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人教版数学八年级上暑假预习课
第十四讲 等腰三角形
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 等腰三角形的定义及性质
等腰三角形的概念
有两边相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性质
1、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．
3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．
在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去。
典例剖析1
例1-1．如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B=30°，求证：AD=BC．
例1-2．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD．
小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下：
①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②连接MN，交BC于点D，连接AD；
③点D即为所求．
（1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____；
（2）补充下面的证明过程：
证明：设MN交AC于点E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）．
知识点2等腰三角形的判定
判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用
典例剖析2
例2-1．已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形
例2-2．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到AC上的什么位置时，四边形AECF是矩形，请说明理由；
（3）在（2）的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？
例2-3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=35°，请用尺规作图法在边CB上求作一点D，使得AD将△ABC分为两个等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
知识点3 等腰三角形的性质、判定的综合
等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
等腰三角形的判定是证明两条线段_相等_的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理
典例剖析3
例3-1．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③BC=BD+CE；④△ADE的周长=AB+AC；⑤BF=CF．其中正确的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①②④⑤ D. ②④⑤
例3-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB=6，则DE的长为（　　）
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
例3-3．一次函数y=2x-4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m,4）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-4的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
三、变式训练
变式1 等腰三角形的性质
1．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD=AE．
（1）如图1，若∠BAC=90°，D为BC中点，则∠2的度数为_____；
（2）如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明．
2．如图，在中，，D是上的一点，且，点E是的中点，连接．求证：．
3．如图，平行四边形的对角线交于点O，E为中点，过点C作交的延长线于F，连接．
（1）求证：
（2）当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由．
4．如图，在中，.
⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：；
⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数.
变式2 等腰三角形的判定
1．如图，∠AOB=90°，线段OA=18cm,OB=6m,一机器人Q在点B处．
（1）若BC=AC，求线段BC的长；
（2）在（1）的条件下，机器人Q从点B出发，以3m/min的速度沿着△OBC的三条边逆时针走一圈后回到点B，设行走的时间为t min,则t=_____时，△OBQ是以OB为腰的等腰三角形.
2．如图在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
求证：△BCD为等腰三角形．
3．如图△ABC是等边三角形，BD是角平分线，延长BC至E，使CE=CD．求证△BED是等腰三角形．
变式3等腰三角形的判定性质综合
1．如图，．
（1）写出与的数量关系
（2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：．
（3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
2．如图，在中，，，点在线段上，于点，连接，．已知，．
（1）求证：．
（2）若，求线段的长．
3．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；
（2）如图1，四边形ABCD是“等对边四边形”，其中AB=CD，边BA与CD的延长线交于点M，点E、F是对角线AC、BD的中点，若∠M=60°，求证：EFAB；
（3）如图2．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且满足∠DBC=∠ECB∠A，线段CE、BD交于点O．
①求证：∠BDC=∠AEC；
②请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明．
4．(1)发现：如图，点是线段上的一点，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，相交于点．
①线段与的数量关系为：　 　；的度数为　 　．
②可看作经过怎样的变换得到的？　 　．
(2)应用：如图2，若点，，不在一条直线上，中的结论①还成立吗？请说明理由；
(3)拓展：在四边形中，，，，若，，请直接写出，两点之间的距离．
四、能力提升
提升1 等腰三角形的性质
1．如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上．
（1）求证：AD是BC的垂直平分线．
（2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC．
（3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数．
