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第二节　函数的基本性质
第1课时　函数的单调性与最值
【课标解读】
【课程标准】
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.
2.理解函数的单调性、最值的实际意义,掌握函数单调性的简单应用.
【核心素养】
数学抽象、逻辑推理、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 函数的单调性是函数的重要性质之一,高考对单调性与最值的考查常常与其他知识相结合,小题和大题均有考查,小题的考查与对数函数结合,考查复合函数的单调性与最值;大题的考查与导数结合,考查函数的单调性与最值.
预测 预计2025年高考仍会考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用;题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中档偏上.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.函数的单调性
(1)增函数与减函数
项目 增函数 减函数
定 义 设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I
当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数
图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做函数y=f(x)的单调区间.
微点拨有多个单调区间时应分开写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.
2.函数的最值
前 提 设函数y=f(x)的定义域为D, 如果存在实数M满足
条 件 x∈D,都有f(x)≤M; x0∈D,使得f(x0)=M x∈D,都有f(x)≥M; x0∈D,使得f(x0)=M
结 论 M为最大值 M为最小值
微点拨(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到;
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
常用结论
1.函数单调性的两个等价结论
设 x1,x2∈D(x1≠x2),则
(1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0) f(x)在D上单调递增;
(2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0) f(x)在D上单调递减.
2.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:
(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;
(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反;
(4)复合函数y=f(g(x))的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记:“同增异减”.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于函数y=f(x),若f(1)(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(　 ×　)
(3)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　 ×　)
(4)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(　 √　)
提示:
(1) 应对任意的x1(2) 反例:f(x)=x在[1,+∞)上为增函数,但f(x)=x的单调递增区间是(-∞,+∞). ×
(3) 此单调区间不能用“∪”连接,故单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞). ×
(4) 根据增函数的定义判断. √
2.(必修第一册P81练习T3·变条件)已知函数f(x)=,x∈[0,2],则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　　.
【解析】因为函数f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(2)=.
答案:2　
3.(2023·北京高考)下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=-ln x B.f(x)=
C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1|
【解析】选C.对A选项,y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,A选项错误;
对B选项,y=2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递减,B选项错误;
对C选项,y=在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,C选项正确;
对D选项,f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不是单调的,D选项错误.
4.(忽视函数的定义域)已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)【解析】依题意得得-1≤a<1.
答案:[-1,1)
【核心考点·分类突破】
考点一函数的单调区间
1.(多选题)(2023·石家庄模拟)下列函数在(-∞,0)上单调递减的是(　　)
A.y=tan x B.y=ln(-x)
C.y= D.y=-
【解析】选BC.函数y=tan x在(-∞,0)上不单调,故A不满足条件;由复合函数的单调性可知函数y=ln(-x)在(-∞,0)上单调递减,故B满足条件;函数y==()x在(-∞,0)上单调递减,故C满足条件;函数y=-在(-∞,0)上单调递增,故D不满足条件.
2.函数f(x)=-x的单调递增区间为(　　)
A. (0,) B.(0,1)
C. (,+∞) D.(1,+∞)
【解析】选A.令t=,显然t=在[0,+∞)上单调递增.又y=t-t2=-(t-)2+在(-∞,]上单调递增,由≤得0≤x≤,所以f(x)的单调递增区间是[0,],不考虑区间端点也可写为(0,).
3.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　　　　　.
【解析】显然f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,又-2<3,所以不能合并.
答案:(-∞,0),(0,+∞)
4.函数y=的单调递增区间为　　　　,单调递减区间为　　　　.
【解析】令u=x2+x-6,则y=可以看作是由y=与u=x2+x-6复合而成的函数.令u=x2+x-6≥0,解得x≤-3或x≥2.易知u=x2+x-6在(-∞,-3]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,而y=在[0,+∞)上单调递增,所以y=的单调递减区间为(-∞,-3],单调递增区间为[2,+∞).
答案:[2,+∞)　(-∞,-3]
5.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　　.
【解析】由题意知g(x)=
该函数图象如图所示,
其单调递减区间是[0,1).
