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2023-2024学年广东省江门市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下表所示，建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型，则回归直线必过点( )
零件数个
加工时间
A. B. C. D.
3.在等差数列中，，若直线过点，，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
4.由伦敦著名建筑事务所设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照，，，的比例分为，，，四个等级若小明的数学成绩为分，则属于等级附：，，( )
A. B. C. D.
6.已知曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的值是( )
A. B. C. 或 D.
7.已知数列的前项和为，且，设，则的前项和为( )
A. B. C. D.
8.设事件，满足，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点非长轴的顶点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的焦点坐标为
B. 当时，椭圆的离心率为
C. 当时，的周长为
D. 若椭圆的离心率为，则的面积的最大值是
10.在正方体中，下列说法正确的是( )
A. 正方体的个顶点可以确定条不同的线段
B. 以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有个
C. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥有个
D. 以正方体的顶点为顶点的四棱锥有个
11.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列，下列说法正确的是( )
A. 若为阶等比数列，，，则为等比数列且公比
B. 若为阶等差数列，共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则为等差数列且公差为
C. 若为阶等比数列，则为阶等差数列
D. 若既是阶等比数列，又是阶等比数列，则是等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的系数为______．
13.已知直线与圆：交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值______．
14.丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，，数列是正项等比数列，且，．
求，的通项公式；
从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和．
；．
16.本小题分
为了对高中生进行职业规划教育，让高中生了解信息技术发展的前沿，体验典型人工智能技术的应用感受和人工智能对学习和生活的影响，激发学生对信息技术未来的追求，某市计划在高一年级推广开设人工智能研究性学习课程为调研学生对人工智能的兴趣，随机从某校高一年级学生中抽取了人进行调查，其中数据如下表：
有兴趣 没兴趣 合计
男生
女生
合计
依据小概率值的独立性检验，分析高一学生对人工智能有兴趣与性别是否有关？
以该名高一学生对人工智能有兴趣的频率作为全市高一学生对人工智能有兴趣的概率，从全市的高一学生中随机抽取名学生，记为这名学生中对人工智能有兴趣的学生人数，求的期望与方差．
参考公式：，．
参考数据：
17.本小题分
如图，四边形与四边形是全等的矩形，，，为上的动点．
若为的中点，求证：平面；
若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的名选手来自于个不同的班级，三个班级的选手人数分别是，，，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行场比赛，每场比赛采取局胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以：或：取胜的选手积分，失败的选手积分；而在比赛中以：取胜的选手积分，失败的选手积分已知第场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为．
若进入决赛的名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？
在第场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望；
在第场比赛中，记甲：取胜的概率为，求的最大值．
19.本小题分
已知函数，．
令，讨论的单调性；
若是的极值点，函数有且仅有一个零点，设和为两个不相等的正数，且满足
求的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.任意一个也对
14.
15.解：数列满足，，
可得数列是首项为，公差为的等差数列，即有；
数列是正项等比数列，设公比为，，
由，，可得，，
解得，，则；
选，，
可得；
选，，
，
则，
两式相减可得，
，
则．
16.解：零假设：高一学生对人工智能有兴趣与性别无关，
此时，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为高一学生对人工智能有兴趣与性别有关，此推断犯错误的概率不大于；
易知名高一学生对人工智能有兴趣的频率为，
所以全市高一学生对人工智能有兴趣的概率为，
的所有可能取值为，，，，，，
此时
则期望，方差．
17.解：证明：由题意知，
又因为四边形为矩形，得，且，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
因为，点为的中点，所以，所以，
同理，
所以，即．
又由于，所以，且，
又平面，平面，所以平面．
由知，平面，
又，故B平面，
所以是直线在平面内的射影，
所以就是直线与平面所成的角，即，
即，
设，则．
又由知，，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，即，
设平面的一个法向量为，，
则，
令，则，，即，
设平面与平面的夹角为，可知为锐角，
所以．
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件，
则；
依题意的可能取值为，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
所以的期望为．
依题意，
则，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
所以．
19.解：，，
函数为减函数，令，则，
当时，令，得，令，得，
所以函数的单调增区间为，减区间为，
当时，令，得，令，得，
所以函数的单调减区间为，增区间为，
综上所述，当时，函数的单调增区间为，减区间为；
当时，函数的单调减区间为，增区间为；
，
因为是的极值点，所以，
解得，经检验符合题意，
则，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，又当时，且，当时，，
作出函数的大致图象，如图所示，
函数有一个零点，即函数，的图象有一个交点，
由图可知或，所以或，
即的取值范围是；
证明：当时，，
由，不妨设，又
，结合，则，
要证，由，得，
即证，
令，，则，
故在区间内单调递增，
所以，故，即，
综上，．
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