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第一节　数列的概念
【课标解读】
【课程标准】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
3.能够利用an与Sn的关系求数列的通项公式.
4.能根据数列递推关系求数列的项或通项公式.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 高考题常以数列的概念为载体,考查数列项、前n项和及其与通项公式的关系.Sn和an的关系是高考热点,在各种题型中都会有所体现.
预测 2025年高考会以特殊数列为主,考查数列的通项公式与前n项和公式以及递推公式,在选择题、填空题或解答题中都会出现,难度适中.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.数列的有关概念
概念 含　义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项与序号n之间的关系式
前n项和 数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an
2.数列的表示法
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n,an)画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式 使用初始值a1和an与an+1的关系式或a1,a2和an-1,an,an+1的关系式等表示数列的方法
函数法 an=f(n),n∈N*
微点拨(1)并不是所有的数列都有通项公式;
(2)数列的通项公式不唯一;(3)归纳与猜想是研究数列的重要方法.
3.数列的分类
单 调 性 递增数列 n∈N*,an+1>an
递减数列 n∈N*,an+1常数列 n∈N*,an+1=an
摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
周期性 n∈N*,存在正整数k,an+k=an
微点拨(1)数列的单调性可以类比数列的通项公式对应的函数解析式在区间(0,+∞)上的单调性;(2)可以把数列函数化,利用函数方法研究数列的单调性.
4.数列的前n项和
数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…++an,则an=
常用结论
1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则an=
2.在数列{an}中,n≥2,若an最大,则
若an最小,则
基础诊断·自测
类型 辨析 改编
题号 1 2,3,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列5,2,0与2,0,5是同一个数列.(　　)
(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.(　　)
(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对 n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.(　　)
2.(选择性必修第二册P5例2·变形式)数列0,,,,…的一个通项公式为(　　)
A.an= B.an= C.an= D.an=
3.(选择性必修第二册P6例5·变形式)数列1,3,6,10,15,…的递推公式可以是(　　)
A.an+1=an+n,n∈N*
B.an=an-1+n,n≥2,n∈N*
C.an+1=an+(n+1),n≥2,n∈N*
D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
4.(选择性必修第二册P4例1·变形式)已知数列{an}满足 an=,则S3=　　　　.
【核心考点·分类突破】
考点一由数列的前几项求数列的通项公式
1.已知数列{an}的前4项依次为2,6,12,20,则数列{an}的通项公式可能是(　　)
A.an=4n-2 B.an=2n+2(n-1)
C.an=n2+n D.an=3n-1+2n-1
2.在数列1,2,,,,…中,2是这个数列的(　　)
A.第16项　 B.第24项
C.第26项　 D.第28项
3.(2024·菏泽联考)观察下列图形中小正方形的个数,则第n个图中的小正方形的个数f(n)=(　　)
A.　 B.
C.　 D.
4.(多选题)已知数列的前4项为2,0,2,0,则以此归纳该数列的通项可能是(　　)
A.an=(-1)n-1+1　 B.an=
C.an=2sin 　 D.an=cos(n-1)π+1
5.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.
(1)数列,,,,,…的通项公式是an=　　　　　.
(2)数列-1,7,-13,19,…的通项公式是an=　　　　　.
(3)数列5,55,555,5 555,…的通项公式是an=　　　　　.
(4)数列1,0,,0,,0,,0,…的通项公式是an=　　　　　.
解题技法
由数列的前几项求通项公式的方法
(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
(2)对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
考点二已知Sn或Sn与an的关系求an
[例1]金榜原创·易错对对碰
若数列{an}的前n项和Sn=2n+1,则数列的通项公式为an=　　　　.
若数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则数列的通项公式为an=　　　　.
解题技法
1.已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式.
(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的解析式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
2.已知Sn与an的关系求an的两个方法
(1)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)消去Sn,转化为an与an-1的关系求an;
(2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)消去an,转化为Sn与Sn-1的关系,求出Sn后再求an.
提醒:当n≥2时推出的关系不包含n=1的情况,因此需要验证n=1时是否成立,如果成立,则合并表示,如果不成立,则分段表示.
对点训练
1.已知正项数列{an}中,++…+=,则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=n B.an=n2
C.an= D.an=
2.记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=2an+1,则Sn=　　　　.
【加练备选】
1.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,则an=　　　　.
2.已知数列的前n项和Sn=3n+b,求的通项公式.
考点三数列的性质及其应用
考情提示
数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的知识、函数的思想方法来解决;数列的单调性、周期性是高考常考内容.涉及数列的最大项、最小项,数列的有界性问题均可借助数列的单调性来解决.