答案:[0,1)
解题技法
求函数的单调区间的方法
(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观地写出它的单调区间.
(2)复合函数法:①求函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,依据是“同增异减”.
考点二函数单调性的判断与证明
[例1](1)(2021·全国甲卷)下列函数是增函数的为(　　)
A.f(x)=-x B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=
【解析】选D. 因为f(x)=-x在其定义域上为减函数,所以选项A错误;由指数函数的性质可知,f(x)=在其定义域上为减函数,所以选项B错误;由二次函数的性质可知,f(x)=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, 所以选项C错误;由幂函数的性质可知,f(x)=在其定义域上为增函数,所以选项D正确.
(2)设函数f(x)=-2x,证明:函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.
【证明】方法一(定义法):
x1,x2∈[0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=--2x1+2x2
=-2(x1-x2)=(x1-x2) (-2),
因为0≤x1所以(x1-x2) (-2)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.
方法二(导数法):对f(x)=-2x求导,得f'(x)=·-2=-2,
因为x≥0,所以<1,所以f'(x)<0,故f(x)在[0,+∞)上单调递减.
解题技法
判断函数的单调性的方法
定义法 一般步骤:设元→作差→变形→判断符号→得出结论
图象法 若f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性
导数法 先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调性
对点训练
讨论函数f(x)=(a>0)在(-1,1)上的单调性.
【解析】 x1,x2∈(-1,1),且x1则f(x1)-f(x2)=-==.
因为-10,(-1)(-1)>0.
当a0,则x1x2+1>0;
当-10;
当00,综上,x1x2+1>0,
又a>0,所以f(x1)-f(x2)>0,故函数f(x)在(-1,1)上单调递减.
考点三函数单调性的应用
角度1　利用单调性比较大小
[例2]设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则(　　)
A.f()B.f()C.f()D.f()【解析】选B.由题设知,当x<1时,f(x)单调递减,当x≥1时,f(x)单调递增,而x=1为对称轴,所以f()=f(1+)=f(1-)=f(),又<<<1,
所以f()>f()>f(),
即f()角度2　解不等式
[例3](1)已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)A. (,) B. [,)
C. (,) D. [,)
【解析】选D.因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f(2x-1)所以0≤2x-1<,解得≤x<.
(2)已知函数f(x)=-log2(x+2),若f(a-2)>3,则a的取值范围是　　　　　.
【解析】因为y=在R上单调递减,y=log2(x+2)在(-2,+∞)上单调递增,所以f(x)=-log2(x+2)在定义域(-2,+∞)上单调递减,且f(-1)=3,
由f(a-2)>3,得f(a-2)>f(-1),所以,解得0答案:(0,1)
角度3　利用单调性求最值问题
[例4](1)函数f(x)=3x+log2(x+2)在区间[-1,2]上的最大值为　　　　.
【解析】由于y=3x在R上是增函数,y=log2(x+2)在[-1,2]上单调递增,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,故f(x)在[-1,2]上的最大值为f(2)=32+log24=11.
答案:11
(2)函数y=的最大值为　　　　　.
【解析】令=t,则t≥2,
所以x2=t2-4,所以y==,设h(t)=t+,
则h(t)在[2,+∞)上单调递增,所以h(t)min=h(2)=,
所以y≤=(x=0时取等号),即y的最大值为.
答案:
角度4　利用单调性求参数值(范围)问题
[例5](1)金榜原创·易错对对碰
①函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的值为　　　　.
②函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围为　　　　.
【解析】①函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,由1-a=4,得a=-3.
答案:-3
②函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,函数f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,所以1-a≥4,解得a≤-3.
实数a的取值范围为.
答案:
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2]　 B.[-2,0)
C.(0,2]　 D.[2,+∞)
【解析】选D.函数y=2x在R上单调递增,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则有函数y=x(x-a)=-在区间(0,1)上单调递减,因此≥1,解得a≥2,
所以a的取值范围是[2,+∞).
解题技法
函数单调性的应用策略
(1)比较大小:利用单调性比较函数值的大小,需将各自变量的值化到同一单调区间上.
(2)解不等式:关键是利用函数的单调性将“f”脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域.