2．如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动．
（1）当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在 ；当 M、N运动 秒时，点N追上点M；
（2）当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间．
（3）当为直角三角形时，运动时间t的值是
提升2 等腰三角形的判定
1．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若∠BAC=108°，∠DAE=36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
2．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
3．如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论：
①BD是∠ABC的角平分线；
②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明．
提升3等腰三角形的判定性质综合
1．（1）如图1，在中，，D是边的中点，E、F分别是、边上的点．若B、E、F在一条直线上，且，探究与的数量之间有何等量关系，并证明你的结论．
（2）为了丰富学生的业余生活，增强学生的身体素质，某体育课上老师组织学生进行传球训练．如图2所示，体育老师在地面画了一块场地，已知米，米，D为的中点，测得的长为15米，受训练的两名同学E和F分别在和边上移动，老师站在C点位置给同学传球，先把球传给E同学，E同学再传给F同学，请求出所传球的运动路径最小值（即的最小值）．
2．在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______．
3．如图，是等腰直角三角形，，动点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动，过点作交于点点不与点、重合，点绕点沿逆时针方向旋转至点，连结，，设点的运动时间为秒．
（1）______，______用含代数式表示
（2）当点落在线段上时，求的值；
（3）设与重叠部分面积为，用含的代数式表示；
（4）当线段的垂直平分线经过一边中点时，直接写出的值．
4．已知两个等腰有公共顶点C，，连接是的中点，连接．
（1）如图1，当与在同一直线上时，求证：；
（2）如图2，当时，求证：．
人教版数学八年级上暑假预习课
第十四讲 等腰三角形（解析版）
一、专题导航
知识点梳理
知识点1 等腰三角形的定义及性质
等腰三角形的概念
有两边相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性质
1、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．
3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．
在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去。
典例剖析1
例1-1．如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B=30°，求证：AD=BC．
【解析】（1）根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解；
（2）根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解．
解（1）∵AB∥DE，∠E=40°，
∴∠EAB=∠E=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=30°；
（2）证明：在△ADE与△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD=BC．
例1-2．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD．
小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下：
①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②连接MN，交BC于点D，连接AD；
③点D即为所求．
（1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____；
（2）补充下面的证明过程：
证明：设MN交AC于点E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）．
【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;(2)垂直的定义;(3)CD;(4)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
解：（1）如图所示，
作图依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
（2）证明：设MN交AC于点E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，（垂直的定义）DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=CD．（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）（填推理依据）．
故答案为：垂直的定义，CD，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
知识点2等腰三角形的判定
判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用
典例剖析2
例2-1．已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形
【答案】见解析
【解析】由是中点可得，再证明可得，然后根据等角对等边可得即可证明结论．
解：∵是中点
∴
在和中
∴
∴
∴,即是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，证得是解答本题的关键．
例2-2．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到AC上的什么位置时，四边形AECF是矩形，请说明理由；
（3）在（2）的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？
【答案】（1）OE=OF，证明见解析
（2）当点O运动到AC的中点处时，四边形AECF是矩形，理由见解析
（3）∠ACB=90°，理由见解析
【解析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，根据“等角对等边”得出OE＝OC，OF＝OC，即可得出结论；
（2）由（1）得出的OE＝OC＝OF，点O运动到AC的中点时，则由OE＝OC＝OF＝OA，证出四边形AECF是平行四边形，再证出∠ECF＝90°即可；
（3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，得出四边形AECF是正方形．
【小问1详解】
OE=OF ，
理由：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴MNBC，
∴∠BCE=∠NEC，
∴∠ACE=∠NEC，
∴OE=OC，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴MNBC，
