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第三节　等比数列
【课标解读】
【课程标准】
1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
【核心素养】
数学建模、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以等比数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列与等比数列的综合应用是高考的热点,在各个题型中均有出现.
预测 高考会从以下两个角度来考查:(1)等比数列及其前n项和的基本运算与性质,可能与等差数列综合出题,难度中等;(2)等比数列的综合应用,可能与函数、方程、不等式结合考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.等比数列的有关概念
定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列
通项 公式 设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式an=a1qn-1.推广:an=am(m,n∈N*)
等比 中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab
微点拨
(1)等比数列中不含有0项;
(2)同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.
2.等比数列的前n项和公式
微点拨
在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
3.等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an=·qn,而y=·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列·qn中的各项的点是函数y=·qx的图象上孤立的点.
4.等比数列的性质
(1)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq.
特别地,若m+n=2p,则am·an=.
(2)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(公比q≠-1).
(3)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,
an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)等比数列{an}的单调性:
当q>1,a1>0或0当q>1,a1<0或00时,数列{an}是递减数列;
当q=1时,数列{an}是常数列.
常用结论
1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{},{},
{an·bn},{}也是等比数列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.等比数列{an}的前n项和Sn,可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0).
4.三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为,,xq,xq3.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　)
(2)三个数a,b,c成等比数列的充分不必要条件是b2=ac.(　　)
(3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　　)
(4)如果数列{an}为正项等比数列,则数列{ln an}是等差数列.(　　)
2.(选择性必修第二册P29例1·变形式)若{an}是各项均为正数的等比数列,且a1=1,a5=16,则a6-a5=(　　)
A.32 B.-48 C.16 D.-48或16
3.(忽视前n项和的条件致误)等比数列{an}中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为(　　)
A.1 B.- C.1或- D.-1或-
4.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(　　)
A.14　 B.12　 C.6　 D.3
【核心考点·分类突破】
考点一等比数列基本量的运算
1.正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若a3=,S3=7,则a5=(　　)
A.8　 B.16　 C.27　 D.81
2.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a1=2S3-3a2,S2=a3-2,则S8=(　　)
A.510　 B.511　 C.1 022　 D.1 023
3.(多选题)(2024·成都调研)已知等比数列{an}的各项均为正数,且3a1,a3,2a2成等差数列,则下列说法正确的是(　　)
A.a1>0　 B.q>0
C.=3或-1　 D.=9
4.在等比数列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=　　　　　.
5.设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=　　　　　.
6.已知数列{an}为等比数列,a1=3,3a1,2a2,a3成等差数列,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　.
解题技法
解决等比数列有关问题的两种常用思想
(1)方程思想:等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)分类讨论思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.
考点二等比数列的判定与证明
[例1](1)设n∈N*,则“数列{an}为等比数列”是“数列为等比数列”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*),
①求证:数列为等比数列;
②求数列{an}的通项公式.
解题技法
等比数列的判定方法
定义法 若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列
等比中项法 若数列{an}中,an≠0且=an·(n∈N*),则{an}是等比数列
对点训练
数列{an}中,a1=2,an+1=an(n∈N*).
证明:数列{}是等比数列,并求数列{an}的通项公式.
【加练备选】
　　成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3,b4,b5.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+}是等比数列.
考点三等比数列性质的应用
考情提示
等比数列的性质作为解决等比数列问题的工具,因其考查数列知识较全面而成为高考命题的热点,重点解决基本量运算、条件转化等.
角度1　等比数列项的性质
[例2](1)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=16,则log2a1+log2a2+…
+log2a10=(　　)
A.20　 B.15
C.8　 D.3+log25
(2)已知各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn,a2a4=9,9S4=10S2,则a2+a4的值为(　　)
A.30 B.10 C.9 D.6
角度2　等比数列前n项和的性质
[例3](1)(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(　　)
A.7　 B.8　 C.9　 D.10
(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为(　　)
A.10 B.15 C.20 D.25
角度3　等比数列的单调性及最值
[例4](1)已知{an}是等比数列,a1>0,前n项和为Sn,则“2S8A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件a1>1,a2 023a2 024>1,<0,下列结论正确的是(　　)
A.S2 023B.a2 023a2 025-1<0
C.T2 024是数列{Tn}中的最大值
D.数列{Tn}无最大值
解题技法
1.应用等比数列性质的两个关注点
(1)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质.
(2)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列问题解决,例如有关Sm,S2m,S3m的问题可利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(Sm≠0)成等比数列求解.
2.等比数列的单调性的应用方法
研究等比数列的单调性问题,要综合考虑首项的符号以及公比的取值范围,而涉及等比数列有关的单调性的充分必要条件问题,既要考虑数列的单调性也要善于举反例说明.
对点训练
1.在等比数列{an}中,a1,a17是方程x2-14x+9=0的两根,则的值为(　　)
A.　 B.3　 C.±　 D.±3
2.已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　　. 第三节　等比数列
【课标解读】
【课程标准】
1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
【核心素养】
数学建模、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以等比数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列与等比数列的综合应用是高考的热点,在各个题型中均有出现.