(3)求最值:利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出时.
(4)求参数:利用单调性求参数时,通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.
对点训练
1.(2024·重庆模拟)设函数f(x)=若a=ln 2,b=30.2,c=log0.32,则(　　)
A.f(a)>f(b)>f(c) 　B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(a)>f(c)>f(b) 　D.f(c)>f(a)>f(b)
【解析】选D.显然f(x)在R上单调递减,
又因为30.2>30=1,即b>1,0=ln 1所以b>a>c,所以f(b)2.已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是　　　　　　　　　.
【解析】因为函数f(x)=ln x+2x在定义域(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,
所以由f(x2-4)<2得,f(x2-4)答案:x|-3.函数f(x)=在区间[1,2]上的最小值为　　　　.
【解析】f(x)=-.
由于y=,y=-2x-1在[1,2]上均单调递减,
故f(x)在[1,2]上单调递减,
所以f(x)min=f(2)=-2=-.
答案:-
4.已知函数y=loga(2-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】设u=2-ax,
因为a>0,且a≠1,所以函数u在[0,1]上单调递减.
由题意可知函数y=logau在[0,1]上单调递减,
所以a>1.
又因为u=2-ax在[0,1]上要满足u>0,
所以2-a>0,得a<2.综上得1答案:(1,2)
考点四 对勾函数与飘带函数
教考衔接 类题串串联
题号 类题说明
(1) 源自教材第86页综合运用·T8(2).此题为“对勾函数”的基本模型
(2) 源自教材第86页综合运用·T8(3).此题为“对勾函数”的常见模型
(3) 源自教材第101页拓广探索·T12.此题为“飘带函数”的基本模型
[例6](1)讨论函数y=x+在区间上的单调性;
【解析】(1)设y=f(x),x1①任取x1,x2∈,且x19,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)②任取x1,x2∈,且x100,即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在区间上单调递减;
故函数y=x+在区间上单调递减,在区间上单调递增.
(2)讨论函数y=x+(k>0)在区间上的单调性;
【解析】(2)设y=f(x),x1①任取x1,x2∈,且x1k,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)②任取x1,x2∈,且x100,即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在区间上单调递减;
故函数y=x+在区间上单调递减,在区间上单调递增.
(3)讨论函数y=x-的单调性.
【解析】(3)设y=f(x),定义域D=∪(0,+∞),设x1①当x1,x2∈(0,+∞)时,x1x2>0,因为x1y=f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当x1,x2∈(-∞,0)时,x1x2>0,因为x1因此y=f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都单调递增.
解题技法
形如f(x)=ax+(ab≠0)的图象及性质
(1)当ab>0时,常把f(x)称为“对勾函数”.
项目 a>0,b>0 a<0,b<0
图象
定义域 (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 ∪
奇偶性 奇函数
单调性 增区间: 和 减区间: 和 增区间: 和 减区间: 和
渐近线 一条是直线y=ax,另一条是x=0
(2)当ab<0时,常把f(x)称为“飘带函数”.
项目 a>0,b<0 a<0,b>0
图象
定义域 (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 (-∞,+∞)
奇偶性 奇函数
单调性 增区间: (-∞,0)和(0,+∞) 减区间: (-∞,0)和(0,+∞)
渐近线 一条是直线y=ax,另一条是x=0.
对点训练
1.已知x∈,则①函数f(x)=25x+的值域为　　　　　;②函数g(x)=25x-的值域为　　　　　.
【解析】①易知函数f(x)=25x+在上为“对勾函数”的一部分,解方程25x=得x=(负根舍去),所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,又f()=,f()=30,f(2)=,所以f(x)min=f()=30,f(x)max=f(2)=.
②易知函数g(x)=25x-在上为“飘带函数”的一部分,且g(x)在上单调递增,所以g(x)min=g()=-,g(x)max=g(2)=.
答案:①　②
2.函数f(x)=x2-ax+1≥0在内恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
【解析】当x∈时,由x2-ax+1≥0,得a≥x+,所以a≥=-2;
当x=0时,f(0)=1≥0成立,a∈R;
当x∈时,a≤=.