∴∠MFC=∠DCF，
∴∠ACF=∠MFC，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
【小问2详解】
当点O运动到AC的中点处时，四边形AECF是矩形，
理由：∵AO=OC，OE=OF ，
∴四边形AECF是平行四边形 ，
∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD平分线 ，
∴∠ECF=∠BCA +∠ACD =∠BCD=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【小问3详解】
在（2）的条件下，当△ABC满足条件∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，
理由：∴MNBC，∠ACB=90°，
∴∠AOE=90° ，
即AC⊥EF，而平行四边形AECF是矩形．
∴矩形AECF是正方形．
【点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形和矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义等知识；本题综合性强，属于探究条件型题．
例2-3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=35°，请用尺规作图法在边CB上求作一点D，使得AD将△ABC分为两个等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
【解析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，作线段BC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD，则△ACD与△ABD即为两个等腰三角形．
解：如图，作线段BC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD，
可得AD=CD=BD，
则△ACD与△ABD即为两个等腰三角形．
∴点D即为所求．
知识点3 等腰三角形的性质、判定的综合
等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
等腰三角形的判定是证明两条线段_相等_的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理
典例剖析3
例3-1．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③BC=BD+CE；④△ADE的周长=AB+AC；⑤BF=CF．其中正确的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①②④⑤ D. ②④⑤
【答案】B
【解析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC，
①②④正确，
故选：B．
例3-2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB=6，则DE的长为（　　）
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
【答案】B
【解析】求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°．
∴∠ABD=∠BDE．
∴DE=BE．
∵AB=6，
∴DE=BE=AE=AB=3，
故选：B．
例3-3．一次函数y=2x-4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m,4）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x-4的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
【解析】（1）把y=0和4分别代入函数解析式，即可求得相应的x和m的值，即可得点A、B的坐标；
（2）利用描点法画图象即可；
（3）根据等腰三角形的性质即可得出答案．
解：（1）∵一次函数 y=2x-4 的图象与x轴交于点A，
∴令y=0，2x-4=0，
解得x=2，
∴点A的坐标是（2，0），
∵点B（m,4）在一次函数y=2x-4 的图象上，
把B（m,4）代入y=2x-4，得2m-4=4，
∴m=4，
∴点B的坐标是（4，4）；
（2）图象过点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（4，4），如图：
（3）∵A（2，0），B（4，4），
∴AB==2，
∵点P在x轴的正半轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，
∴P的坐标为（6，0）或（2+2，0）．
三、变式训练
变式1 等腰三角形的性质
1．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD=AE．
（1）如图1，若∠BAC=90°，D为BC中点，则∠2的度数为_____；
（2）如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明．
【答案】22.5°
【解析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而得出∠BAD=2∠CDE．
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而得出∠BAD=2∠CDE．
解：（1）∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠B=∠C，∠BAC=90°，D是BC中点，
∴∠BAD=45°，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD=2∠CDE，
∴∠2=22.5°；
故答案为：22.5°．
（2）∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD=2∠CDE，∠1=2∠2．
2．如图，在中，，D是上的一点，且，点E是的中点，连接．求证：．
【答案】见解析
【解析】根据直角三角形斜边上中线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形外角性质得出，再根据已知条件即可证明结论．
证明：∵，
∴为直角三角形．
又∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．如图，平行四边形的对角线交于点O，E为中点，过点C作交的延长线于F，连接．
（1）求证：
（2）当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）当满足时，四边形为矩形，理由见解析
【解析】（1）由证明即可；
（2）先证四边形为平行四边形，再由等腰三角形的性质得，则，即可得出平行四边形为矩形．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
小问2详解】
当满足时，四边形为矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
4．如图，在中，.
⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：；
⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数.
【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°.
