资源简介

第二节　等差数列
【课标解读】
【课程标准】
1.理解等差数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
【核心素养】
数学建模、数学运算、逻辑推理
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以等差数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列前n项和的性质是高考的热点,常以选择题的形式出现.
预测 2025年高考将会从以下两个角度来考查:(1)等差数列及其前n项和的基本运算与性质;(2)等差数列的综合应用,可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.等差数列的有关概念
定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即-an=d(n∈N*,d为常数)
通项 公式 设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式为an=a1+(n-1)d
等差 中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b
2.等差数列的前n项和公式
已知条件 前n项和公式
a1,an,n Sn=
a1,d,n Sn=na1+d
微点拨
(1)等差数列前n项和公式可变形为
Sn=n2+(a1-)n.当d≠0时,它是关于n的二次函数,表示为Sn=An2+Bn(A,B为常数);
(2)a1>0,d<0,则Sn存在最大值.
a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,,,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,-Sm,-,…也是等差数列.
(5)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列;
(6)若{an}是等差数列,则{}也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}公差的.
常用结论
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列 Sn=An2+Bn(A,B为常数).
5.关于等差数列奇数项和与偶数项和的结论
①若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=;
②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.
6.两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为=.
基础诊断·自测
类型 辨析 易错 高考
题号 1 3 2,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　)
提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)
提示: (3)如果数列为0,0,0,0,则其通项公式不是一次函数.
(4)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.(　　)
2.(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(　　)
A.25 B.22 C.20 D.15
3.(转化条件不等价致误)一个等差数列的首项为,从第10项起每项都比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　)
A.(,+∞) B.(-∞,)
C.(,) D.,]
【
4.(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一等差数列的基本量运算
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3+a5=4,S15=60,则a20=(　　)
A.4　 B.6　 C.10　 D.12
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)
A.-12　 B.-10　 C.10　 D.12
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=11,且S3,S5,a22成等差数列,则S10=(　　)
A.145　 B.150　 C.155　 D.160
4.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=(　　)
A.72　 B.88　 C.92　 D.98
5.在等差数列{an}中,已知a2=5,am=7,am+3=10,则数列{an}的前m项和为(　　)
A.12　 B.22　 C.23　 D.25
解题技法
等差数列基本量运算的常见类型及解题策略
(1)求公差d或项数n:在求解时,一般要运用方程思想;
(2)求通项:a1和d是等差数列的两个基本元素;
(3)求特定项:利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解;
(4)求前n项和:利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.
考点二 等差数列的判定与证明
教考衔接 教材情境·研习·典题类
[例1](选择性必修第二册P25习题4.2T7(1))已知Sn是等差数列{an}的前n项和.证明是等差数列.
【证明】设等差数列{an}首项为a1,公差为d,因为Sn=na1+d=n2+(a1-)n,所以=n+(a1-),所以-=n+(a1-)-=(n≥2),所以是以a1为首项,为公差的等差数列.
真题体验
(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{为等差数列,则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解题技法
等差数列的判定与证明的常用方法
主要 方法 定义法 对任意n∈N*,an+1-an是同一常数 {an}为等差数列.
等差中项法 2an+1=an+an+2 {an}为等差数列.
常用 结论 通项公式法 an=pn+q(p,q为常数) {an}是等差数列.
前n项和 公式法 Sn=An2+Bn(A,B为常数) {an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义
提醒:若要判定一个数列不是等差数列,则只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可.
对点训练
已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求a2,a3;
(2)证明:数列{}是等差数列,并求{an}的通项公式.
【加练备选】
　　已知数列{an}满足a1=,an+1+=1.设bn=,证明{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式.
考情提示
等差数列的性质作为计算、推理的工具,在高考考查等差数列知识过程中无处不在,涉及条件的转化,式子的变形,数值的运算等.
