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第四节　求通项公式
【核心考点·分类突破】
模型一形如an+1=pan+q
[例1](1)数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则a2 025等于(　　)
A.22 024-1　 B.42 024-1
C.22 024+1　 D.42 024+1
(2)已知数列{an}的首项a1=1,且=+2,则an=　　　　　　　　.
解题技法
形如an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)
第①步:假设将递推公式改写为an+1+t=p(an+t)的形式;
第②步:由待定系数法,解得t=;
第③步:写出数列{an+}的通项公式;
第④步:写出数列{an}的通项公式.
对点训练
已知在数列{an}中,a1=1,且an+1+2an+3=0,n∈N*,数列{an}的前n项和为Sn,则S6=　　　　　.
模型二形如an+1=pan+qn+c
[例2]已知数列{an}满足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,则an=　　　　　.
解题技法
形如an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)
第①步:假设将递推公式改写为an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式;
第②步:由待定系数法,求出x,y的值;
第③步:写出数列{an+xn+y}的通项公式;
第④步:写出数列{an}的通项公式.
对点训练
已知a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,则an=　　　　　　　　　.
模型三形如an+1=pan+qn
[例3]在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=　　　　　.
解题技法
形如an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)
第①步:在递推公式两边同除以qn+1,得=·+.
第②步:求数列{}的通项公式.
(i)当p=q时,原式可以变形为=+的形式,则数列{}为等差数列;
(ii)当p≠q时,原式可以变形为+λ=·(+λ)的形式,则数列{+λ}为等比数列.
第③步:写出数列{an}的通项公式.
对点训练
已知数列{an}中,a1=,an+1=an+()n+1,则an=　　　　　.
[例4](1)已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10等于(　　)
A.47　 B.48　 C.49　 D.410
(2)已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),则an=　　　　　　　　　.
解题技法
形如an+1=pan+qan-1
(其中p,q为常数,且pq≠0,n≥2)
第①步:假设将递推公式改写成an+1+san=t(an+san-1);
第②步:利用待定系数法,求出s,t的值;
第③步:求数列{an+1+san}的通项公式;
第④步:根据数列{an+1+san}的通项公式,求出数列{an}的通项公式.
对点训练
数列{an}中,a1=1,a2=,an+2=an+1-an,求数列{an}的通项公式.
[例5]已知在数列{an}中,a1=2,an+1=,则an=　　　　　　　　.
解题技法
形如an+1=(其中p,q,r均不为0)
第①步:将递推公式两边取倒数得=·+;
第②步:利用模型一中的构造法,求出数列{}的通项公式;
第③步:求出数列{an}的通项公式.
对点训练
(多选题)数列{an}满足an+1=(n∈N*),a1=1,则下列结论正确的是(　　)
A.=+　 B.{}是等比数列
C.(2n-1)an=1　 D.3a5a17=a49第四节　求通项公式
【核心考点·分类突破】
模型一形如an+1=pan+q
[例1](1)数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则a2 025等于(　　)
A.22 024-1　 B.42 024-1
C.22 024+1　 D.42 024+1
【解析】选B.因为an=4an-1+3(n≥2),
所以an+1=4(an-1+1)(n≥2),
所以{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列,
则an+1=4n-1.
所以an=4n-1-1,所以a2 025=42 024-1.
(2)已知数列{an}的首项a1=1,且=+2,则an=　　　　　　　　.
【解析】因为=+2,等式两边同时加1整理得+1=3(+1),
又因为a1=1,所以+1=2,
所以{+1}是首项为2,公比为3的等比数列.
所以+1=2·3n-1,所以an=.
答案:
解题技法
形如an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)
第①步:假设将递推公式改写为an+1+t=p(an+t)的形式;
第②步:由待定系数法,解得t=;
第③步:写出数列{an+}的通项公式;
第④步:写出数列{an}的通项公式.
对点训练
已知在数列{an}中,a1=1,且an+1+2an+3=0,n∈N*,数列{an}的前n项和为Sn,则S6=　　　　　.
【解析】因为an+1=-2an-3,
所以an+1+1=-2(an+1),
因为a1+1=2≠0,所以数列{an+1}是以2为首项,-2为公比的等比数列,
所以an+1=2×(-2)n-1,
即an=2×(-2)n-1-1,Sn=[1-(-2)n]-n,
所以S6=×(1-26)-6=-48.
答案:-48
模型二形如an+1=pan+qn+c
[例2]已知数列{an}满足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,则an=　　　　　.
【解析】因为an+1=2an-n+1,
设an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),化简后an+1=2an+xn+y-x,对比原式解方程组得x=-1,y=0,
即an+1-(n+1)=2(an-n),
所以=2,
即数列{an-n}是以a1-1=2为首项,2为公比的等比数列,则an-n=2·2n-1=2n,
所以an=2n+n.
答案:2n+n
解题技法
形如an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)
第①步:假设将递推公式改写为an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式;
第②步:由待定系数法,求出x,y的值;
第③步:写出数列{an+xn+y}的通项公式;
第④步:写出数列{an}的通项公式.
对点训练
已知a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,则an=　　　　　　　　　.
【解析】设an+pn+q=[an-1+p(n-1)+q],
即an=an-1-pn-p-q,
与原式比较,对应项系数相等得,
解得
首项a1-4+6=3,
所以{an-4n+6}是3为首项,为公比的等比数列,
所以an-4n+6=3·()n-1,
所以an=3·()n-1+4n-6.
答案:3·()n-1+4n-6
模型三形如an+1=pan+qn
[例3]在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=　　　　　.
【解析】方法一:原递推式可化为
an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).①
比较系数得λ=-4,①式即是an+1-4·3n=2(an-4·3n-1).
