的形式考查.
预测 预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难度属中、低档.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量;向量的大小称为向量的长度(模) 向量由方向和长度确定,不受位置影响
零向量 长度为0的向量 记作0,其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为±
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量平行(共线)
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的向量 若非零向量a,b互为相反向量,则a=-b
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律:a+b=b+a; 结合律: (a+b)+c=a+(b+c)
减法 求a与b的相反向量-b的和的运算 a-b=a+(-b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a =λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
微点拨 对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”.
3.共线向量定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
微点拨 只有当a≠0时,定理中的实数λ才存在且唯一.
常用结论
1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,
则=(+).
2.若G 为△ABC 的重心,则有
(1)++=0;
(2)= .
3.=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ+μ=1.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 4 3 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a∥b,则a与b方向相同或相反.(　 　)
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(　 　)
(3)若a=b,b=c,则a=c.(　 　)
(4)若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等.(　 　)
2.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　)
A.3m-2n　 B.-2m+3n
C.3m+2n　 D.2m+3n
3.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(必修第二册P15练习T2·变条件)点C在线段AB上,且=,则=______,
=______.
【核心考点·分类突破】
考点一平面向量的基本概念
1.(2023·北京模拟)设a,b是非零向量,则“=”是“a=b”的(　　)
A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件
C.充分必要条件　 D.既不充分也不必要条件
2.在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),判断是否存在下列关系的向量:
①是共线向量的有____________;
②方向相反的向量有____________;
③模相等的向量有__________.
3.向量∥,其中是单位向量且=2,则=________.
解题技法
平面向量有关概念的关注点
(1)共线向量即为平行向量;
(2)向量的平行不具有传递性,只有非零向量平行具有传递性;
(3)两个非零向量的共线包含同向共线与反向共线,与向量长度、起点无关;
(4)与向量a同向的单位向量是.
考点二平面向量的线性运算
考情提示
平面向量的线性运算主要考查平面向量加、减运算、运算规则及其几何意义,常以平面向量为载体考查平行四边形法则、三角形法则,题目多以选择题、填空题形式出现.
角度1　平面向量的加、减运算的几何意义
[例1]如图所示,已知在矩形ABCD中,=4,设=a,=b,=c.
则=__________.
解题技法
利用向量加、减法的几何意义解决问题的常用方法
(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关问题;
(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题,可考虑利用向量知识来求解.
角度2　平面向量的线性运算
[例2](1)如图,在△ABC中,D是BC的中点.若=a,=b,则=(　　)
A.3a-2b　 B.a+b
C.-a+2b　 D.a-2b
(2)(多选题)(2023·河源模拟)如图,在平行四边形ABCD中,E为CD的中点, =, 则(　　)
A.=-　 B.=+
C.=+　 D.+=2
解题技法
向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
角度3　根据向量线性运算求参数
[例3](1)(多选题)(2023·梅州模拟)如图所示,四边形ABCD为等腰梯形,CD∥AB,CD=AB,E,F分别为DC,AE的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则(　　)
A.λ=　 B.μ=2　 C.λ=　 D.μ=1
(2)(2023·安庆模拟)如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,=x+y,且=4,则(　　)
A.x=,y=　 B.x=,y=
C.x=,y=　 D.x=,y=
解题技法
与向量的线性运算有关的参数问题解题策略
一般是通过向量的运算将向量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值.
提醒:有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
对点训练
1.如图,已知=a,=b,任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,则向量=(　　)
A.b-2a　 B.
C.　 D.2(b-a)
2.(2023·赣州模拟)如图,平行四边形ABCD中,点E为BC的中点,点F在线段AE上,且AF=2FE,记a=,b=,则=(　　)
A.a-b　 B.-a+b
C.-a+b　 D.-a+b
3.(2023·北京模拟)在平行四边形ABCD中,点P满足=(+),若=λ+ μ, 则λ+μ的值是__________.
【加练备选】
　　(2023·福州模拟)在△ABC中,点P为BC边上一点,且=+λ,则实数λ=(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
考点三向量共线定理及其应用
[例4](1)(一题多法)(2023·连云港模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知= 2e1-ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点A,B,D共线,则k的值为(　　)
A.-8　 B.8　 C.6　 D.-6
(2)(2023·青岛模拟)如图,在△ABC中,=2,P是BN上一点,若=t+,则实数t的值为__________.
解题技法
利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.若a=λb(b≠0),则a与b共线,且当λ>0时,a与b同向;当λ<0时,a与b反向.
(2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.
(3)要证明A,B,C三点共线,只需证明与共线,即证=λ(λ∈R).若已知A,B,C三点共线,则必有与共线,从而存在实数λ,使得=λ.
(4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
提醒:若点P在直线AB上,由三点共线一般要设=λ或者设=λ+(1-λ),再结合条件解题.