角度1　等差中项的应用与推广
[例2](1)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=
(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S9=18,=30(n>9),若Sn=336,则n的值为(　　)
A.18 B.19 C.20 D.21
[例3](1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(　　)
A.63 B.45 C.36 D.27
(2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则=　　　　.
角度3　等差数列求最值
[例4](一题多法)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
解题技法
等差数列前n项和最值的求法
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数解析式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解;
(2)邻项变号法
①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;
②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
对点训练
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15=(　　)
A.35　 B.42　 C.49　 D.63
2.(2023·重庆模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 020,-=6,则S2 023=(　　)
A.2 023　 B.-2 023
C.4 046　 D.-4 046
3.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8 时Sn取得最大值,则d的取值范围为　　　　　　　　.
考点四等差数列在实际生活中的应用
[例5]“今有竹9节,下部分3节总容量4升,上部分4节总容量3升,且自下而上每节容积成等差数列,问自下而上第四节和第五节容积各是多少 ”按此规律,自下而上第四节和第五节容积之和为(　　)
A. B. C. D.
解题技法
等差数列实际应用的解题策略
(1)审清题意,确定是否为等差问题,依据就是相邻项之间的差是否为同一个常数;
(2)对于等差问题,确定其首项、公差、项数、通项公式、前n项和,把实际问题转化为等差数列基本量的运算.
对点训练
我国二十四节气依次为:大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春,已知从冬至到夏至的日影长等量减少,若冬至、小雪、霜降三个节气的日影长之和为34.5寸,冬至到秋分七个节气的日影长之和为73.5寸,则立秋的日影长为(　　)
A. 1.5寸 B. 2.5寸
C. 3.5寸 D. 4.5寸第二节　等差数列
【课标解读】
【课程标准】
1.理解等差数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
【核心素养】
数学建模、数学运算、逻辑推理
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以等差数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列前n项和的性质是高考的热点,常以选择题的形式出现.
预测 2025年高考将会从以下两个角度来考查:(1)等差数列及其前n项和的基本运算与性质;(2)等差数列的综合应用,可能与等比数列、函数、方程、不等式相结合考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.等差数列的有关概念
定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即-an=d(n∈N*,d为常数)
通项 公式 设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式为an=a1+(n-1)d
等差 中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b
2.等差数列的前n项和公式
已知条件 前n项和公式
a1,an,n Sn=
a1,d,n Sn=na1+d
微点拨
(1)等差数列前n项和公式可变形为
Sn=n2+(a1-)n.当d≠0时,它是关于n的二次函数,表示为Sn=An2+Bn(A,B为常数);
(2)a1>0,d<0,则Sn存在最大值.
a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,,,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,-Sm,-,…也是等差数列.
(5)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列;
(6)若{an}是等差数列,则{}也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}公差的.
常用结论
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列 Sn=An2+Bn(A,B为常数).
5.关于等差数列奇数项和与偶数项和的结论
①若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=;
②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.
6.两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为=.
基础诊断·自测
类型 辨析 易错 高考
题号 1 3 2,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　)
提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)
提示: (3)如果数列为0,0,0,0,则其通项公式不是一次函数.
(4)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(　　)
A.25 B.22 C.20 D.15
【解析】选C.等差数列{an}中,a2+a6=2a4=10,
所以a4=5,a4a8=5a8=45,故a8=9,
则d==1,a1=a4-3d=5-3=2,
则S5=5a1+d=10+10=20.
3.(转化条件不等价致误)一个等差数列的首项为,从第10项起每项都比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　)
A.(,+∞) B.(-∞,)
C.(,) D.,]
【解析】选D.由题意可得
即所以4.(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　.
【解析】因为2S3=3S2+6,所以2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,化简得3d=6,解得d=2.
答案:2
【核心考点·分类突破】
考点一等差数列的基本量运算
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3+a5=4,S15=60,则a20=(　　)
A.4　 B.6　 C.10　 D.12
【解析】选C.由题意得a4==2,S15=15a8=60,则a8=4,所以a20=a4+4(a8-a4)=2+4×(4-2)=10.