角度1　数列的单调性
[例2](1)已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是(　　)
A.递增数列　 B.递减数列
C.摆动数列　 D.常数列
(2)已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为(　　)
A.(3,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
角度2　数列的最值
[例3](1)(2024·合肥质检)若数列{an}的前n项积bn=1-n,则an的最大值与最小值之和为(　　)
A.-　 B.　 C.2　 D.
(2)已知数列{an}的通项公式为an=,则数列中的最大项为　　　　　.
角度3　数列的周期性
[例4](1)在数列{an}中,an+1=若a1=,则a2 023的值为(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
(2)(2024·哈尔滨质检)已知数列{an}的前n项积为Tn,a1=2且an+1=1-,
则T2 024=　　　　　.
解题技法
1.解决数列单调性问题的方法
(1)作差比较法:根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
(2)作商比较法:根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断.
(3)函数图象法:结合相应函数的图象直观判断.
2.求数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法:利用函数的单调性求最值.
(2)利用,(n≥2)确定最大项,利用,(n≥2)确定最小项.
3.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
对点训练
1.已知数列{an}中,a1=,an+1=,则a2 025=(　　)
A.-2 B. C.- D.3
2.(多选题)在数列{an}中,an=(n+1)()n,则数列{an}中的最大项可以是(　　)
A.第6项　 B.第7项　
C.第8项　 D.第9项
3.(2024·内江模拟)若数列{an}的通项公式an满足nan=n2+17,则数列{an}中的项的最小值为　　　　.
【加练备选】
　　 (2024·潍坊模拟)已知数列{an}满足an=若 n∈N*,
an+1A.(,)　 B.(,)
C.(,]　 D.(,1)第一节　数列的概念
【课标解读】
【课程标准】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
3.能够利用an与Sn的关系求数列的通项公式.
4.能根据数列递推关系求数列的项或通项公式.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 高考题常以数列的概念为载体,考查数列项、前n项和及其与通项公式的关系.Sn和an的关系是高考热点,在各种题型中都会有所体现.
预测 2025年高考会以特殊数列为主,考查数列的通项公式与前n项和公式以及递推公式,在选择题、填空题或解答题中都会出现,难度适中.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.数列的有关概念
概念 含　义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项与序号n之间的关系式
前n项和 数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an
2.数列的表示法
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n,an)画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式 使用初始值a1和an与an+1的关系式或a1,a2和an-1,an,an+1的关系式等表示数列的方法
函数法 an=f(n),n∈N*
微点拨(1)并不是所有的数列都有通项公式;
(2)数列的通项公式不唯一;(3)归纳与猜想是研究数列的重要方法.
3.数列的分类
单 调 性 递增数列 n∈N*,an+1>an
递减数列 n∈N*,an+1常数列 n∈N*,an+1=an
摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
周期性 n∈N*,存在正整数k,an+k=an
微点拨(1)数列的单调性可以类比数列的通项公式对应的函数解析式在区间(0,+∞)上的单调性;(2)可以把数列函数化,利用函数方法研究数列的单调性.
4.数列的前n项和
数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…++an,则an=
常用结论
1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则an=
2.在数列{an}中,n≥2,若an最大,则
若an最小,则
基础诊断·自测
类型 辨析 改编
题号 1 2,3,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列5,2,0与2,0,5是同一个数列.(　　)
提示:(1)×.两个数列项的顺序不同,不是同一个数列;
(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.(　　)
提示: (2)√.
(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(　　)
提示: (3)×.数列可能是常数列或摆动数列;
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对 n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.(　　)
提示: (4)×.当n=1时,a1=S1-S0无意义.
2.(选择性必修第二册P5例2·变形式)数列0,,,,…的一个通项公式为(　　)
A.an= B.an= C.an= D.an=
【解析】选C.将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N*;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N*.
3.(选择性必修第二册P6例5·变形式)数列1,3,6,10,15,…的递推公式可以是(　　)
A.an+1=an+n,n∈N*
B.an=an-1+n,n≥2,n∈N*
C.an+1=an+(n+1),n≥2,n∈N*
D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2
【解析】选B.设数列1,3,6,10,15,…为,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,
a5-a4=5,…,n=2时,A,D不合题意;而C中不包含a2-a1=2,
由此可得数列满足an-an-1=n,n≥2,n∈N*.
4.(选择性必修第二册P4例1·变形式)已知数列{an}满足 an=,则S3=　　　　.