【解析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案.
（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°，
解得x=36°，即∠B=36°.
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.
变式2 等腰三角形的判定
1．如图，∠AOB=90°，线段OA=18cm,OB=6m,一机器人Q在点B处．
（1）若BC=AC，求线段BC的长；
（2）在（1）的条件下，机器人Q从点B出发，以3m/min的速度沿着△OBC的三条边逆时针走一圈后回到点B，设行走的时间为t min,则t=_____时，△OBQ是以OB为腰的等腰三角形.
【答案】4或6
【解析】（1）设BC=x m,则OC=（18-x）m,利用直角三角形的勾股定理得出x的值即可；
（2）根据等腰三角形的定义，分两种情况进行讨论，列出关于t的方程解答即可．
解：（1）设BC=x m,
∵BC=AC，
∴OC=OA-CA=OA-BC=（18-x）m,
在Rt△OBC中，OB2+OC2=BC2，
即62+（18-x）2=x2，
解得：x=10，
即线段BC的长为10m；
（2）当点Q在OC上时，OB=OQ=6，
此时3t=6+6=12，
解得t=4，
当点Q在BC上时，OB=BQ=6，
此时6+8+10-3t=6，
解得t=6，
综上所述，当t=4s或6s时，△OBQ是以OB为腰的等腰三角形．
故答案为：4或6．
2．如图在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
求证：△BCD为等腰三角形．
【解析】先利用三角形的内角和求出∠ABC=70°，再利用角平分线的定义求出∠DBC=35°，最后利用等边对等角即可解答．
证明：∵∠BAC=75°，∠ACB=35°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=35°，
∴∠DBC=∠ACB=35°，
∴DB=DC，
∴△BCD为等腰三角形．
3．如图△ABC是等边三角形，BD是角平分线，延长BC至E，使CE=CD．求证△BED是等腰三角形．
【解析】根据等边三角形的性质及等腰三角形的判定可得结论．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是角平分线，
∴∠DBC=∠ABC=30°．（三线合一）
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=∠CDE=∠ACB=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴BD=DE，
∴△BED是等腰三角形．
变式3等腰三角形的判定性质综合
1．如图，．
（1）写出与的数量关系
（2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：．
（3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解；
（2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证；
（3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∵
∴
即；
【小问2详解】
证明：如图所示，
∴
∴，
∵，
∴
∵，,
∴
∴
∴
∴
【小问3详解】
证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，
∵，，
∴，
∴
∵是的角平分线，
∴，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
又，则，
在中，
，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．如图，在中，，，点在线段上，于点，连接，．已知，．
（1）求证：．
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出，进而求出，再根据三角形内角和定理得到，进而根据等边对等角和三角形外角的性质推出，即可证明；
（2）先求出，得到，在中根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可 ．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
3．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；
（2）如图1，四边形ABCD是“等对边四边形”，其中AB=CD，边BA与CD的延长线交于点M，点E、F是对角线AC、BD的中点，若∠M=60°，求证：EFAB；
（3）如图2．在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且满足∠DBC=∠ECB∠A，线段CE、BD交于点O．
①求证：∠BDC=∠AEC；
②请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明．
【答案】（1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②四边形EBCD是等对边四边形．证明见解析．
【解析】（1）理解等对边四边形的图形的定义，有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等，可得出答案．
（2）取BC的中点N，连接EN，FN，由中位线定理可得EN＝12CD，FN＝12AB，可证明△EFN为等边三角形，则结论得证；
（3）①证明∠EOB＝∠A，利用四边形内角和可证明∠BDC＝∠AEC；
②作CG⊥BD于G点，作BF⊥CE交CE延长线于F点．根据AAS可证明△BCF≌△CBG，则BF＝CG，证明△BEF≌△CDG，可得BE＝CD，则四边形EBCD是“等对边四边形”．
（1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等．
（2）如图1，取BC的中点N，连接EN，FN，
∴ENCD，FNAB，
∴EN=FN．
∵∠M=60°，
∴∠MBC+∠MCB=120°．
∵FN∥AB，EN∥MC，
∴∠FNC=∠MBC，∠ENB=∠MCB，
∴∠ENF=180°﹣120°=60°，
∴△EFN为等边三角形，
∴EF=FNAB．
（3）①证明：∵∠BOE=∠BCE+∠DBC，∠DBC=∠ECB∠A，
∴∠BOE=2∠DBC=∠A．
∵∠A+∠AEC+∠ADB+∠EOD=360°，∠BOE+∠EOD=180°，
∴∠AEC+∠ADB=180°．
∵∠ADB+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠AEC；
②解：此时存在等对边四边形，是四边形EBCD．
如图2，作CG⊥BD于G点，作BF⊥CE交CE延长线于F点．
∵∠DBC=∠ECB∠A，BC=CB，∠BFC=∠BGC=90°，
∴△BCF≌△CBG(AAS)，
∴BF=CG．
∵∠BEF=∠ABD+∠DBC+∠ECB，∠BDC=∠ABD+∠A，
∴∠BEF=∠BDC，
∴△BEF≌△CDG(AAS)，
∴BE=CD，
∴四边形EBCD是等对边四边形．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，中位线定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，解决本题的关键是理解等对边四边形的定义．
4．(1)发现：如图，点是线段上的一点，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，相交于点．
①线段与的数量关系为：　 　；的度数为　 　．
②可看作经过怎样的变换得到的？　 　．