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)
A.-12　 B.-10　 C.10　 D.12
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-a1.又a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=11,且S3,S5,a22成等差数列,则S10=(　　)
A.145　 B.150　 C.155　 D.160
【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为a4=11,所以S3==
3a2=3(11-2d),S5=5a3=5(11-d),a22=11+18d,
因为S3,S5,a22成等差数列,所以3(11-2d)+11+18d=10(11-d),所以d=3,a1=a4-3d=11-9=2,所以S10=10a1+45d=20+135=155.
4.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=(　　)
A.72　 B.88　 C.92　 D.98
【解析】选C.因为Sn+1=Sn+an+3,所以Sn+1-Sn=an+3=an+1,所以an+1-an=3,所以{an}是公差d=3的等差数列,又a4+a5=23,即2a1+7d=23,解得a1=1,所以S8=8a1+d=92.
5.在等差数列{an}中,已知a2=5,am=7,am+3=10,则数列{an}的前m项和为(　　)
A.12　 B.22　 C.23　 D.25
【解析】选B.数列{an}是等差数列,设公差为d,am+3=am+3d=7+3d=10,解得d=1,又a2=5,所以a1=4,所以am=4+(m-1)×1=7,解得m=4,所以数列{an}的前m项和为S4===22.
解题技法
等差数列基本量运算的常见类型及解题策略
(1)求公差d或项数n:在求解时,一般要运用方程思想;
(2)求通项:a1和d是等差数列的两个基本元素;
(3)求特定项:利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解;
(4)求前n项和:利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.
考点二 等差数列的判定与证明
教考衔接 教材情境·研习·典题类
[例1](选择性必修第二册P25习题4.2T7(1))已知Sn是等差数列{an}的前n项和.证明是等差数列.
【证明】设等差数列{an}首项为a1,公差为d,因为Sn=na1+d=n2+(a1-)n,所以=n+(a1-),所以-=n+(a1-)-=(n≥2),所以是以a1为首项,为公差的等差数列.
真题体验
(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{为等差数列,则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】选C.(解法一)甲:为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d,
所以=n+(a1-),所以-=n+(a1-)-[(n-1)+ (a1-)]=,
因此为等差数列,则甲是乙的充分条件;
反之,乙:为等差数列,
即-==为常数,设为t,
即=t,则Sn=nan+1-t·n(n+1),
则Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)(n≥2),
两式相减得:an=nan+1-(n-1)an-2tn,
即an+1-an=2t,对n=1也成立,
因此为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件,C正确.
(解法二)甲:为等差数列,设数列的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d,
则=a1+d=n+a1-,
因此为等差数列,即甲是乙的充分条件;
反之,乙:为等差数列,
即-=D,=S1+(n-1)D,
即Sn=nS1+n(n-1)D,
Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,
当n≥2时,两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,
当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,因此为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件.
[溯源点评]本题是教材习题的变式,融入了简易逻辑知识,考查学生的基本功,即逻辑推理、数学运算等核心素养.
解题技法
等差数列的判定与证明的常用方法
主要 方法 定义法 对任意n∈N*,an+1-an是同一常数 {an}为等差数列.
等差中项法 2an+1=an+an+2 {an}为等差数列.
常用 结论 通项公式法 an=pn+q(p,q为常数) {an}是等差数列.
前n项和 公式法 Sn=An2+Bn(A,B为常数) {an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义
提醒:若要判定一个数列不是等差数列,则只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可.
对点训练
已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求a2,a3;
【解析】(1)由已知,得a2-2a1=4,
则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.
由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,
所以a3=15.
(2)证明:数列{}是等差数列,并求{an}的通项公式.
【解析】(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),
得=2,
即-=2,
所以数列{}是首项为=1,公差d=2的等差数列.
则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.