【解析】数列{an}满足an= ,
可得a1= 1,a2= 3,a3= 6,
所以S3= 1 + 3 + 6 = 10.
答案:10
【核心考点·分类突破】
考点一由数列的前几项求数列的通项公式
1.已知数列{an}的前4项依次为2,6,12,20,则数列{an}的通项公式可能是(　　)
A.an=4n-2 B.an=2n+2(n-1)
C.an=n2+n D.an=3n-1+2n-1
【解析】选C.对于A,a3=10≠12,故A错误;
对于B,a4=16+6=22≠20,故B错误;
对于C,a1=12+1=2,a2=22+2=6,a3=32+3=12,a4=42+4=20,故C正确;
对于D,a3=9+5=14≠12,故D错误.
2.在数列1,2,,,,…中,2是这个数列的(　　)
A.第16项　 B.第24项
C.第26项　 D.第28项
【解析】选C.设题中数列为{an},则a1=1=,a2=2=,a3=,a4=,a5=,…,所以an=.令=2=,解得n=26.
3.(2024·菏泽联考)观察下列图形中小正方形的个数,则第n个图中的小正方形的个数f(n)=(　　)
A.　 B.
C.　 D.
【解析】选A.由题意可得f(1)=2+1;f(2)=3+2+1;f(3)=4+3+2+1;
f(4)=5+4+3+2+1;f(5)=6+5+4+3+2+1;…;所以f(n)=(n+1)+n+(n-1)+…+1=.
4.(多选题)已知数列的前4项为2,0,2,0,则以此归纳该数列的通项可能是(　　)
A.an=(-1)n-1+1　 B.an=
C.an=2sin 　 D.an=cos(n-1)π+1
【解析】选ABD.对n=1,2,3,4进行验证,
an=2sin 不符合题意,其他均符合.
5.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.
(1)数列,,,,,…的通项公式是an=　　　　　.
【解析】(1)因为a1==,
a2==,a3==,
a4==,a5==,
通过观察,我们可以得到an=.
(2)数列-1,7,-13,19,…的通项公式是an=　　　　　.
【解析】(2)符号可通过(-1)n或(-1)n+1调节,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
(3)数列5,55,555,5 555,…的通项公式是an=　　　　　.
【解析】(3)将原数列改写为×9,×99,×999,…,易知数列9,99,999,…的通项为10n-1,故原数列的一个通项公式为an=(10n-1).
(4)数列1,0,,0,,0,,0,…的通项公式是an=　　　　　.
【解析】(4)把原数列改写成,,,,,,,,…,分母依次为1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此原数列的一个通项公式为an=.
答案:(1)　(2)(-1)n(6n-5)
(3)(10n-1)　(4)(答案不唯一)
解题技法
由数列的前几项求通项公式的方法
(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
(2)对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
考点二已知Sn或Sn与an的关系求an
[例1]金榜原创·易错对对碰
①若数列{an}的前n项和Sn=2n+1,则数列的通项公式为an=　　　　.
【解析】①当n=1时,a1=S1=21+1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1)-(2n-1+1)=2n-2n-1=2n-1.
综上有an=
答案:
②若数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则数列的通项公式为an=　　　　.
【解析】②当n=1时,a1=S1=21-1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-2n-1=2n-1.
综上有an=2n-1.
答案:2n-1
解题技法
1.已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式.
(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的解析式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
2.已知Sn与an的关系求an的两个方法
(1)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)消去Sn,转化为an与an-1的关系求an;
(2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)消去an,转化为Sn与Sn-1的关系,求出Sn后再求an.
提醒:当n≥2时推出的关系不包含n=1的情况,因此需要验证n=1时是否成立,如果成立,则合并表示,如果不成立,则分段表示.
对点训练
1.已知正项数列{an}中,++…+=,则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=n B.an=n2
C.an= D.an=
【解析】选B.因为++…+=,
所以++…+=(n≥2),
两式相减得=-=n(n≥2),
所以an=n2(n≥2),①
又当n=1时,==1,a1=1,适合①式,
所以an=n2,n∈N*.
2.记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=2an+1,则Sn=　　　　.
【解析】因为Sn=2an+1,
所以Sn+1=2an+1+1,
所以an+1=2an+1-2an,
所以an+1=2an,
当n=1时,S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,
所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以Sn==1-2n.
答案:1-2n
【加练备选】
1.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,则an=　　　　.
【解析】当n=1时,a1=21=2,
因为a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①
故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②
由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1,
所以an=.显然当n=1时不满足上式,
所以an=
答案:
2.已知数列的前n项和Sn=3n+b,求的通项公式.