预测 高考会从以下两个角度来考查:(1)等比数列及其前n项和的基本运算与性质,可能与等差数列综合出题,难度中等;(2)等比数列的综合应用,可能与函数、方程、不等式结合考查.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.等比数列的有关概念
定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列
通项 公式 设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式an=a1qn-1.推广:an=am(m,n∈N*)
等比 中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab
微点拨
(1)等比数列中不含有0项;
(2)同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.
2.等比数列的前n项和公式
微点拨
在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
3.等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an=·qn,而y=·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列·qn中的各项的点是函数y=·qx的图象上孤立的点.
4.等比数列的性质
(1)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq.
特别地,若m+n=2p,则am·an=.
(2)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(公比q≠-1).
(3)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,
an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)等比数列{an}的单调性:
当q>1,a1>0或0当q>1,a1<0或00时,数列{an}是递减数列;
当q=1时,数列{an}是常数列.
常用结论
1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{},{},
{an·bn},{}也是等比数列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.等比数列{an}的前n项和Sn,可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0).
4.三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为,,xq,xq3.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　)
提示:(1)×.q不能为0;
(2)三个数a,b,c成等比数列的充分不必要条件是b2=ac.(　　)
提示: (2)√.当a=b=c=0时满足b2=ac,但不是等比数列;
(3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　　)
提示: (3)×.a=1时不成立;
(4)如果数列{an}为正项等比数列,则数列{ln an}是等差数列.(　　)
提示: (4)√.an>0,设an=a1qn-1,则ln an=ln a1+(n-1)ln q是等差数列.
2.(选择性必修第二册P29例1·变形式)若{an}是各项均为正数的等比数列,且a1=1,a5=16,则a6-a5=(　　)
A.32 B.-48 C.16 D.-48或16
【解析】选C.由题意,q>0,则q=2,所以a6-a5=a5(q-1)=16.
3.(忽视前n项和的条件致误)等比数列{an}中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为(　　)
A.1 B.- C.1或- D.-1或-
【解析】选C.因为S3=18,a3=6,所以a1+a2=
(1+q)=12,故2q2-q-1=0,解得q=1或q=-.
4.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(　　)
A.14　 B.12　 C.6　 D.3
【解析】选D.设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
由题意可得即
解得所以a6=a1q5=3.
【核心考点·分类突破】
考点一等比数列基本量的运算
1.正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若a3=,S3=7,则a5=(　　)
A.8　 B.16　 C.27　 D.81
【解析】选B.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0).由a3=,可得a3=q2,
所以a2=q,a1=1,
所以S3=a1+a2+a3=1+q+q2=7,
解得q=2(q=-3舍去),
所以a5=a1q4=1×24=16.
2.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a1=2S3-3a2,S2=a3-2,则S8=(　　)
A.510　 B.511　 C.1 022　 D.1 023
【解析】选A.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),则由2S3=3a2+8a1得2a1+2a2+2a3=3a2+8a1,
即6a1+a2-2a3=0,即a1(6+q-2q2)=0,又a1≠0,所以6+q-2q2=0,
解得q=2或q=-(舍去).
由S2=a3-2得a1=2,所以S8==29-2=510.
3.(多选题)(2024·成都调研)已知等比数列{an}的各项均为正数,且3a1,a3,2a2成等差数列,则下列说法正确的是(　　)
A.a1>0　 B.q>0
C.=3或-1　 D.=9
【解析】选ABD.设等比数列{an}的公比为q,
由题意得2(a3)=3a1+2a2,即a1q2=3a1+2a1q.
因为数列{an}的各项均为正数,所以a1>0,且q>0,故A,B正确;
由q2-2q-3=0,解得q=3或q=-1(舍去),
所以=q=3,=q2=9,故C错误,D正确.
4.在等比数列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=　　　　　.
【解析】设等比数列{an}的公比为q(q≠0且q≠±1),则两式相除,得=,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.
所以或故a3=4或a3=-4.
答案:4或-4
5.设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=　　　　　.
【解析】由=a6得(a1q3)2=a1q5,整理得q==3.
所以S5===.
答案:
6.已知数列{an}为等比数列,a1=3,3a1,2a2,a3成等差数列,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　.
【解析】设数列{an}的公比为q,由题意知4a2=3a1+a3,即4q=3+q2,解得q=1或q=3,
当q=1时,Sn=3n;
当q=3时,Sn=·3n+1-.
答案:3n或·3n+1-
解题技法
解决等比数列有关问题的两种常用思想
(1)方程思想:等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)分类讨论思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.
考点二等比数列的判定与证明
[例1](1)设n∈N*,则“数列{an}为等比数列”是“数列为等比数列”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.充分性:若数列为等比数列,公比为q,所以数列为公比为的等比数列,充分性成立;必要性:若数列为等比数列,公比为q,则=±,所以数列不是等比数列,必要性不成立.
