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第六节　数列的综合应用
【核心考点·分类突破】
考点一等差、等比数列的交汇(规范答题)
[例1](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
审题导思破题点·柳暗花明
(1) 思路:根据等差数列的定义,灵活运用给定的条件,即可得到所求等差数列的通项公式;同时帮助学生理解题设条件,以顺利进入第(2)问的情境.
(2) 思路:所给题设条件“{bn}为等差数列”要求学生能够灵活转化为求解数列{an}中公差与首项的关系,可以采用通性通法来解答.
规范答题微敲点·水到渠成
【解析】(1)因为3a2=3a1+a3,
所以3d=a1+2d,解得a1=d,…………1分
关键点　根据已知条件,列方程求出首项a1和公差d的关系.
所以S3=3a2=3(a1+d)=6d,
又T3=b1+b2+b3=++=,
所以S3+T3=6d+=21,
即2d2-7d+3=0,
解得d=3或d=(舍去), ……………………3分
所以an=a1+(n-1)d=3n,
所以的通项公式为an=3n. ……………………4分
阅卷现场　(1)没有过程,只有an=3n得1分;
(2)结果正确时漏写a1=d不扣分;
(3)d=漏写只得1分.
(2)因为bn=,且为等差数列,
所以2b2=b1+b3,即=+, ……………………6分
所以-=,
所以-3a1d+2d2=0,
解得a1=d或a1=2d. ……………………8分
传技巧　取的前3项,利用等差中项2b2=b1+b3,得到首项a1和公差d之间的关系.
解法一:①当a1=d时,an=nd,
所以bn===,
S99===99×50d,
T99===.
因为S99-T99=99,
所以99×50d-=99,
关键点　利用S99-T99=99,列出关于d的方程,结果注意d>1.
即50d2-d-51=0,
解得d=或d=-1(舍去). ……………………10分
②当a1=2d时,an=(n+1)d,
所以bn===,
避易错　讨论另一种情况,不可遗漏.
S99===99×51d,
T99===.
因为S99-T99=99,
所以99×51d-=99,即51d2-d-50=0,
解得d=-(舍去)或d=1(舍去). ……………………11分
综上,d=. ………………12分
解法二:因为S99-T99=99,由等差数列的性质知,且99a50-99b50=99,即a50-b50=1,
传技巧　利用等差数列的性质,可以简化运算过程.列方程求出a50,注意由d>1可知an>0.
所以a50-=1,即a502-a50-2 550=0,
解得a50=51或a50=-50(舍去). ……………………10分
①当a1=d时,a50=a1+49d=50d=51,
解得d=.
②当a1=2d时,a50=a1+49d=51d=51,
解得d=1,与d>1矛盾,应舍去. ……………………11分
综上,d=. ………………………………12分
解法三:因为,都是等差数列,且anbn=n(n+1),
所以可设或, ………………………………9分
敲黑板　构造新数列要考虑全面,少写一组不得分.
(i)当an=(n+1),bn=kn时,
S99-T99=(2+3+…+100)-k(1+2+…+99)=99,即50k2+k-51=0,
解得k=-或k=1,因为d=k>1,所以均不合题意. ……………………10分
(ii)当an=kn,bn=(n+1)时,
S99-T99=k(1+2+…+99)-(2+3+…+100)=99,即50k2-k-51=0,
解得k=或k=-1.
因为d=k>1 ,所以k=,
所以d=. ………………………………12分
拓思维　高考命题强调“多思考,少运算”的理念,试题面向全体学生,为考生搭建展示数学能力的平台.本解法根据给出的条件,巧妙的构造新的数列,突破常规解法,灵活运用数列知识,解题方法“高人一招”,解题速度“快人一步”.
解题技法
等差、等比数列综合问题的求解策略
1.基本方法:求解等差、等比数列组成的综合问题,首先要根据数列的特征设出基本量,然后根据题目特征使用通项公式、求和公式、数列的性质等建立方程(组),确定基本量;
2.基本思路:注意按照顺序使用基本公式、等差中项、等比中项以及证明数列为等差、等比数列的方法确定解题思路.
对点训练
(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.
已知+n=2an+1.
(1)证明:{an}是等差数列;
【解析】(1)由+n=2an+1,
得2Sn+n2=2ann+n①,
所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1)②,
②-①,得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,
化简得an+1-an=1,
所以数列{an}是公差为1的等差数列.
(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
【解析】(2)由(1)知数列{an}的公差为1.