(2)应用：如图2，若点，，不在一条直线上，中的结论①还成立吗？请说明理由；
(3)拓展：在四边形中，，，，若，，请直接写出，两点之间的距离．
【答案】(1)①，；②可看作绕点顺时针旋转得到的；(2)(1)中的结论①依然成立；理由见解析；(3)
【解析】（1）①证明，得出，，，根据，即可得出结论；
②由①知：，且，则可看作绕点顺时针旋转得到的；
（2）同（1）的方法证明，得出，，，根据，即可得出结论；
（3）过点作于，过点作，交延长线于，得出是等腰直角三角形，证明，则，进而得出，勾股定理即可求解．
解：（1）①、都为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，
，
，
故答案为：，；
②由①知：，
，，，
，
可看作绕点顺时针旋转得到的，
故答案为：可看作绕点顺时针旋转得到的；
（2）若点，，不在一条直线上，（1）中的结论①依然成立；理由如下：
、都为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（3）过点作于，过点作，交延长线于，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
四、能力提升
提升1 等腰三角形的性质
1．如图所示，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上．
（1）求证：AD是BC的垂直平分线．
（2）若ED平分∠BEF，求证：FD平分∠EFC．
（3）在（2）的条件下，求∠EDF的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠EDF＝60°．
【解析】（1）求出AB=AC，BD=DC，根据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）过D作DM⊥EF，连接AD，求出AD平分∠BAC，求出∠ABC=∠ACB=60°，求出BD=DM，BD=DC，推出DM=DC即可；
（3）求出DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，证出△EBD≌△EMD，推出∠BDE=∠EDM，同理∠CDF=∠FDM，进而得出2∠EDF=∠BDC=120°．
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵BD＝DC，
∴D在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线
（2）过D作DM⊥EF，连接AD，
∵AD是BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝DC，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
∴DB⊥AB，DC⊥AC，
∵DM⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC，
∴BD＝DM，BD＝DC，
∴DM＝DC，
∴FD平分∠EFC；
（3）如图，
∵DE平分∠BEF，DB⊥AB，DM⊥EF，DF平分∠CFE，
∴DB＝DM，DM＝DC，∠EBD＝∠EMD＝90°，
在△EBD和△EMD中
，
∴△EBD≌△EMD，
∴∠BDE＝∠EDM，
同理∠CDF＝∠FDM，
∴2∠EDF＝∠BDC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠EDF＝60°．
【点睛】此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.
2．如图，已知等边 的边长为，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点 M的速度，点 N的速度为．当点 N 第一次到达 B 点时，M、N 同时停止运动．
（1）当点 N 第一次到达 B 点时，点M的位置在 ；当 M、N运动 秒时，点N追上点M；
（2）当点 M、N 在 边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时 M、N 运动的时间．
（3）当为直角三角形时，运动时间t的值是
【答案】（1）线段的中点，6
（2）存在，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形
（3），，，9
【解析】（1）先求解N第一次到达B的时间，可得M的位置，再点M、N运动x秒后，M、N两点重合，可得，再解方程即可；
（2）先证明，可得，再建立方程，即可得到答案；
（3）当点N在上运动时，如图3，若，如图4，当，再利用含的直角三角形的性质列方程即可，当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：当点N在上运动时，如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可．
【小问1详解】
解：当点 N 第一次到达 B 点时，，
此时运动了，
∴点M的位置在线段BC的中点，
设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，，
解得：，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M．
【小问2详解】
当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设是等腰三角形，
∴，
∴．
∴，
∵是等边三角形，
∴，AB=AC，
在和中，
∵，，
∴
∴，
∴，
解得，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形．
【小问3详解】
当点N在上运动时，如图3，
若，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，解得．
如图4，当，
同理可得：由得，解得；
当点N在上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形：
当点N在上运动时，
如图5，当点N位于中点处时，由为等边三角形知，
即是直角三角形，
则，解得．
如图6，当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，
则；
综上，当，，，9时，可得到直角三角形．
【点睛】本题考查的是动态几何问题，等边三角形的性质，等腰三角形的定义，含的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
提升2 等腰三角形的判定
1．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若∠BAC=108°，∠DAE=36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
【解析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据三线合一的性质，可得DF=EF，又由BD=CE，可得BF=CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD=AE，
∴DF=EF，
∵BD=CE，
∴BF=CF，
∴AB=AC．
（2）∵∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，∠BAE=∠BEA，∠ADC=∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
2．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【解析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α-60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