对点训练
1.(2023·青岛模拟)已知a,b是不共线的向量,且=-2a+8b,=3a-3b,=a+5b,
则(　　)
A.B,C,D三点共线　 B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线　 D.A,B,D三点共线
2.(2023·珠海模拟)在△ABC中,点D是线段BC上任意一点,点P满足=3,若存在实数m和n,使得=m+n,则m+n=(　　)
A.　 B.　 C.-　 D.-
3.(2023·深圳模拟)设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=__________. 第一节　平面向量的概念及其线性运算
【课标解读】
【课程标准】
1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,理解平面向量的几何表示和基本要素.
2.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.
3.掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的形式考查.
预测 预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难度属中、低档.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量;向量的大小称为向量的长度(模) 向量由方向和长度确定,不受位置影响
零向量 长度为0的向量 记作0,其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为±
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量平行(共线)
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的向量 若非零向量a,b互为相反向量,则a=-b
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律:a+b=b+a; 结合律: (a+b)+c=a+(b+c)
减法 求a与b的相反向量-b的和的运算 a-b=a+(-b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a =λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
微点拨 对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”.
3.共线向量定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
微点拨 只有当a≠0时,定理中的实数λ才存在且唯一.
常用结论
1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,
则=(+).
2.若G 为△ABC 的重心,则有
(1)++=0;
(2)= .
3.=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ+μ=1.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 4 3 2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a∥b,则a与b方向相同或相反.(　×　)
提示:(1)若a=0,零向量的方向任意,错误;
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(　×　)
提示: (2)取b=0,则a∥b,b∥c,但a,c不一定平行,错误;
(3)若a=b,b=c,则a=c.(　√　)
提示: (3)a=b,b=c,则a=c,正确;
(4)若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等.(　 ×　)
提示: (4)若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等或相反,错误.
2.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　)
A.3m-2n　 B.-2m+3n
C.3m+2n　 D.2m+3n
【解析】选B.如图,
因为=+=+=+(-)=+-,
所以=-,即=3-2=3n-2m.
3.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
4.(必修第二册P15练习T2·变条件)点C在线段AB上,且=,则=______,
=______.
【解析】由已知画图如下,
由图形知=,=-.
答案:　-
【核心考点·分类突破】
考点一平面向量的基本概念
1.(2023·北京模拟)设a,b是非零向量,则“=”是“a=b”的(　　)
A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件
C.充分必要条件　 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由=表示单位向量相等,则a,b同向,但不能确定它们的模是否相等,即不能推出a=b,由a=b表示a,b同向且模相等,
则=,所以“=”是“a=b”的必要不充分条件.
2.在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),判断是否存在下列关系的向量:
①是共线向量的有____________;
②方向相反的向量有____________;
③模相等的向量有__________.
【解析】①a∥d,e∥b,故a和d,e和b是共线向量;②a和d,b和e是方向相反的向量;③由勾股定理可得,模相等的向量有a,c,d.
答案:①a和d,e和b　②a和d,b和e　③a,c,d
3.向量∥,其中是单位向量且=2,则=________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且=2,则=-,
①若=2,则====1;
②若=-2,则===3=3,因此,=1或3.
答案:1或3
解题技法
平面向量有关概念的关注点
(1)共线向量即为平行向量;
(2)向量的平行不具有传递性,只有非零向量平行具有传递性;
(3)两个非零向量的共线包含同向共线与反向共线,与向量长度、起点无关;
(4)与向量a同向的单位向量是.
考点二平面向量的线性运算
考情提示
平面向量的线性运算主要考查平面向量加、减运算、运算规则及其几何意义,常以平面向量为载体考查平行四边形法则、三角形法则,题目多以选择题、填空题形式出现.
角度1　平面向量的加、减运算的几何意义
[例1]如图所示,已知在矩形ABCD中,=4,设=a,=b,=c.
则=__________.
【解析】a+b+c=++=+,
延长BC至E,使CE=BC,连接DE,
由于==,所以CEAD,
所以四边形ACED是平行四边形,所以=,
所以+=+=,所以==2=2=8.
答案:8
解题技法
利用向量加、减法的几何意义解决问题的常用方法
(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关问题;
(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题,可考虑利用向量知识来求解.
角度2　平面向量的线性运算
[例2](1)如图,在△ABC中,D是BC的中点.若=a,=b,则=(　　)
A.3a-2b　 B.a+b
C.-a+2b　 D.a-2b
【解析】选D.=-=2-=2-=2b+2-a,
所以=a-2b.
(2)(多选题)(2023·河源模拟)如图,在平行四边形ABCD中,E为CD的中点, =, 则(　　)
A.=-　 B.=+
C.=+　 D.+=2
【解析】选BCD.对A,由题意得=+=++=++= -++=-+,故A错误;
对B,=+=-+=+,故B正确;
对C,=+=+=+(-+)=+,故C正确;
对D,+=-+++=2,故D正确.