【加练备选】
　　已知数列{an}满足a1=,an+1+=1.设bn=,证明{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式.
【解析】因为bn+1-bn=-=-=-=-=1,
所以数列{bn}是以1为公差的等差数列.又b1=3,所以bn=3+n-1=n+2,所以an=.
考点三等差数列的性质
考情提示
等差数列的性质作为计算、推理的工具,在高考考查等差数列知识过程中无处不在,涉及条件的转化,式子的变形,数值的运算等.
角度1　等差中项的应用与推广
[例2](1)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=
(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选B.因为2an=an-1+an+1(n≥2),
所以是等差数列.
由等差数列的性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,
所以a4=4,a3=3,所以a3+a4=3+4=7.
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S9=18,=30(n>9),若Sn=336,则n的值为(　　)
A.18 B.19 C.20 D.21
【解析】选D.因为{an}是等差数列,
所以S9=9a5=18,a5=2,Sn===×32=16n=336,解得n=21.
角度2　等差数列求和
[例3](1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(　　)
A.63 B.45 C.36 D.27
【解析】选B.由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45.
(2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则=　　　　.
【解析】因为数列,为等差数列,且前n项和分别为An和Bn,
则=,且==,
又=,
所以===,
所以==×=.
答案:
角度3　等差数列求最值
[例4](一题多法)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选C.方法一 (邻项变号法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时Sn最大.
方法二 (函数法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.
方法三 (图象法):根据a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n==7时,Sn取得最大值.
解题技法
等差数列前n项和最值的求法
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数解析式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解;
(2)邻项变号法
①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;
②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
对点训练
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15=(　　)
A.35　 B.42　 C.49　 D.63
【解析】选B.在等差数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.
2.(2023·重庆模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 020,-=6,则S2 023=(　　)
A.2 023　 B.-2 023
C.4 046　 D.-4 046
【解析】选C.因为{}为等差数列,设公差为d',
则-=6d'=6,所以d'=1,
首项为=-2 020,
所以=-2 020+(2 023-1)×1=2,
所以S2 023=2 023×2=4 046.
3.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8 时Sn取得最大值,则d的取值范围为　　　　　　　　.
【解析】由题意,当且仅当n=8时Sn有最大值,
可得
即
解得-1答案: (-1,-)
考点四等差数列在实际生活中的应用
[例5]“今有竹9节,下部分3节总容量4升,上部分4节总容量3升,且自下而上每节容积成等差数列,问自下而上第四节和第五节容积各是多少 ”按此规律,自下而上第四节和第五节容积之和为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.依题意,令九节竹子从下到上的容积构成的等差数列为{an},n∈N*,n≤9,其公差为d,于是得:,
即有,
解得a5=,d=-,
所以自下而上第四节和第五节容积之和为a4+a5=2a5-d=.
解题技法
等差数列实际应用的解题策略
(1)审清题意,确定是否为等差问题,依据就是相邻项之间的差是否为同一个常数;
(2)对于等差问题,确定其首项、公差、项数、通项公式、前n项和,把实际问题转化为等差数列基本量的运算.
对点训练
我国二十四节气依次为:大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春,已知从冬至到夏至的日影长等量减少,若冬至、小雪、霜降三个节气的日影长之和为34.5寸,冬至到秋分七个节气的日影长之和为73.5寸,则立秋的日影长为(　　)
A. 1.5寸 B. 2.5寸
C. 3.5寸 D. 4.5寸
【解析】选D.因为从冬至到夏至的日影长等量减少,所以日影长可构成等差数列,由题意可知a1+a3+a5=34.5,则3a3=34.5,
故a3=11.5,又S7=(a1+a7)=7a4=73.5,
解得a4=10.5,
所以数列的公差为d=a4-a3=-1,a1=a4-3d=10.5+3=13.5,
所以立秋的日影长为a10=a1+9d=13.5-9=4.5.

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