由a4,a7,a9成等比数列,得=a4a9,
即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12,
所以Sn=-12n+==(n-)2-,
所以,当n=12或n=13时,(Sn)min=-78.
考点二数列与函数、向量的综合
[例2](1)(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)=x3+4x,记等差数列{an}的前n项和为Sn,若f(a1+2)=100,f(a2 022+2)=-100,则S2 022等于(　　)
A.-4 044 B.-2 022 C.2 022 D.4 044
【解析】选A.因为f(-x)=-x3-4x=-f(x),
所以f(x)是奇函数,
因为f(a1+2)=100,f(a2 022+2)=-100,
所以f(a1+2)=-f(a2 022+2),
所以a1+2+a2 022+2=0,所以a1+a2 022=-4,
所以S2 022==-4 044.
(2)数列满足a1=1,a2=5,若m=,n=,m·n=0,则数列的通项公式为　　　　　　　.
【解析】由已知m·n=0,
得1×-2=0,
即-=2,
则是首项为a2-a1,公差为2的等差数列,
则an+1-an=+×2=2,
于是an=++…++a1=2n+2+…+2×2+1
=2+1=n2+n-1.
答案:an= n2+n-1
解题技法
数列与函数、向量的综合问题的求解策略
(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题;
(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形;
(3)涉及数列与三角函数有关的问题,常利用三角函数的周期性等特征,寻找规律后求解;
(4)涉及数列与向量有关的综合问题,应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式求解.
对点训练
1.已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=,若函数f(x)=sin 2x+2cos 2,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为(　　)
A.0 B.-9 C.9 D.1
【解析】选C.由题意知数列{an}是等差数列.
因为a5=,所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π.
f(x)=sin 2x+2cos2,所以f(x)=sin 2x+cos x+1,
所以f(a1)+f(a9)=sin 2a1+cos a1+1+sin 2a9+cos a9+1=2.
同理f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2.
因为f(a5)=1,所以数列{yn}的前9项和为9.
2.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为　　　　.
【解析】因为a4+λa10+a16=15,
所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,
令λ=f(d)=-2,因为d∈[1,2],
所以令t=1+9d,t∈[10,19],
因此λ=f(t)=-2.
当t∈[10,19]时,函数λ=f(t)是减函数,
故当t=10时,实数λ有最大值,
最大值为f(10)=-.
答案:-
考点三数列与不等式的综合
考情提示
数列不等式作为考查数列综合知识的载体,因其全面考查数列的性质、递推公式、求和等知识而成为高考命题的热点,重点考查不等式的证明、参数范围、最值等.
角度1 数列中的最值
[例3]公比为2的等比数列{an}中存在两项am,an满足aman=16,则+的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.由等比数列的通项公式知am=a1×2m-1,an=a1×2n-1,由aman=16,
可得×2m+n-2=16,易知a1≠0,
故2m+n-2=16,解得m+n=6,
则+=(m+n)·(+)=(1+++4)≥(5+2)=(当且仅当m=2,n=4时取等号).
角度2 数列中的不等式证明
[例4](2023·宁德模拟)已知数列,满足bn=an+n2,a1+b1=3,a2+b2=8,且数列是等差数列.
(1)求数列的通项公式;
【解析】(1)由bn=an+n2得b1=a1+1,b2=a2+4,
代入a1+b1=3,a2+b2=8得2a1+1=3,2a2+4=8,解得a1=1,a2=2.
又因为数列为等差数列,
故公差为d=a2-a1=1,
因此an=n,bn=n+n2.
(2)记数列的前n项和为Sn,求证:≤Sn<1.
【解析】(2)由(1)可得bn=n+n2,
所以==-,
所以Sn=+++…+=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-,又因为n∈N*,
所以0<≤(n=1时等号成立),
所以≤1-<1,即≤Sn<1.
角度3 数列中的不等式恒成立
[例5]已知数列{an}的通项公式为an=5-n,其前n项和为Sn,将数列{an}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项,记{bn}的前n项和为Tn.若存在m∈N*,使对任意n∈N*,Sn≤Tm+λ恒成立,则实数λ的取值范围是(　　)
A.[2,+∞) B.(3,+∞)
C.[3,+∞) D.(2,+∞)
【解析】选D.依题意得Sn==,根据二次函数的性质知,当n=4,5时,Sn取得最大值为10.另外,根据通项公式得数列{an}的前4项为a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,观察易知抽掉第二项后,余下的三项可组成等比数列,所以数列{bn}中,b1=4,公比q=,所以Tn==8(1-),所以4≤Tn<8.因为存在m∈N*,对任意n∈N*,Sn≤Tm+λ恒成立,所以10<8+λ,所以λ>2.