解题技法
向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
角度3　根据向量线性运算求参数
[例3](1)(多选题)(2023·梅州模拟)如图所示,四边形ABCD为等腰梯形,CD∥AB,CD=AB,E,F分别为DC,AE的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则(　　)
A.λ=　 B.μ=2　 C.λ=　 D.μ=1
【解析】选BC.因为CD∥AB,CD=AB,
所以=+=-,因为F为AE的中点,
所以=2=2(+)=2+2,
所以=2+2-=+2,
所以λ=,μ=2.
(2)(2023·安庆模拟)如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,=x+y,且=4,则(　　)
A.x=,y=　 B.x=,y=
C.x=,y=　 D.x=,y=
【解析】选C.由=4可得=,
所以=+=+=+(-)=+,所以x=,y=.
解题技法
与向量的线性运算有关的参数问题解题策略
一般是通过向量的运算将向量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值.
提醒:有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
对点训练
1.如图,已知=a,=b,任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,则向量=(　　)
A.b-2a　 B.
C.　 D.2(b-a)
【解析】选D.由题设及题图知:=2且=-=b-a,所以=2(b-a).
2.(2023·赣州模拟)如图,平行四边形ABCD中,点E为BC的中点,点F在线段AE上,且AF=2FE,记a=,b=,则=(　　)
A.a-b　 B.-a+b
C.-a+b　 D.-a+b
【解析】选D.因为在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,AF=2FE,=b,=a,
所以=-=-=-(+)=-+=-+×
=-+=-+=-a+b.
3.(2023·北京模拟)在平行四边形ABCD中,点P满足=(+),若=λ+ μ, 则λ+μ的值是__________.
【解析】由=(+)得出点P为BC的中点,在平行四边形ABCD中, =,=,=+=-=-,所以λ=-1,μ=,则λ+μ=-.
答案:-
【加练备选】
　　(2023·福州模拟)在△ABC中,点P为BC边上一点,且=+λ,则实数λ=(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
【解析】选C.如图,过点P作PD∥AB,交AC于点D,作PE∥AC交AB于点E,
因为=+λ,所以=,=,所以=,所以=,所以=+=+,所以λ=.
考点三向量共线定理及其应用
[例4](1)(一题多法)(2023·连云港模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知= 2e1-ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点A,B,D共线,则k的值为(　　)
A.-8　 B.8　 C.6　 D.-6
【解析】选B.解法一(方程组法):由已知得=-=e1+3e2-(2e1-e2)=-e1+4e2,
因为三点A,B,D共线,所以存在唯一实数λ使=λ,
所以2e1-ke2=λ(-e1+4e2)=-λe1+4λe2,所以,解得.
解法二(比例法):由已知得=-=e1+3e2-(2e1-e2)=-e1+4e2,
因为三点A,B,D共线,所以∥,所以=,解得k=8.
(2)(2023·青岛模拟)如图,在△ABC中,=2,P是BN上一点,若=t+,则实数t的值为__________.
【解析】由题意,P是BN上一点,设=λ,
则=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,又=2,
所以=,所以=(1-λ)+λ=+,所以,解得t=.
答案:
解题技法
利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.若a=λb(b≠0),则a与b共线,且当λ>0时,a与b同向;当λ<0时,a与b反向.
(2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.
(3)要证明A,B,C三点共线,只需证明与共线,即证=λ(λ∈R).若已知A,B,C三点共线,则必有与共线,从而存在实数λ,使得=λ.
(4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
提醒:若点P在直线AB上,由三点共线一般要设=λ或者设=λ+(1-λ),再结合条件解题.
对点训练
1.(2023·青岛模拟)已知a,b是不共线的向量,且=-2a+8b,=3a-3b,=a+5b,
则(　　)
A.B,C,D三点共线　 B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线　 D.A,B,D三点共线
【解析】选C.因为=-2a+8b,=3a-3b,=a+5b,
所以=++=2a+10b,=+=a+5b,=+=4a+2b,
若B,C,D三点共线,则=λ,即,无解,故A错误;
若A,B,C三点共线,则=μ,即,无解,故B错误;
若A,C,D三点共线,则=m,即,解得m=,故C正确;
若A,B,D三点共线,则=n,即,无解,故D错误.
2.(2023·珠海模拟)在△ABC中,点D是线段BC上任意一点,点P满足=3,若存在实数m和n,使得=m+n,则m+n=(　　)
A.　 B.　 C.-　 D.-
【解析】选D.由题意,=λ+(1-λ),且0<λ<1,
而=3=3(+),所以3+3=λ+(1-λ),
即=+,由已知,则m+n=-.
3.(2023·深圳模拟)设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=__________.
【解析】因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反,
所以存在λ(λ<0),使得ka+2b=λ(8a+kb),又a,b是两个不共线的非零向量,
所以,解得或(舍去).
答案:-4

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