(2)已知数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n-1(n∈N*),
①求证:数列为等比数列;
【解析】①因为2an+1=6an+2n-1(n∈N*),
所以an+1=3an+n-,
所以===3,因为a1+=1+=,
所以数列是首项为,公比为3的等比数列.
②求数列{an}的通项公式.
【解析】②由①得,an+=×3n-1=×3n,
所以an=×3n-.
解题技法
等比数列的判定方法
定义法 若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列
等比中项法 若数列{an}中,an≠0且=an·(n∈N*),则{an}是等比数列
对点训练
数列{an}中,a1=2,an+1=an(n∈N*).
证明:数列{}是等比数列,并求数列{an}的通项公式.
【解析】由题设得=·,
又=2,
所以数列{}是首项为2,公比为的等比数列,
所以=2×()n-1=22-n,an=n·22-n=.
【加练备选】
　　成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3,b4,b5.
(1)求数列{bn}的通项公式;
【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,
依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.
所以数列中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.
依题意,
有(7-d)(18+d)=100,
解得d=2或d=-13(舍去),
故数列的第3项为5,公比为2.
由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.
所以数列是以为首项,以2为公比的等比数列,
其通项公式为bn=·2n-1=5·2n-3.
(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+}是等比数列.
【解析】(2)数列的前n项和Sn==5·2n-2-,即Sn+=5·2n-2,
所以S1+=,==2.
因此{Sn+}是以为首项,以2为公比的等比数列.
考点三等比数列性质的应用
考情提示
等比数列的性质作为解决等比数列问题的工具,因其考查数列知识较全面而成为高考命题的热点,重点解决基本量运算、条件转化等.
角度1　等比数列项的性质
[例2](1)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=16,则log2a1+log2a2+…
+log2a10=(　　)
A.20　 B.15
C.8　 D.3+log25
【解析】选B.因为{an}是等比数列,所以a5a6=a4a7,故a5a6+a4a7=2a5a6=16,解得a5a6=8,
所以log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2·…·a10)=log2=5log2(a5a6)
=5log28=15.
(2)已知各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn,a2a4=9,9S4=10S2,则a2+a4的值为(　　)
A.30 B.10 C.9 D.6
【解析】选B.已知为各项均为正数的等比数列,则an>0,可得a1>0,q>0,
因为=a2a4=9, 所以a3=3,
又因为9S4=10S2,则9(a1+a2+a3+a4)=10(a1+a2),
可得9(a3+a4)=a1+a2,
所以=q2=,解得q=,
故a2+a4=+a3q=10.
角度2　等比数列前n项和的性质
[例3](1)(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(　　)
A.7　 B.8　 C.9　 D.10
【解析】选A.方法一:设数列{an}的公比为q,因为S2=4,S4=6,则易知公比q≠±1,所以由等比数列的前n项和公式,
得两式相除,得q2=,所以
或所以S6==7.
方法二:易知S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列,
由等比中项的性质得S2(S6-S4)=(S4-S2)2,
即4(S6-6)=22,所以S6=7.
(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为(　　)
A.10 B.15 C.20 D.25
【解析】选C.由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,
由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+5.
又由等比数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,
则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.
于是a9+a10+a11+a12=S12-S8==S4++10≥2+10=20,
当且仅当S4=5时等号成立.
所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.
角度3　等比数列的单调性及最值
[例4](1)已知{an}是等比数列,a1>0,前n项和为Sn,则“2S8A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为数列是等比数列,a1>0,2S8所以a80,所以q<0或q>1,
所以2S81.
又a1>0,数列为递增数列的充要条件为q>1,
所以“2S8(2)(多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件a1>1,a2 023a2 024>1,<0,下列结论正确的是(　　)
A.S2 023B.a2 023a2 025-1<0
C.T2 024是数列{Tn}中的最大值
D.数列{Tn}无最大值
【解析】选AB.当q<0时,a2 023a2 024=q<0,不成立;
当q≥1时,a2 023>1,a2 024>1,>0,不成立;
故01,0S2 023,A正确;
a2 023a2 025-1=-1<0,故B正确;
T2 023是数列{Tn}中的最大值,C,D错误.
解题技法
1.应用等比数列性质的两个关注点
(1)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质.
(2)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列问题解决,例如有关Sm,S2m,S3m的问题可利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(Sm≠0)成等比数列求解.
2.等比数列的单调性的应用方法
研究等比数列的单调性问题,要综合考虑首项的符号以及公比的取值范围,而涉及等比数列有关的单调性的充分必要条件问题,既要考虑数列的单调性也要善于举反例说明.
对点训练
1.在等比数列{an}中,a1,a17是方程x2-14x+9=0的两根,则的值为(　　)
A.　 B.3　 C.±　 D.±3
【解析】选B.因为a1,a17是方程x2-14x+9=0的两根,所以a1a17=9,a1+a17=14,所以a1>0,a17>0.又数列{an}为等比数列,所以a1a17=a2a16==9,且a9>0,所以a9=3,因此=a9=3.
2.已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　　.
【解析】由题意,得
解得
所以q===2.
答案:2

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