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三角函数专题研究
三角函数是历年来高考的一个重点内容。纯粹的三角考查题目要占到22分——27分高考分数，如果再加上在其他学科中的应用分值就应该在40分左右。可以说三角是高考中的一个绝对重点和热点问题。但由于这部分内容知识点多，公式多，题型多，尤其是近年来在其他学科中的应用就更多。所以三角问题的解决是每位考生必须重视的问题。现笔者结合多年教学经验对其进行了一点简单的研究和整理，以起到抛砖引玉的效果，不妥之处望同事们指正。
一、三角函数基本题型
角的概念推广及角度制与弧度制的换算（文科：了解）
任意角三角函数的计算（文科：理解）
利用同角三角函数关系，诱导公式，两角和公式的化简求值（熟练掌握）
简单的三角不等式解法 （熟练掌握）
已知角求三角函数值，已知三角函数值求角（熟练掌握）
三角函数的图象及性质(文科：理解)(五点法作图重点) （熟练掌握）
三角函数的奇偶性，单调性，周期性（熟练掌握）
三角函数与其它学科(解斜三角形，方程，向量，数列，解几，导数)综合性题目(高考热点题型)
二、三角函数基本公式
角的单位制
关系
弧长公式
扇形面积公式
角度制
弧度制
1弧度＝
l＝
角
的
终
边
位置
角的集合
在x轴正半轴上
在x轴负半轴上
在x轴上　
在y轴上
在第一象限内
在第二象限内
在第三象限内
在第四象限内
特
殊
角
的
三
角
函
数
值
函数/角
0
2
sina
0
1
0
－1
0
cosa
1
0
－1
0
1
tana
0
1
不存在
0
不存在
0
cota
不存在
1
0
不存在
0
不存在
同角三角函数的基本关系式
同角关系
倒数关系；
商的关系
平方关系
tana·cota=1
sina/cosa = tana
sin2a＋cos2a=1
sinacsca=1
cosa/sina = cota
1+tan2a=sec2a
cosa·seca=1
1+cot2a=csc2a
诱导公式
Sin(-a)=-sina cos(-a)=cosa tan(-a)=-tana cot(-a)=-cota
sin (π/2 – α) = cosα sin (π – α) = sinα
cos (π/2 – α) = sinα cos (π – α) = - cosα
tan (π/2 – α) = cotα tan (π – α) = - tanα
cot (π/2 – α) = tanα cot (π – α) = - cotα
sin (3π/2 – α)= – cosα
cos(3π/2 – α)= —sinα
sin (2π – α) = – sinα
cos (2π – α) = cosα
sin (π/2 + α) = cosα
cos (π/2 + α) = - sinα
tan (π/2 + α) = - cotα
cot (π/2 + α) = - tanα
sin(π + α) = – sinα
cos(π +α) = - cosα
tan(π +α) = tanα
cot (π +α) = cotα
tan(3π/2 – α) = cotα
cot(3π/2 – α) = tanα
tan(2π- α) = – tanα
cot((2π- α) = – cotα
sin (3π/2 +α) = – cosα
cos(3π/2 +α) = sinα
tan(3π/2 +α)= – cotα
cot(3π/2 +α)= – tanα
sin(2kπ + α) = sinα
cos(2kπ + α) = cosα
tan(2kπ+α) = tanα
cot(2kπ+α) = cotα
(其中K∈Z)
两角和与差的三角函数公式
万能公式
sin()=sin
文科：了解
tan
半角的正弦、余弦和正切公式
三角函数的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3
cos3
文科：了解

三角函数的和差化积公式
三角函数的积化和差公式
文、理科：了解
化为一个三角函数的形式(构造辅助角公式)
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定）
（熟练掌握）
三、近年高考试题对比研究：
A
I、06年陕西：选择题：成等差数列。是等式成立的_________ 条件(充分而非必要)(5分)
06年考查的知识点：等差数列与简单的三角方程的结合问题
大题：(12分)
I、求的最小正周期。(6分)
II、求使函数取得最大值的集合(6分)
取最大值时，有
即
所求的集合为
考查的知识点：求三角复合函数的最小正周期及最值，（共占17分）
II、07年陕西省：选择题：，数列_________(5分)
考查知识点：已知某三角函数式，求三角函数式的值
大题：设函数且图象记过点()
I、求m值,II求函数的最小值及此时的集合。（12分）
解(I)
由已知
II由(I)得
当时，
由得x值的集合为：
考查知识点：向量数量积的坐标运算及三角函数求最值。（共占17分）
B、
III、07全国I卷：选择题：理：是第四象限角，求______(-)(5分)
文：α是第四象限角则________(5分)
考查知识点：知一个三角函数值，求另一个三角函数值。
大题17：设锐角三角形ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a = 2bsinA (10分)