综上可得,实数a的取值范围是.
答案:
3.方程x2-mx+1=0的两根为α,β,且α>0,1<β<2,则实数m的取值范围是　　　　　.
【解析】由题意可知,,所以m=β+,β∈,形如函数f(x)=x+在上是增函数,所以可直接得到m∈,即1+1答案:
4.设函数f(x)=x-,对任意的x∈,f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.
【解析】显然m≠0,由于函数f(x)=x-在上是增函数,则当m>0时,f(mx)+mf(x)=2mx-,是形如f(x)=ax+(a>0,b<0)的函数.在上单调递增,则f(mx)+mf(x)<0不恒成立,因此m>0不成立.
当m<0时,f(mx)+mf(x)=2mx-,是形如f(x)=ax+(a<0,b>0)的函数.在上是减函数,
因此,当x=1时,f(mx)+mf(x)的最大值为m-,于是f(mx)+mf(x)<0恒成立等价于f(mx)+mf(x),x∈的最大值小于0,
即解得m<-1,所以实数m的取值范围是.
答案:
重难突破 求函数的值域
基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[,+∞);
当a<0时,值域为(-∞,].
(3)y=(k≠0)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).
(4)y=ax(a>0,且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0,且a≠1)的值域是R.
类型一 直接法(观察法)
对于较简单的函数,直接观察即可确定函数的值域.
[例1](1)(多选题)下列函数中,值域为[1,+∞)的是(　　)
A.y= B.y=|x|+1
C.y= D.y=
【解析】选BC.对于A,函数的值域为[0,+∞),所以该选项不符合题意;
对于B,因为|x|≥0,所以|x|+1≥1,所以函数的值域为[1,+∞),所以该选项符合题意;
对于C,因为x2≥0,所以x2+1≥1,所以≥1,所以函数的值域为[1,+∞),所以该选项符合题意;
对于D,函数的值域为(0,+∞),所以该选项不符合题意.
(2)函数f(x)=的值域是　　　　　.(用区间表示)
【解析】当-2≤x<1时,f(x)=(x+1)2,为开口向上,对称轴为x=-1的抛物线,所以f(x)∈[0,4);
当1≤x≤3时,f(x)=-x+5,为单调递减函数,
所以f(x)∈[2,4],
综上,f(x)∈[0,4],即f(x)的值域为[0,4].
答案:[0,4]
对点训练
1.函数y=的值域为　　　　.
【解析】因为16-2x≥0,即2x≤16,所以x≤4,
所以2x∈(0,16],所以16-2x∈[0,16).
y=∈[0,4).
答案:[0,4)
2.函数f(x)=+1的值域为　　　　.
【解析】易得3x+1∈(1,+∞).
得f(x)=+1∈(1,3),
故函数f(x)=+1的值域为(1,3).
答案:(1,3)
类型二 配方法
形如函数y=a[f(x)]2+bf(x)+c的最值问题,可以考虑用配方法.
[例2]函数y=的值域为　　　　　.
【解析】因为函数y==,
所以0≤y≤,所以函数的值域为[0,].
答案: [0,]
类型三 判别式法
(1)分式函数分子分母的最高次幂为二次时,可整理成关于x的二次方程,方程有解,则判别式大于或等于0,即解得y的取值范围,得到值域;
(2)适用于函数的定义域为R的情况.
[例3]函数y=的值域为　　　　　.
【解析】由y=得,
yx2+(y-2)x+y=0(※),则该方程有解,
①当y=0时,方程(※)可化为-2x=0,方程有解,符合题意;
②当y≠0时,要使方程(※)有解,当且仅当Δ=(y-2)2-4y2≥0,
解得-2≤y≤,且y≠0.
综上所述,-2≤y≤,
故原函数的值域是[-2,].
答案: [-2,]
类型四 基本不等式法
配凑成y=ax+(a,b同号)的形式,再利用基本不等式求函数的最值,进而得到函数的值域.
[例4]若x≥,则函数f(x)=的最小值为　　　　.
【解析】因为x≥,所以x-2>0,
所以f(x)===+≥2=1,
当且仅当=,即x=3时等号成立.