3．如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论：
①BD是∠ABC的角平分线；
②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明．
【解析】（1）利用等腰三角形和线段垂直平分线的性质分析．
（2）先①根据等腰三角形的性质证明∠ABC=∠ACB，再根据中垂线的性质证明．
解：（1）连接BD，
①∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵AB垂直平分线交AC于D，交AB于M，
∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．
有AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴BD平分∠ABC，故正确；
②∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形．故正确；
③∠ABC=∠ACB=∠BDC=∠C，
∴△ABC∽△BCD，故正确；
④∵∠AMD=90°≠∠C=72°，
∴△AMD与△BCD不是全等三角形．故不正确．
∴①、②、③命题都正确．正确的结论是①、②、③；
（2）证明：BD平分∠ABC，
∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵AB垂直平分线交AC于D，交AB于M，
∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．有AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴BD平分∠ABC．
提升3等腰三角形的判定性质综合
1．（1）如图1，在中，，D是边的中点，E、F分别是、边上的点．若B、E、F在一条直线上，且，探究与的数量之间有何等量关系，并证明你的结论．
（2）为了丰富学生的业余生活，增强学生的身体素质，某体育课上老师组织学生进行传球训练．如图2所示，体育老师在地面画了一块场地，已知米，米，D为的中点，测得的长为15米，受训练的两名同学E和F分别在和边上移动，老师站在C点位置给同学传球，先把球传给E同学，E同学再传给F同学，请求出所传球的运动路径最小值（即的最小值）．
【答案】（1），证明见解析；
（2）米．
【解析】（1）根据等角对等边，可知是等腰三角形，易证，证明≌，进而结论得证；
（2）根据垂线段最短可知当B，E，F三点共线，且垂直时，有最小值为，根据等体积法求解即可．
【小问1详解】
解：．
理由如下：∵，
∴，．
∵，D是边的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴．
在和中
∵
∴≌，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：解：如图，连接
∵，，
∴，
∴，
∴当B，E，F三点共线，且垂直时，有最小值为．
由等面积法可得，
解得米，
∴所传球的运动路径最小值为米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等体积法，垂线段最短．解题的关键在于对知识的灵活运用．
2．在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______．
【答案】或
【解析】分点O在内部和点O在外部两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质，结合中位线性质，等腰三角形的判定和性质，求出即可．
解：当点O在内部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为的中点，A为的中点，
∴，
∴；
当点O在外部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示：
同理可得：，
∴，
∵，，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴、A、O、M四点共圆，
∴，
∵为的中点，A为的中点，
∴，
∴；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线性质，垂直平分线性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论，作出图形，构造全等三角形解决问题．
3．如图，是等腰直角三角形，，动点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动，过点作交于点点不与点、重合，点绕点沿逆时针方向旋转至点，连结，，设点的运动时间为秒．
（1）______，______用含代数式表示
（2）当点落在线段上时，求的值；
（3）设与重叠部分面积为，用含的代数式表示；
（4）当线段的垂直平分线经过一边中点时，直接写出的值．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
（4）或或
【解析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可；
（2）如图中，当点落在线段上时，；
（3）当时，如图中，重叠部分是，当时，如图中，重叠部分是四边形，分别求解即可；
（4）分三种情形，分别画出图形，构建方程求解．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
如图中，当点落在线段上时，，
，
．
【小问3详解】
当时，如图中，重叠部分是，．
当时，如图中，重叠部分是四边形，．
综上所述，．
【小问4详解】
如图中，当垂直平分线经过的中点时，，
，
．
如图中，当的垂直平分线经过的中点时，，此时，
如图中，当的垂直平分线经过的中点时，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．已知两个等腰有公共顶点C，，连接是的中点，连接．
（1）如图1，当与在同一直线上时，求证：；
（2）如图2，当时，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】（1）法一：延长交于点，易证为等腰直角三角形，得到，进而得到为的中位线，即可得证；法二：延长交于，证明，进而推出是等腰直角三角形，得到，进而得到，即可得证；
（2）法一：延长交于点D，连接，易得，，证明，得到，即可得证；法二：延长交于D，连接、，分别证明，推出是等腰直角三角形，进而得证．
【小问1详解】
解：法一：
如图：延长交于点，
∵等腰有公共顶点C，，
∴，，，
∴，
∴，
∴点为线段的中点，
又∵点为线段的中点，
∴为的中位线，
∴；
法二：
如图，延长交于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵在等腰直角中，，
∴，
∴；．
【小问2详解】
法一：
如图，延长交于点D，连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴点B为中点，又点M为中点，
∴．
延长与交于点G，连接，
同法可得：，，
∴点E为中点，又点M为中点，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
法二：
如图，延长交于D，连接、，
∵为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，以及斜边上的中线等于斜边的一半．解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等．
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