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专题突破六：有理数中找规律问题（20道）
（压轴专练）
一、综合题（本题组共20道计算题，每题5分，总分100分）
1．找规律并计算：
(1)计算： 　 ， 　 ；
　 ， 　 ；
(2)猜想：观察上述式子可猜想出的结论是：　 ；
(3)试用你所猜想的结论计算：…….
2．观察下列计算：,,,,……，从计算结果中找规律，利用规律计算①②
3．观察下列计算，并回答下列问题．
①，
②，
③，
④
……
（1）第5个式子是_____________________________；
（2）第个式子是_________________________________；
（3）从计算结果中找规律，利用规律计算：
4．探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2(　　)
　23﹣22=　　　　=2(　　)，
　24﹣23=　　　　=2(　　)，
……
（1）请仔细观察，写出第4个等式；
（2）请你找规律，写出第n个等式；
（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．
5．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？
【阅读理解】
根据上面得到的启发完成下面的计算：
(1)根据规律，是第______个数；
(2)请直接写出计算的结果：______；
(3)探究并计算：
6．在一个探究活动中，老师请大家完成下列几个问题．
(1)补全下面的表格：
(2)用简洁的语言描述你发现的规律；
(3)已知当时，代数式的值为5，求当时，代数式的值．
7．若任意数、有这样运算规律：，．
(1)则__________；_________；
(2)根据上述题，试用字母、表示其规律；
(3)若表示不大于的最大整数，如：，，则求：．
8．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，．
【初步体验】
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）：
①_______；②_______；③_______；④_______．
【拓广应用】
（2）合适的方法计算：_______．
（3）简便的方法计算：．
9．观察下列各式：
…
(1)猜想_______
(2)根据上面的规律，解答下列问题：
①
②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？
10．【信息提取】
在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，．
【初步体验】
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不要计算出结果)：
① ；
② ．
【拓广应用】
（2）计算：
11．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式：
，，，，
【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算：
【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算；
【问题拓展】（3）求的值．
12．观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；……
(1)根据上述规律写出第5个等式： ；
(2)第n个等式： ；（用含n的式子表示）
(3)计算：．
13．已知：，…照此规律
(1)______；
(2)计算：；
(3)计算：．
14．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．
例如：；；；．
根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
(1)________；
(2)________；
(3)________；
(4)________；
(5)用合适的方法计算：．
15．观察下列等式：
①，
②，
③，
④，
…
(1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________；
(2)按此规律计算
①；
②．
16．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ．
②如果欲求的值，
可令①，
将①式右边顺序倒置，得②，
由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可）
由结论求 ．
（2）为了求的值，
可令，
则，
因此，，
∴，即．
仿照以上推理，计算．
17．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式：
①；②；③；
把①、②、③三个等式相加，于是．
阅读以上材料，请你解答以下问题：
(1)　　．
(2)根据以上观察，聪明的你发现　　．
(3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：．
18．先阅读并填空，再解答问题．
我们知道，
(1)仿写：__________，__________，__________．
(2)直接写出结果：__________．
利用上述式子中的规律计算：
(3)；
(4)．
19．观察下面算式的演算过程：
……
(1)根据上面的规律，直接写出下面结果：
________；
_______．
(2)根据规律计算：
．
20．探究规律，完成相关题目．定义“”运算：
；；
；；
；．
(1)归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，__________．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，__________．请把运算法则补充完整；
(2)计算：
(3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值．
有理数中找规律的方法
在有理数中找规律是一项重要的数学技能，它可以帮助我们更好地理解数字和解
决数学问题。以下是几种常用的找规律的方法:
1.观察法
观察法是一种通过对数字的观察来发现规律的方法。例如，我们可以观察一个数列的前几个数字，找出它们之间的关系，从而推断出数列的后续项。这种方法要求我们对数字特别敏感，能够通过直觉发现数字之间的联系。
2.归纳法
归纳法是一种通过观察特殊情况下的规律来推断一般情况的方法。例如，我们可以通过观察一系列平方数的个位数(1、4、9、16.)来发现平方数的规律:它们的个位数只能是0、1、4。
3.模式识别
模式识别是一种通过观察数列或图形中的规律来找出数列的通项公式的方法。例如，我们可以观察到一个数列:2、4、8、16、32.…发现每个数都是前一个数乘以2得到的，从而推断出该数列的通项公式为:an=2^n，其中n为正整数。
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专题突破六：有理数中找规律问题（20道）
（压轴专练）
一、综合题（本题组共20道计算题，每题5分，总分100分）
1．找规律并计算：
(1)计算： 　 ， 　 ；
　 ， 　 ；
(2)猜想：观察上述式子可猜想出的结论是：　 ；
(3)试用你所猜想的结论计算：…….