因为x=3在定义域内,所以最小值为1.
答案:1
类型五 反解法与分离常数法
形如f(x)=的函数可用反解法或分离常数法.
[例5](1)函数y=的值域为　　　　　　.
【解析】方法一(反解法):x=,所以y≠.
所以值域为{y|y≠}.
方法二(分离常数法):y==+≠,故值域为{y|y≠}.
答案: {y|y≠}
(2)函数y=的值域为　　　　　　.
【解析】方法一(反解法):由y=,得2x=>0,所以(1-y)(1+y)>0,
所以(y-1)(y+1)<0.
所以-1方法二(分离常数法):y==-1+,
因为2x>0,所以1+2x>1,0<<2,-1<-1+<1.
所以值域为(-1,1).
答案:(-1,1)
类型六 换元法
通过换元,将较复杂的值域问题转化为求某些基本初等函数的值域.
[例6](1)函数y=x+的值域为　　　　　.
【解析】令t=≥0,则x=,
所以y=-t2+t+=-(t-1)2+1(t≥0),
故当t=1时,y取得最大值为1,没有最小值,故值域为(-∞,1].
答案:(-∞,1]
(2)函数y=x+的值域为　　　　　.
【解析】由4-x2≥0,得-2≤x≤2,
所以设x=2cos θ(θ∈[0,π]),则y=2cos θ+=2cos θ+2sin θ=2sin(θ+).
因为θ+∈[,],
所以sin(θ+)∈[-,1],
所以y∈[-2,2].
答案:[-2,2]
类型七 单调性法
函数为一般函数或者复合函数,其单调性容易确定.
[例7](1)函数y=lox+,x∈[1,2]的值域为　　　　　　.
【解析】函数y1=lox,y2=均在[1,2]上单调递减,
所以y=lox+在[1,2]上单调递减,
所以lo2+≤y≤lo1+,即-≤y≤,
所以函数的值域为[-,].
答案: [-,]
(2)函数y=()的值域为　　　　.
【解析】令μ=-x2+2x,所以y=()μ.
因为μ=-x2+2x在(-∞,1]上单调递增,
在[1,+∞)上单调递减.y=()μ在定义域上是减函数,
所以y=()在(-∞,1]上单调递减,
在[1,+∞)上单调递增,所以ymin=,所以函数的值域为[,+∞).
答案: [,+∞)
类型八 数形结合法
由函数的解析式可以绘制出函数的大致图象走势和函数在关键点处的函数值,或通过几何意义转化为几何问题进行求解.
[例8](1)函数y=的值域为　　　　　　　　　　.
【解析】由题意可得,函数可看成定点(2,3)到动点(cos x,sin x)连线的斜率,又因为动点(cos x,sin x)在单位圆上,所以问题转化为求定点(2,3)到单位圆连线的斜率的问题.
设直线的方程为y-3=k(x-2),
所以kx-y-2k+3=0,
因为直线与圆相切,所以1=,
所以k=,
所以函数的值域为[,].
答案: [,]
(2)函数f(x)=2x-3-的值域为　　　　　.
【解析】f(x)=2x-3-=2x-3-,
由-x2+6x-8≥0,解得2≤x≤4,
令t=2x-3-,即=2x-3-t,
将函数f(x)=2x-3-的值域转化为y=与y=2x-3-t有交点时t的取值范围,在同一坐标系中作函数y=与y=2x-3-t的图象如图所示:
由图象知:当直线y=2x-3-t与半圆(x-3)2+y2=1相切时,t最小,
此时=1,解得t=3±,
由图象知t=3-,当直线y=2x-3-t过点(4,0)时,t最大,此时t=5,
所以t∈[3-,5],即f(x)的值域是[3-,5].
答案:[3-,5]第二节　函数的基本性质
第1课时　函数的单调性与最值
【课标解读】
【课程标准】
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.
2.理解函数的单调性、最值的实际意义,掌握函数单调性的简单应用.
【核心素养】
数学抽象、逻辑推理、数学运算.