则数列{an-4·3n-1}是首项为a1-4×31-1=-5,公比为2的等比数列,
所以an-4·3n-1=-5·2n-1,
即an=4·3n-1-5·2n-1.
方法二:将an+1=2an+4·3n-1的两边同除以3n+1,得=·+,
设bn=,则bn+1=bn+,
设bn+1+k=(bn+k),比较系数得k=-,则=,
所以{bn-}是以-为首项,为公比的等比数列.所以bn-=(-)·()n-1,
则bn=-·()n-1,
所以an=3n·bn=4·3n-1-5·2n-1.
答案:4·3n-1-5·2n-1
解题技法
形如an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)
第①步:在递推公式两边同除以qn+1,得=·+.
第②步:求数列{}的通项公式.
(i)当p=q时,原式可以变形为=+的形式,则数列{}为等差数列;
(ii)当p≠q时,原式可以变形为+λ=·(+λ)的形式,则数列{+λ}为等比数列.
第③步:写出数列{an}的通项公式.
对点训练
已知数列{an}中,a1=,an+1=an+()n+1,则an=　　　　　.
【解析】方法一:构造数列an+1+λ()n+1=[an+λ()n],
化简成原式结构,得an+1=an-λ()n+1,
由对应项系数相等得λ=-3,
设bn=an-3()n,b1=a1-3()1=-,
所以数列{bn}是以-为首项,为公比的等比数列,则bn=-)n-1,
所以an=-.
方法二:将an+1=an+()n+1两边同乘2n+1,
得2n+1·an+1=(2n·an)+1.
令bn=2n·an,则bn+1=bn+1,又回到了模型一的方法,根据待定系数法,
得bn+1-3=(bn-3),所以数列{bn-3}是首项为b1-3=2×-3=-,公比为的等比数列,所以bn-3=-·()n-1,
即bn=3-2·()n,
所以an==-.
方法三:将an+1=an+()n+1两边分别除以()n+1,
得3n+1an+1=3nan+()n+1.
令bn=3n·an,则bn+1=bn+()n+1,
所以bn-bn-1=()n,bn-1-bn-2=()n-1,…,b2-b1=()2.
将以上各式叠加,得bn-b1=()2+…+()n-1+()n.
又b1=3a1=3×==1+,
所以bn=1++()2+…+()n-1+()n==2·()n+1-2,
所以an==-.
答案:-
模型四形如an+1=pan+qan-1
[例4](1)已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10等于(　　)
A.47　 B.48　 C.49　 D.410
【解析】选C.由题意得a1+a2=4,
由an=3an-1+4an-2(n≥3),
得an+an-1=4(an-1+an-2),
即=4(n≥3),
所以数列{an+an+1}是首项为4,公比为4的等比数列,所以a9+a10=49.
(2)已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),则an=　　　　　　　　　.
【解析】因为an=2an-1+3an-2(n≥3),
所以an+an-1=3(an-1+an-2),
又a1+a2=7,
所以{an+an-1}是首项为7,公比为3的等比数列,
则an+an-1=7×3n-2①,n≥2,
又an-3an-1=-(an-1-3an-2)(n≥3),
a2-3a1=-13,
所以{an-3an-1}是首项为-13,公比为-1的等比数列,
则an-3an-1=(-13)·(-1)n-2②,n≥2,
①×3+②得,4an=7×3n-1+13·(-1)n-1,
所以an=×3n-1+(-1)n-1,n≥2.
当n=1时,a1=5也满足上式.
则an=×3n-1+(-1)n-1.
答案:×3n-1+(-1)n-1
解题技法
形如an+1=pan+qan-1
(其中p,q为常数,且pq≠0,n≥2)
第①步:假设将递推公式改写成an+1+san=t(an+san-1);
第②步:利用待定系数法,求出s,t的值;
第③步:求数列{an+1+san}的通项公式;
第④步:根据数列{an+1+san}的通项公式,求出数列{an}的通项公式.
对点训练
数列{an}中,a1=1,a2=,an+2=an+1-an,求数列{an}的通项公式.
【解析】由an+2=an+1-an,
得an+2-an+1=(an+1-an),
故{an+1-an}是以a2-a1=为首项,为公比的等比数列,即an+1-an=()n,
利用叠加法将an+1-an=()n,…,a2-a1=,
上式全部相加,利用等比数列求和得an+1-a1=2-2()n,所以an=3-2()n-1.
模型五形如an+1=型
[例5]已知在数列{an}中,a1=2,an+1=,则an=　　　　　　　　.
【解析】因为=3·+1,
所以+=3(+),+=1,
所以{+}是以1为首项,3为公比的等比数列,
所以+=3n-1,
所以=3n-1-,所以an=.
答案:
解题技法
形如an+1=(其中p,q,r均不为0)
第①步:将递推公式两边取倒数得=·+;
第②步:利用模型一中的构造法,求出数列{}的通项公式;
第③步:求出数列{an}的通项公式.
对点训练
(多选题)数列{an}满足an+1=(n∈N*),a1=1,则下列结论正确的是(　　)
A.=+　 B.{}是等比数列
C.(2n-1)an=1　 D.3a5a17=a49
【解析】选ABC.由an+1=,
可得==+2,所以-=2,且=1,所以数列{}是等差数列,且该数列的首项为1,公差为2,所以=1+2(n-1)=2n-1,
则(2n-1)an=1,其中n∈N*,故C对;
==22=4,所以数列{}是等比数列,故B对;
由等差中项的性质可得=+,故A对;
由上可知an=,则3a5a17=3××=,a49==,
所以3a5a17≠a49,故D错.

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