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专题四 配方法求几何最值
核心考点一 利用配方法求面积最值
01. 如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝12，当AC，BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大？
02.(2024汉阳期中) 如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD所成的锐角为60°，AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积最大值为　 　．
03. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE的面积的最大值为　 　．
核心考点二 利用配方法求线段最值
04. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点H，F分别在边AB，CD上，若BH＝DF，将线段HF绕点F顺时针旋转90°至线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为 　　．
专题四 配方法求几何最值
核心考点一 利用配方法求面积最值
01. 如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝12，当AC，BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大？
解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝12﹣x，
则：SAC BDx（12﹣x）（x﹣6）2+18，
当x＝6时，S最大＝18；
所以AC＝BD＝6时，四边形ABCD的面积最大．
02.(2024汉阳期中) 如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD所成的锐角为60°，AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积最大值为 　　．
解：∵AC与BD所成的锐角为60°，
∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积SAC×BD×sin60°，
设AC＝x，则BD＝10﹣x，
所以Sx（10﹣x）（x﹣5）2，
所以当x＝5，S有最大值．
故答案为：．
03. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE的面积的最大值为 　　．
解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，
∴∠EDN+∠DEN＝90°，
∵∠EDC＝90°，
∴∠EDN+∠CDM＝90°，
∴∠DEN＝∠CDM，
在△EDN和△DCM中，
，
∴△EDN≌△DCM（AAS），
∴EN＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠MAC＝60°，
∴∠ACM＝30°，
∴AMAC3，
∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，
设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，
∴S△BDEBD EN（x）2，
∴当BD时，S△BDE有最大值为，
故答案为：．
核心考点二 利用配方法求线段最值
04. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点H，F分别在边AB，CD上，若BH＝DF，将线段HF绕点F顺时针旋转90°至线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为 　　．
解：过点A作AN∥FM交BC于点N，连接FN，过H作HG⊥CD于G，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵HG⊥CD，
∴四边形HBCG是矩形，
∴BH＝CG，HG＝BC，∠BHG＝90°，
∴∠AHF+∠FHG＝90°，
∵将线段HF绕点F顺时针旋转90°至线段MF，
∴FM＝HF，∠HFM＝90°，
∵AN∥FM，
∴∠BAN+∠AHF＝90°，
∴∠BAN＝∠FHG，
∵∠B＝∠HGF＝90°，AB＝BC＝HG，
∴△ABN≌△HGF（ASA），
∴AN＝HF，
∴AN＝FM，
∴四边形ANFM是平行四边形，
∴AM＝NF，
设BH＝DF＝CG＝x，则FG＝4﹣2x＝BN，CN＝BC﹣BN＝2x，
∴CF＝CD﹣DF＝4﹣x，
∴FN，
∴当x时，FN最小为，
∴AM最小为，
故答案为：．

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