【答案】(1)3，3，21，21
(2)
(3)
【分析】（1）直接进行计算即可；
（2）根据（1）所得的结果，进一步强化猜想；
（3）利用猜想展开，发现规律，即可求解．
【详解】（1），，，，
（2），
（3）原式
．
2．观察下列计算：,,,,……，从计算结果中找规律，利用规律计算①②
【答案】（1）；（2）
【分析】①先将式子中的各分母化为相邻两个数相乘的形式，利用题述中的规律变形后，依次抵消相加即可；
②先将式子中的各分母化为相隔两个数相乘的形式，仿照题述中的规律变形后，依次抵消相加即可．
【详解】解：①
=
=
=
=；
②
=
=
=
=
=
=
=．
3．观察下列计算，并回答下列问题．
①，
②，
③，
④
……
（1）第5个式子是_____________________________；
（2）第个式子是_________________________________；
（3）从计算结果中找规律，利用规律计算：
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】根据前4个式子的规律，即可得到第5个式子和第n个式子；结合（2）的结论，将分数乘法变形为减法的形式，通过加减运算即可得到答案．
【详解】（1）第5个式子是；
（2）第个式子是
（3）从计算结果中找规律，利用规律计算
原式=
4．探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2(　　)
　23﹣22=　　　　=2(　　)，
　24﹣23=　　　　=2(　　)，
……
（1）请仔细观察，写出第4个等式；
（2）请你找规律，写出第n个等式；
（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．
【答案】探究：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3；（1）25﹣24=2×24﹣1×24=24；（2）2n+1﹣2n=2×2n﹣1×2n=2n；（3）﹣2．
【分析】探究：根据有理数的乘方运算逐个补充即可；
（1）观察探究的等式，即可写出第4个等式；
（2）根据探究的等式，归纳类推出一般规律即可得；
（3）先将所求式子进行变形，再根据题（2）中的规律进行求解即可得．
【详解】探究：
（1）第4个等式为；
（2）归纳类推得：第n个等式为；
（3）原式
．
5．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？
【阅读理解】
根据上面得到的启发完成下面的计算：
(1)根据规律，是第______个数；
(2)请直接写出计算的结果：______；
(3)探究并计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查分数的性质，有理数的混合运算，理解材料提示信息，掌握分数性质及变式是解题的关键．
（1）根据材料提示可得，即可求解；
（2）根据材料提示裂项，分数的加减混合运算即可求解；
（3）根据材料提示可得，依次类推即可求解．
【详解】（1）解：根据材料提示得，，
∴是第个数，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：．
（3）解：
．
6．在一个探究活动中，老师请大家完成下列几个问题．
(1)补全下面的表格：
(2)用简洁的语言描述你发现的规律；
(3)已知当时，代数式的值为5，求当时，代数式的值．
【答案】(1)补全表格见解析
(2)与互为相反数；与互为相反数
(3)
【分析】本题考查了有理数的加法运算．
（1）根据有理数的加法法则计算即可；
（2）根据表格数据即可得解；
（3）根据（2）的结论即可求解．
【详解】（1）解：补全下面的表格：
（2）解：与互为相反数；
与互为相反数；
（3）解：由（2）知，与互为相反数．
∵当时，，
∴当时，．
7．若任意数、有这样运算规律：，．
(1)则__________；_________；
(2)根据上述题，试用字母、表示其规律；
(3)若表示不大于的最大整数，如：，，则求：．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则计算即可．
（2）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则即可求得答案．
（3）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）根据定义的运算规律可知
，
．
故答案为：；
（2）根据定义的运算规律可知
．
（3）根据题意可知
，．
则
．
8．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，．
【初步体验】
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）：
①_______；②_______；③_______；④_______．
【拓广应用】
（2）合适的方法计算：_______．
（3）简便的方法计算：．
【答案】（1）①；②；③；④ （2）（3）
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．
（1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案；
（2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案．
（3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案．
【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，；
①∵
∴；
②∵，
∴；
③∵，
∴；
④∵
∴；
故答案为为：；；；．
（2），
故答案为：．
（3）
．
9．观察下列各式：
…
(1)猜想_______
(2)根据上面的规律，解答下列问题：
①
②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据有理数的乘法运算法则即可求解；
（2）①根据材料提示，以及有理数的乘法运算法则即可求解；②有理数的乘法运算法则，材料提示信息进行计算即可．
【详解】（1）解：∵
…
∴
故答案为：；
（2）解：①
；
②由题意得，
．
10．【信息提取】
在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，．
【初步体验】
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不要计算出结果)：
① ；
② ．
【拓广应用】
（2）计算：
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，化简绝对值；
（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；
（2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为0可得答案．
【详解】解：（1）①；
②；
（2）
．
11．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式：
，，，，
【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算：
【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算；
【问题拓展】（3）求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键．
（1）利用规律，将转化为进行计算即可；
（2）利用规律，将转化为进行计算即可；
（3）将转化为，再利用规律解题即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