解题技法
数列与不等式交汇问题的解题策略
(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.
(2)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.
(3)数列中有关项或前n项和的恒成立问题,常转化为数列的最值问题;求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.
对点训练
1.(2023·重庆模拟)设a>0,b>0,若3是3a与9b的等比中项,则+的最小值为(　　)
A. B.3 C.+ D.4
【解析】选A.因为3是3a与9b的等比中项,
所以32=3a·9b=3a+2b,所以a+2b=2,
所以+=·(+)·(a+2b)=(5++)≥·(5+2)=,当且仅当a=b=时取等号.
2.数列{an}满足a1=,an+1=,若不等式++…+A. B. C. D.
【解析】选A.因为数列{an}满足a1=,an+1=,所以反复代入计算可得a2=,a3=,a4=,a5=,…,由此可归纳出通项公式an=,经验证,成立,所以=1+=1+-),所以++…+=n+1+(1+--)=
n+-+).因为要求++…+3.(2023·南京模拟)已知数列的前n项和为Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*.
(1)求数列的通项公式;
【解析】(1)(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,
则(n-2)Sn+1+2(Sn+1-Sn)=nSn,
整理得到nSn+1=(n+2)Sn,故=,
故是常数列,故==1,
即Sn=n(n+1).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2n,
验证当n=1时满足,故an=2n,n∈N*.
(2)求证:++…+<.
【解析】(2)=<=-),
故++…+<+-+-+…+-)=+-)<+×=<.
考点四数学文化与数列的实际应用
[例6](1)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=(　　)
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
【解析】选D.设OD1=DC1=CB1=BA1=1,
则CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3,
依题意,有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2,
且=0.725,
所以=0.725,故k3=0.9.
(2)据统计测量,已知某养鱼场,第一年鱼的质量增长率为200%,以后每年的增长率为前一年的一半.若饲养5年后,鱼的质量预计为原来的t倍.下列选项中,与t值最接近的是(　　)
A.11 B.13 C.15 D.17
【解析】选B.设鱼原来的质量为a,饲养n年后鱼的质量为an,q=200%=2,则a1=a(1+q),a2=a1(1+)=a(1+q) (1+),…,a5=a(1+2)×(1+1)×(1+)×(1+)×(1+)=
a≈12.7a,即5年后,鱼的质量预计为原来的13倍.
解题技法
数列在实际应用中的常见模型
等差 模型 如果增加(或减少)的量是一个固定的数,则该模型是等差模型,这个固定的数就是公差
等比 模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数,则该模型是等比模型,这个固定的数就是公比
递推 数列 模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,则应考虑考查的是第n项an与第(n+1)项an+1(或者相邻三项等)之间的递推关系还是前n项和Sn与前(n+1)项和Sn+1之间的递推关系
对点训练
1.(2023·武汉模拟)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献,他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》,该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为2,3,6,11,则该数列的第15项为(　　)
A.196 B.197 C.198 D.199
【解析】选C.设该数列为,
则a1=2,a2=3,a3=6,a4=11.由二阶等差数列的定义可知,a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…所以数列是以a2-a1=1为首项,公差d=2的等差数列,即an+1-an=2n-1,所以a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,an+1-an=2n-1.
将所有上式累加可得an+1=a1+n2=n2+2,
所以a15=142+2=198,
即该数列的第15项为198.
2.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进,以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一,截至2020年底,我国已累计开通5G基站超70万个,未来将进一步完善基础网络体系,稳步推进5G网络建设,实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.若2021年1月计划新建设5万个5G基站,以后每个月比上一个月多建设1万个,预计我国累计开通500万个5G基站时要到(参考数据:≈59.34)
(　　)
A.2022年12月　 B.2023年2月
C.2023年4月　 D.2023年6月
【解析】选B.自2021年开始,每个月开通5G基站的个数是以5为首项,1为公差的等差数列,
设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月,则70+5n+×1=500,
化简整理得,n2+9n-860=0,
解得n≈25.17或n≈-34.17(舍去),
所以预计我国累计开通500万个5G基站需要26个月,也就是到2023年2月.第六节　数列的综合应用
【核心考点·分类突破】
考点一等差、等比数列的交汇(规范答题)
[例1](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
审题导思破题点·柳暗花明
(1) 思路:根据等差数列的定义,灵活运用给定的条件,即可得到所求等差数列的通项公式;同时帮助学生理解题设条件,以顺利进入第(2)问的情境.