【命题说明】
考向 考法 函数的单调性是函数的重要性质之一,高考对单调性与最值的考查常常与其他知识相结合,小题和大题均有考查,小题的考查与对数函数结合,考查复合函数的单调性与最值;大题的考查与导数结合,考查函数的单调性与最值.
预测 预计2025年高考仍会考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用;题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度中档偏上.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.函数的单调性
(1)增函数与减函数
项目 增函数 减函数
定 义 设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I
当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数
图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做函数y=f(x)的单调区间.
微点拨有多个单调区间时应分开写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.
2.函数的最值
前 提 设函数y=f(x)的定义域为D, 如果存在实数M满足
条 件 x∈D,都有f(x)≤M; x0∈D,使得f(x0)=M x∈D,都有f(x)≥M; x0∈D,使得f(x0)=M
结 论 M为最大值 M为最小值
微点拨(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到;
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
常用结论
1.函数单调性的两个等价结论
设 x1,x2∈D(x1≠x2),则
(1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0) f(x)在D上单调递增;
(2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0) f(x)在D上单调递减.
2.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:
(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;
(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反;
(4)复合函数y=f(g(x))的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记:“同增异减”.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于函数y=f(x),若f(1)(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(　 　)
(3)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　 　)
(4)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(　 　)
提示:
(1) 应对任意的x1(2) 反例:f(x)=x在[1,+∞)上为增函数,但f(x)=x的单调递增区间是(-∞,+∞). ×
(3) 此单调区间不能用“∪”连接,故单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞). ×
(4) 根据增函数的定义判断. √
2.(必修第一册P81练习T3·变条件)已知函数f(x)=,x∈[0,2],则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　　.
3.(2023·北京高考)下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=-ln x B.f(x)=
C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1|
4.(忽视函数的定义域)已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)【核心考点·分类突破】
考点一函数的单调区间
1.(多选题)(2023·石家庄模拟)下列函数在(-∞,0)上单调递减的是(　　)
A.y=tan x B.y=ln(-x)
C.y= D.y=-
2.函数f(x)=-x的单调递增区间为(　　)
A. (0,) B.(0,1)
C. (,+∞) D.(1,+∞)
3.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　　　　　.
4.函数y=的单调递增区间为　　　　,单调递减区间为　　　　.
5.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　　.
解题技法
求函数的单调区间的方法
(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观地写出它的单调区间.
(2)复合函数法:①求函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,依据是“同增异减”.
考点二函数单调性的判断与证明
[例1](1)(2021·全国甲卷)下列函数是增函数的为(　　)
A.f(x)=-x B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=
(2)设函数f(x)=-2x,证明:函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.
解题技法
判断函数的单调性的方法
定义法 一般步骤:设元→作差→变形→判断符号→得出结论
图象法 若f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性
导数法 先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调性
对点训练
讨论函数f(x)=(a>0)在(-1,1)上的单调性.
考点三函数单调性的应用
角度1　利用单调性比较大小
[例2]设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则(　　)
A.f()B.f()C.f()D.f()角度2　解不等式
[例3](1)已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)A. (,) B. [,)
C. (,) D. [,)
(2)已知函数f(x)=-log2(x+2),若f(a-2)>3,则a的取值范围是　　　　　.
角度3　利用单调性求最值问题
[例4](1)函数f(x)=3x+log2(x+2)在区间[-1,2]上的最大值为　　　　.
(2)函数y=的最大值为　　　　　.
角度4　利用单调性求参数值(范围)问题
[例5](1) 易错对对碰
①函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的值为　　　　.
②函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围为　　　　.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2]　 B.[-2,0)
C.(0,2]　 D.[2,+∞)
解题技法
函数单调性的应用策略
(1)比较大小:利用单调性比较函数值的大小,需将各自变量的值化到同一单调区间上.
(2)解不等式:关键是利用函数的单调性将“f”脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域.
(3)求最值:利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出时.
(4)求参数:利用单调性求参数时,通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.
对点训练
1.(2024·重庆模拟)设函数f(x)=若a=ln 2,b=30.2,c=log0.32,则(　　)
A.f(a)>f(b)>f(c) 　B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(a)>f(c)>f(b) 　D.f(c)>f(a)>f(b)
2.已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是　　　　　　　　　.