12．观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；……
(1)根据上述规律写出第5个等式： ；
(2)第n个等式： ；（用含n的式子表示）
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，
（1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答；
（2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：；
（3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答，
掌握第n个等式：是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
故第n个等式：；
（3）解：由（2）知第n个等式：；
则
13．已知：，…照此规律
(1)______；
(2)计算：；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据绝对值计算解答即可；
（2）根据绝对值计算解答即可；
（3）根据绝对值计算解答即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解： 原式
；
（3）解：原式
．
14．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．
例如：；；；．
根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
(1)________；
(2)________；
(3)________；
(4)________；
(5)用合适的方法计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据题目中的例子解答前四问，第五问根据前面的规律去掉绝对值符号，然后再去掉括号解答即可．
【详解】（1）解：根据题目中的信息，故答案为：；
（2）根据题目中的信息，故答案为：；
（3）根据题目中的信息，故答案为：；
（4）根据题目中的信息，故答案为：；
（5）
15．观察下列等式：
①，
②，
③，
④，
…
(1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________；
(2)按此规律计算
①；
②．
【答案】(1)
(2)①306；②468．
【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可；
（2）利用得出的规律计算各式即可．
【详解】（1）解：第⑤个等式：；
故答案为：；
（2）解：①；
②
．
16．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ．
②如果欲求的值，
可令①，
将①式右边顺序倒置，得②，
由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可）
由结论求 ．
（2）为了求的值，
可令，
则，
因此，，
∴，即．
仿照以上推理，计算．
【答案】（1）①，，②；（2）
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，充分理解题干给出的计算思路，是解答本题的关键．
（1）①总结规律即可作答；②按照题干思路作答即可；
（2）按照题干思路作答即可．
【详解】（1）①，，
②可令①，
将①式右边顺序倒置，得②，
由②加上①式，得，
∴．（列式即可）
∴；
（2）令，
则，
因此，，
∴，
即．
17．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式：
①；②；③；
把①、②、③三个等式相加，于是．
阅读以上材料，请你解答以下问题：
(1)　　．
(2)根据以上观察，聪明的你发现　　．
(3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）仿照题中的例子进行求解即可；
（2）仿照题中的例子进行求解即可；
（3）将原式转化为，再进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
；
（3）
18．先阅读并填空，再解答问题．
我们知道，
(1)仿写：__________，__________，__________．
(2)直接写出结果：__________．
利用上述式子中的规律计算：
(3)；
(4)．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（）根据题中给出的等式即可求解；
（）根据题中给出的等式即可求解；
（）根据题中给出的等式即可求解；
（）根据题中给出的等式，然后提出，即可求解．
【详解】（1）根据，，，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）原式，
，
，
故答案为：；
（3）原式，
，
，
；
（4）原式，
，
，
，
．
19．观察下面算式的演算过程：
……
(1)根据上面的规律，直接写出下面结果：
________；
_______．
(2)根据规律计算：
．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；
（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．
【详解】（1），
，
故答案为：，．
（2）
．
20．探究规律，完成相关题目．定义“”运算：
；；
；；
；．
(1)归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，__________．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，__________．请把运算法则补充完整；
(2)计算：
(3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值．
【答案】(1)异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方
(2)17
(3)
【分析】（1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可；
（2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算法则，进行求值计算即可．
（3）根据总结的运算法则，进行分析计算即可．
【详解】（1）解：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方；
故答案为：异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方
（2）解：
；
（3）解：当同号时，
∵，
，
即，
∴，
解得：；
当异号时，
∵，
∴，
即，
∴，
解得：；
综上所述，
有理数中找规律的方法
在有理数中找规律是一项重要的数学技能，它可以帮助我们更好地理解数字和解
决数学问题。以下是几种常用的找规律的方法:
1.观察法
观察法是一种通过对数字的观察来发现规律的方法。例如，我们可以观察一个数列的前几个数字，找出它们之间的关系，从而推断出数列的后续项。这种方法要求我们对数字特别敏感，能够通过直觉发现数字之间的联系。
2.归纳法
归纳法是一种通过观察特殊情况下的规律来推断一般情况的方法。例如，我们可以通过观察一系列平方数的个位数(1、4、9、16.)来发现平方数的规律:它们的个位数只能是0、1、4。
3.模式识别
模式识别是一种通过观察数列或图形中的规律来找出数列的通项公式的方法。例如，我们可以观察到一个数列:2、4、8、16、32.…发现每个数都是前一个数乘以2得到的，从而推断出该数列的通项公式为:an=2^n，其中n为正整数。
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