【解析】当n=1时,a1=S1=3+b.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2·3n-1,
因此,当b=-1时,a1=2适合an=2·3n-1,
所以an=2·3n-1.
当b≠-1时,a1=3+b不适合an=2·3n-1,
所以an=
综上可知,当b=-1时,an=2·3n-1;
当b≠-1时,an=
考点三数列的性质及其应用
考情提示
数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的知识、函数的思想方法来解决;数列的单调性、周期性是高考常考内容.涉及数列的最大项、最小项,数列的有界性问题均可借助数列的单调性来解决.
角度1　数列的单调性
[例2](1)已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是(　　)
A.递增数列　 B.递减数列
C.摆动数列　 D.常数列
【解析】选A.an+1-an=-=>0,
所以an+1>an,所以数列{an}为递增数列.
(2)已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为(　　)
A.(3,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
【解析】选D.因为an+1-an=-=,由数列{an}为递减数列知,对任意
n∈N*,an+1-an=<0,所以k>3-3n对任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).
角度2　数列的最值
[例3](1)(2024·合肥质检)若数列{an}的前n项积bn=1-n,则an的最大值与最小值之和为(　　)
A.-　 B.　 C.2　 D.
【解析】选C.因为数列{an}的前n项积bn=1-n,
当n=1时,a1=;
当n≥2时,bn-1=1-(n-1),
an====1+,
当n=1时也适合上式,
所以an=1+,
所以当n≤4时,数列{an}单调递减,且an<1;
当n≥5时,数列{an}单调递减,且an>1,
故an的最大值为a5=3,最小值为a4=-1,
所以an的最大值与最小值之和为2.
(2)已知数列{an}的通项公式为an=,则数列中的最大项为　　　　　.
【解析】方法一:an+1-an=-=·,
当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>8时,an+1-an<0,即an+1则a1a10>a11>…,故数列{an}中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9==.
方法二:设数列{an}中的第n项最大,
则(n≥2)
即解得8≤n≤9.
又n∈N*,则n=8或n=9.
故数列{an}中的最大项为第8项和第9项,
且a8=a9=.
答案:
角度3　数列的周期性
[例4](1)在数列{an}中,an+1=若a1=,则a2 023的值为(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
【解析】选D.因为a1=>,所以a2=2a1-1=>,a3=2a2-1=<,a4=2a3=<,
a5=2a4=,…,可得该数列的周期为4,
故a2 023=a4×505+3=a3=.
(2)(2024·哈尔滨质检)已知数列{an}的前n项积为Tn,a1=2且an+1=1-,
则T2 024=　　　　　.
【解析】因为a2=1-=,a3=1-=-1,a4=1-=2,…,
所以数列{an}是周期为3的数列.
又a1a2a3=2××(-1)=-1,且2 024=3×674+2,
所以T2 024=(-1)674·a2 023·a2 024=1×2×=1.
答案:1
解题技法
1.解决数列单调性问题的方法
(1)作差比较法:根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
(2)作商比较法:根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断.
(3)函数图象法:结合相应函数的图象直观判断.
2.求数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法:利用函数的单调性求最值.
(2)利用,(n≥2)确定最大项,利用,(n≥2)确定最小项.
3.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
对点训练
1.已知数列{an}中,a1=,an+1=,则a2 025=(　　)
A.-2 B. C.- D.3
【解析】选B.因为a1=,
所以a2==3,a3==-2,
a4==-,a5==,…,
所以数列{an}是周期数列且周期T=4,
所以a2 025=a1=.
2.(多选题)在数列{an}中,an=(n+1)()n,则数列{an}中的最大项可以是(　　)
A.第6项　 B.第7项　
C.第8项　 D.第9项
【解析】选AB.假设an最大,则有(n≥2)
即
所以
即6≤n≤7,所以最大项为第6项和第7项.
3.(2024·内江模拟)若数列{an}的通项公式an满足nan=n2+17,则数列{an}中的项的最小值为　　　　.
【解析】因为nan=n2+17,所以an=,
所以an+1-an=-=,易得当n≤3时,an+1-an<0;当n≥4时,an+1-an>0,所以数列{an}中,从a1递减到a4,再从a4后开始递增,所以=a4=4+=.
答案:
【加练备选】
　　 (2024·潍坊模拟)已知数列{an}满足an=若 n∈N*,
an+1A.(,)　 B.(,)
C.(,]　 D.(,1)
【解析】选A.因为an+1所以即
解得

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