3.函数f(x)=在区间[1,2]上的最小值为　　　　.
4.已知函数y=loga(2-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
考点四 对勾函数与飘带函数
教考衔接 类题串串联
题号 类题说明
(1) 源自教材第86页综合运用·T8(2).此题为“对勾函数”的基本模型
(2) 源自教材第86页综合运用·T8(3).此题为“对勾函数”的常见模型
(3) 源自教材第101页拓广探索·T12.此题为“飘带函数”的基本模型
[例6](1)讨论函数y=x+在区间上的单调性;
(2)讨论函数y=x+(k>0)在区间上的单调性;
(3)讨论函数y=x-的单调性.
.
解题技法
形如f(x)=ax+(ab≠0)的图象及性质
(1)当ab>0时,常把f(x)称为“对勾函数”.
项目 a>0,b>0 a<0,b<0
图象
定义域 (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 ∪
奇偶性 奇函数
单调性 增区间: 和 减区间: 和 增区间: 和 减区间: 和
渐近线 一条是直线y=ax,另一条是x=0
(2)当ab<0时,常把f(x)称为“飘带函数”.
项目 a>0,b<0 a<0,b>0
图象
定义域 (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 (-∞,+∞)
奇偶性 奇函数
单调性 增区间: (-∞,0)和(0,+∞) 减区间: (-∞,0)和(0,+∞)
渐近线 一条是直线y=ax,另一条是x=0.
对点训练
1.已知x∈,则①函数f(x)=25x+的值域为　　　　　;②函数g(x)=25x-的值域为　　　　　.
2.函数f(x)=x2-ax+1≥0在内恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
3.方程x2-mx+1=0的两根为α,β,且α>0,1<β<2,则实数m的取值范围是　　　　　.
4.设函数f(x)=x-,对任意的x∈,f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.
重难突破 求函数的值域
基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[,+∞);
当a<0时,值域为(-∞,].
(3)y=(k≠0)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).
(4)y=ax(a>0,且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0,且a≠1)的值域是R.
类型一 直接法(观察法)
对于较简单的函数,直接观察即可确定函数的值域.
[例1](1)(多选题)下列函数中,值域为[1,+∞)的是(　　)
A.y= B.y=|x|+1
C.y= D.y=
(2)函数f(x)=的值域是　　　　　.(用区间表示)
对点训练
1.函数y=的值域为　　　　.
2.函数f(x)=+1的值域为　　　　.
类型二 配方法
形如函数y=a[f(x)]2+bf(x)+c的最值问题,可以考虑用配方法.
[例2]函数y=的值域为　　　　　.
类型三 判别式法
(1)分式函数分子分母的最高次幂为二次时,可整理成关于x的二次方程,方程有解,则判别式大于或等于0,即解得y的取值范围,得到值域;
(2)适用于函数的定义域为R的情况.
[例3]函数y=的值域为　　　　　.
类型四 基本不等式法
配凑成y=ax+(a,b同号)的形式,再利用基本不等式求函数的最值,进而得到函数的值域.
[例4]若x≥,则函数f(x)=的最小值为　　　　.
类型五 反解法与分离常数法
形如f(x)=的函数可用反解法或分离常数法.
[例5](1)函数y=的值域为　　　　　　.
(2)函数y=的值域为　　　　　　.
类型六 换元法
通过换元,将较复杂的值域问题转化为求某些基本初等函数的值域.
[例6](1)函数y=x+的值域为　　　　　.
(2)函数y=x+的值域为　　　　　.
类型七 单调性法
函数为一般函数或者复合函数,其单调性容易确定.
[例7](1)函数y=lox+,x∈[1,2]的值域为　　　　　　.
(2)函数y=()的值域为　　　　.
类型八 数形结合法
由函数的解析式可以绘制出函数的大致图象走势和函数在关键点处的函数值,或通过几何意义转化为几何问题进行求解.
[例8](1)函数y=的值域为　　　　　　　　　　.
(2)函数f(x)=2x-3-的值域为　　　　　.

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