(2) 思路:所给题设条件“{bn}为等差数列”要求学生能够灵活转化为求解数列{an}中公差与首项的关系,可以采用通性通法来解答.
规范答题微敲点·水到渠成
解题技法
等差、等比数列综合问题的求解策略
1.基本方法:求解等差、等比数列组成的综合问题,首先要根据数列的特征设出基本量,然后根据题目特征使用通项公式、求和公式、数列的性质等建立方程(组),确定基本量;
2.基本思路:注意按照顺序使用基本公式、等差中项、等比中项以及证明数列为等差、等比数列的方法确定解题思路.
对点训练
(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.
已知+n=2an+1.
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
考点二数列与函数、向量的综合
[例2](1)(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)=x3+4x,记等差数列{an}的前n项和为Sn,若f(a1+2)=100,f(a2 022+2)=-100,则S2 022等于(　　)
A.-4 044 B.-2 022 C.2 022 D.4 044
(2)数列满足a1=1,a2=5,若m=,n=,m·n=0,则数列的通项公式为　　　　　　　.
解题技法
数列与函数、向量的综合问题的求解策略
(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题;
(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形;
(3)涉及数列与三角函数有关的问题,常利用三角函数的周期性等特征,寻找规律后求解;
(4)涉及数列与向量有关的综合问题,应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式求解.
对点训练
1.已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=,若函数f(x)=sin 2x+2cos 2,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为(　　)
A.0 B.-9 C.9 D.1
2.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为　　　　.
考点三数列与不等式的综合
考情提示
数列不等式作为考查数列综合知识的载体,因其全面考查数列的性质、递推公式、求和等知识而成为高考命题的热点,重点考查不等式的证明、参数范围、最值等.
角度1 数列中的最值
[例3]公比为2的等比数列{an}中存在两项am,an满足aman=16,则+的最小值为(　　)
A. B. C. D.
角度2 数列中的不等式证明
[例4](2023·宁德模拟)已知数列,满足bn=an+n2,a1+b1=3,a2+b2=8,且数列是等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Sn,求证:≤Sn<1.
角度3 数列中的不等式恒成立
[例5]已知数列{an}的通项公式为an=5-n,其前n项和为Sn,将数列{an}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项,记{bn}的前n项和为Tn.若存在m∈N*,使对任意n∈N*,Sn≤Tm+λ恒成立,则实数λ的取值范围是(　　)
A.[2,+∞) B.(3,+∞)
C.[3,+∞) D.(2,+∞)
解题技法
数列与不等式交汇问题的解题策略
(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.
(2)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.
(3)数列中有关项或前n项和的恒成立问题,常转化为数列的最值问题;求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.
对点训练
1.(2023·重庆模拟)设a>0,b>0,若3是3a与9b的等比中项,则+的最小值为(　　)
A. B.3 C.+ D.4
2.数列{an}满足a1=,an+1=,若不等式++…+A. B. C. D.
3.(2023·南京模拟)已知数列的前n项和为Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:++…+<.
考点四数学文化与数列的实际应用
[例6](1)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=(　　)
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
(2)据统计测量,已知某养鱼场,第一年鱼的质量增长率为200%,以后每年的增长率为前一年的一半.若饲养5年后,鱼的质量预计为原来的t倍.下列选项中,与t值最接近的是(　　)
A.11 B.13 C.15 D.17
解题技法
数列在实际应用中的常见模型
等差 模型 如果增加(或减少)的量是一个固定的数,则该模型是等差模型,这个固定的数就是公差
等比 模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数,则该模型是等比模型,这个固定的数就是公比
递推 数列 模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,则应考虑考查的是第n项an与第(n+1)项an+1(或者相邻三项等)之间的递推关系还是前n项和Sn与前(n+1)项和Sn+1之间的递推关系
对点训练
1.(2023·武汉模拟)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献,他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》,该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为2,3,6,11,则该数列的第15项为(　　)
A.196 B.197 C.198 D.199
2.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进,以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一,截至2020年底,我国已累计开通5G基站超70万个,未来将进一步完善基础网络体系,稳步推进5G网络建设,实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.若2021年1月计划新建设5万个5G基站,以后每个月比上一个月多建设1万个,预计我国累计开通500万个5G基站时要到(参考数据:≈59.34)
(　　)
A.2022年12月　 B.2023年2月
C.2023年4月　 D.2023年6月

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