I、　求B的大小；　II、理：求cosA + sinC的范围　文：若 a = 3，c = 5，求b
解：（I）由a = 2bsinA，由正弦定理得：sinA = 2sinB·sinA
∴sinB =
又∵0 < B <
∴ B =
理：（II）cosA + sinC = cosA + sin(π - - A)
= cosA + sin( + A)
= cosA + cosA + sinA
= sin(A + )
∵△ABC为锐角三角形
∴A + B >
∴ > A > - B
又∵ B =
∴
∴
∴ < sin(A + ) <
∴＜ A + <
∴取值范围(，)
文： II 由余弦定理得
b2 = a2 + c2 – 2acos B
= 27 + 25 – 45 = 7
∴ b =
考查知识点：正弦、余弦定理，已知角的取值范围，求三角斜函数值域（共占15分）
C
II、07年全国II卷
选择题：1、理sin210o = _________ ( - ) 文：cos330o = ___________ () (5分)
2、文理合用： y = | sinx | 的一个单调区间 (π，π) (5分)
17、在△ABC中，已知内角A = ，边BC = 2，设内角B = x，周长为y。
I 求函数 y = f(x) 的解析式和定义域。
II 求y的最大值。 (10分)
解：I、∵A + B + C =π，A = ，B > 0，C > 0得，0 < B < π
由正弦定理，知：AC = ·sinB = ·sinx = 4sinx
AB = ·sinC = 4sin(π – x) + 2
∴ (0 < x < π)
II ∵ y = 4（sinx + cosx + sinx) + 2
= 4sin(x + ) + 2( < x + < )
∴ 当 x + = ，即当x = π时，ymax = 6
共占：20分
考查知识点：
① 求特殊角的三角函数值；
② 三角复合函数的单调区间(图像法)
③ 以三角形为背景设置的求实际函数的解析式，定义域及最值。
三、08 年三角部分命题预测
选择题文理都应以最基本的题型为主，文、理可能分开独立命题，复习中应以知角求值，简单的化简求值，图象变换为主；尤其要注重三角与向量，三角与方程三角与导数交叉的简单题型 。
大题今年应特别注重与解三角形（与周长面积）有关的题型。其背景也可能放在其它代数函数、导数、向量中。但考查的仍应是定义域，值域、最小正周期及最值和正弦、余弦定理的应用，也应注重利用五点法确定， y = Asin(ωx + ) x∈R A > 0，ω > 0，| | < 的解析式。利用构造辅助角公式化简仍是重中之重。
四、重点题型简介
1、若关于x的方程 4cosx – cos2x + m = 0恒有实数解，求m的取值范围。 [0，8] (07年成都二诊)
2、若函数y = Asin(ωx + )，x∈R，A > 0，ω> 0，| | < ，若该函数图像一个最高点坐标为 (，3)，与其相邻的对称中心坐标是 ( - ，0) （07年合肥质检）
① 求函数 y = Asin(ωx + )的解析式；
② 理：求函数图像在x = - 处的切线方程
文：求函数最小值，并写出自变量取得最小值时x的集合。
3、(理) 已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为 a、b、c，若= ( - cos，sin)， = ( cos，sin)，a = 2，且= （07年师大附中二联）
① 若△ABC面积为，求b + c的值； 4
② 求b + c 的取值范围。
4、(文) 已知向量= (cos ，cos )， = (cos，sin )，且x∈［0，π］令f(x) = 2a + b
① 当a = 1时，求f(x) 的递增区间；
② 当a <0时，f(x) 值域是［3，4］求a、b
5、若= (sinθ，) ， = ( 1 ，) θ∈(π，π)，则与的关系？(⊥)
6、(理) 设函数 f(x) = 2cosx ( cosx + sinx ) – 1，x ∈R ，又点P1 (x1，y1)，P2 ( x2，y2) …………Pn (xn，yn ) ( n∈N*)，在函数y = f(x)图像上，且满足条件：x1 = ，xn + 1 – xn =，求 Nn = y1 + y2 + … + yn值)
（07年杭州质检二）
n为奇数时，Nn = 2 n为偶数时，Nn = 0。
7、已知a、b、c分别是△ABC的对边，且a2 + c2 – b2 = ac （07年广州检测2）
① 求角B的大小；
② 若c = 3a，求tanA的值。
8、(理) 已知A(3，0)，B(0，3)， C (?cosθ，sinθ)θ∈(，)（07年西安八校联考）
① 若 | | = | |，求角θ的弧度数。
②若 = - 1，求的值。
9、(文) 已知sin(θ - ) = ，cos2θ = ，求sinθ及tan (θ+ )。
sinθ= tan (θ+ ) =
10、(理) 已知△ABC面积为S，且满足3≤ S ≤3，且= 6，与夹角为θ。 （07年湖南十校联考）
① 求θ的取值范围；
② 若f(θ) = sin2θ + 2sinθcosθ + 3sin2θ ，求f(θ)的最小值。
11、（理）已知其导数的部分图象如右图，且的图象按向量平移后得到，求的解析式（07年江西重点高中联考）＝4

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