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专题突破七：有理数中定义新运算问题（20道）
（压轴专练）
一、综合题（本题组共20道计算题，每题5分，总分100分）
1．现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（ ）
A． B． C．7 D．13
【答案】B
【分析】本题考查的是新定义情境下的有理数的加减乘除运算，弄懂新定义的含义是解题的关键．根据新定义的运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得，
故选：B．
2．现定义两种运算“ ”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么 ．
【答案】14
【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是读懂新定义，利用新定义计算．读懂新定义，利用新定义计算即可．
【详解】解：，
．
故答案为：14．
3．定义一种新的运算：，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，根据新定义得到，据此计算求解即可．
【详解】解；由题意得，，
故答案为：．
4．定义一种新运算“”，规则为：例：，则 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查了新定义以及有理数的混合运算，正确利用新定义转化为有理数混合运算是解题关键．
根据题中的新定义将所求式子化为有理数混合运算，计算即可．
【详解】，
，
，
，
；
故答案为：4
5．对任意的四个有理数定义运算，则的相反数是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了有理数混合运算、相反数等知识，熟练掌握有理数运算法则和运算顺序是解题关键．首先根据新定义的运算计算的值，然后根据相反数的定义确定答案即可．
【详解】解：根据题意，可得，
所以，的相反数是2．
故答案为：2．
6．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及有理数的加减混合运算，根据表示不超过的最大整数，，据此列式计算即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
7．现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，根据新定义运算法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
8．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
【答案】8
【分析】根据定义，得，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得，
故答案为：8．
9．若定义一种新运算，规定，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是新定义情境下的有理数的四则混合运算，先根据新定义列式在，再计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：
10．现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意中的新定义计算即可得到答案．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
11．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数）
(3)若，分别计算；．
【答案】(1)1，
(2)3
(3)0.6020，0.699．
【分析】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键．
（1），，则有；，，则有；
（2）根据，进行求解即可；
（3）由题意得：，．
【详解】（1）由题意得：，
，
；
由题意得：，
，
；
故答案为：1，；
（2）∵，，
∴
故答案为3；
（3），
，
．
12．探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
；；
；；
；．
(1)归纳*运算的法则：
两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________
(2)计算：．
(3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)17
(3)
【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算．
（1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据∶ ；，可得∶0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方；
（2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可；
（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可．
【详解】（1）解：归纳*运算的法则∶ 两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
∴，
解得：，
13．定义新运算“※”为，则当时，计算．
【答案】7
【分析】本题考查新定义的有理数运算，根据新定义列式计算即可．
【详解】解：当时，，
由题意，
14．定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题：
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键．
（1）按照规定的新运算进行计算即可；
（2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
15．对于有理数、，定义运算：．
(1)计算的值；
(2)计算．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的求解，注意明确有理数混合运算顺序是解题关键．
（1）根据新定义运算法则列式计算；
（2）根据新定义运算法则先求得，然后再算括号外面的即可．
【详解】（1）解：；
（2），
．
16．阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如：
(1)计算：；
(2)计算：．
【答案】(1)2.5
(2)4
【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值．
（1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可；
（2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
17．在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差—数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数是6，且除以5余数为4，则称这个数为“差一数”．例如：，，所以34是“差一数”；，，所以27不是“差一数”．
(1)判断69和97是否为“差—数”？并说明理由；
(2)求大于500且小于600的所有“差—数”．
【答案】(1)是“差—数”，不是“差—数”，
(2)524、559、594
【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用以及新定义题的理解，灵活运用新定义的特征是解答本题的关键．
（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；
（2）根据题意可得：所求数加1能被35整除，据此可先求出大于500且小于600的能被35整除的数，进一步即得结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴是“差—数”；
∵，，
∴不是“差—数”；
（2）解：∵“差一数”这个数除以7余数为6，且除以5余数为4，
∴这个数加1能被35整除，
∵大于500且小于600的能被35整除的数为525、560、595，
∴大于500且小于600的所有“差一数”为524、559、594．
18．如果是一个有理数，我们定义表示不小于的最小整数，如，，．
(1)根据定义：_____，______；
(2)计算；
(3)若，直接写出与1，2的大小关系为______；（用＞，≤，＜，≥，连接）
【答案】(1)0；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意及有理数的运算可进行求解；
（3）根据题意可直接进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：，，
故答案为0，；
（2）解：由题意得：，
∴
；
（3）解：根据“我们定义表示不小于的最小整数”可知：；
故答案为．
19．我们定义一种新运算：．
如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数混合运算；
（1）根据题干信息列式计算即可；
（2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
20．对于有理数a，b，定义运算：．解决以下问题：
(1)计算；
(2)计算；
(3)请你判断一下交换律在这一运算中是否成立．如果成立请证明；如果不成立请举反例．
【答案】(1)
(2)
(3)成立．证明见解析
【分析】（1）运用运算公式，计算即可得到答案；
（2）根据，按运算顺序，先计算，进一步计算即可；
（3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：成立．
理由是：∵，
又∵，
∴．
定义新运算的概念
在数学中，定义新运算是一个有趣的问题，它允许我们创建自己的规则和操作从而拓展现有的数学概念，特别是在有理数范围内，这种灵活性可以带来许多有趣的数学问题和解题技巧。有理数包括所有整数和分数，它们是可以通过四则运算相互转换的数字。
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专题突破七：有理数中定义新运算问题（20道）
（压轴专练）
一、综合题（本题组共20道计算题，每题5分，总分100分）
1．现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（ ）
A． B． C．7 D．13
2．现定义两种运算“ ”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么 ．
3．定义一种新的运算：，则 ．
4．定义一种新运算“”，规则为：例：，则 ．
5．对任意的四个有理数定义运算，则的相反数是 ．
6．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ．
7．现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ．
8．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
9．若定义一种新运算，规定，则 ．
10．现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ．
11．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数）
(3)若，分别计算；．
12．探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
；；
；；
；．
(1)归纳*运算的法则：
两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________
(2)计算：．
(3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
13．定义新运算“※”为，则当时，计算．
14．定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题：
(1)求的值；
(2)求的值．
15．对于有理数、，定义运算：．
(1)计算的值；
(2)计算．
16．阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如：
(1)计算：；
(2)计算：．
17．在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差—数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数是6，且除以5余数为4，则称这个数为“差一数”．例如：，，所以34是“差一数”；，，所以27不是“差一数”．
(1)判断69和97是否为“差—数”？并说明理由；
(2)求大于500且小于600的所有“差—数”．
18．如果是一个有理数，我们定义表示不小于的最小整数，如，，．
(1)根据定义：_____，______；
(2)计算；
(3)若，直接写出与1，2的大小关系为______；（用＞，≤，＜，≥，连接）
19．我们定义一种新运算：．
如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式：
(1)；
(2)．
20．对于有理数a，b，定义运算：．解决以下问题：
(1)计算；
(2)计算；
(3)请你判断一下交换律在这一运算中是否成立．如果成立请证明；如果不成立请举反例．
定义新运算的概念
在数学中，定义新运算是一个有趣的问题，它允许我们创建自己的规则和操作从而拓展现有的数学概念，特别是在有理数范围内，这种灵活性可以带来许多有趣的数学问题和解题技巧。有理数包括所有整数和分数，它们是可以通过四则运算相互转换的数字。
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