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专题27 解三角形的应用（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 4
【考点1】解三角形应用举例 4
【考点2】求解平面几何问题 6
【考点3】三角函数与解三角形的交汇问题 8
【分层检测】 10
【基础篇】 10
【能力篇】 12
【培优篇】 13
考试要求：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
二、填空题
2．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度)
3．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则 ， .
4．（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则 .
三、解答题
5．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【考点1】解三角形应用举例
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024高一下·全国·专题练习）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ）

A．观测点位于处的北偏东方向
B．当天10：00时，该船到观测点的距离为
C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D．该船在由行驶至的这内行驶了
4．（2021·江苏徐州·二模）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度)
6．（2022·河北衡水·模拟预测）瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿山道继续走20，测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为.根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为 .（此人身高忽略不计）
反思提升：
1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.
2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.
3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.
4.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
5.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
【考点2】求解平面几何问题
一、单选题
1．（2024·青海西宁·模拟预测）在平行四边形中，，，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·黑龙江大庆·模拟预测）下列命题中，不正确的是（ ）
A．线性回归直线必过样本点的中心
B．若平面平面，平面平面，则平面平面
C．若“，则”的逆命题为假命题
D．若为锐角三角形，则.
二、多选题
3．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则的面积为
C．若，则周长的最大值为
D．若角满足，则
4．（2023·江西·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较小部分与较大部分的比值等于较大部分与整体部分的比值，其比值为，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（ ）
A．若椭圆的焦点在轴上，上顶点为，右顶点为，左焦点为．小欧提出只要满足，椭圆的离心率就等于
B．一顶角等于的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于
C．假设，小莱发现若公比大于0的等比数列与著名的斐波那契数列的递推公式相同，则数列的公比等于
D．小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离与柱高满足，则
三、填空题
5．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .
6．（2024·河南·三模）如图，在中，角所对的边分别为，已知，的平分线交边于点边上的高为边上的高为，，则 ； .

反思提升：
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
【考点3】三角函数与解三角形的交汇问题
一、解答题
1．（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
2．（2024·全国·模拟预测）如图，已知平面四边形中，．
(1)若四点共圆，求；
(2)求四边形面积的最大值．
3．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的最大值.
4．（2023·全国·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求c的值以及的面积；
(2)若，求的值以及的取值范围．
5．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形中，，，.

(1)当四边形内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.
6．（2023·全国·模拟预测）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．

(1)在某次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．
(2)在杆上有两点，满足．当横档的中点位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角．证明：．
反思提升：
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河南新乡·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为直角三角形
C．为钝角三角形 D．的形状无法确定
2．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西宝鸡·二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·甘肃兰州·一模）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有
A．在水平地面上任意寻找两点，，分别测量旗杆顶端的仰角，，再测量，两点间距离
B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和
C．在地面上任意寻找一点，测量旗杆顶端的仰角，再测量到旗杆底部的距离
D．在旗杆的正前方处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达处，再次测量旗杆顶端的仰角
6．（2023·重庆·三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（ ）
A．a，b， B．，，
C．a，， D．，，b
7．（20-21高三上·河北张家口·阶段练习）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（ ）
A．，，则的外接圆半径是4
B．若，则
C．若，则一定是钝角三角形
D．若，则
三、填空题
8．（2024·广东茂名·二模）在中，，点在线段上，且，则 .
9．（21-22高二上·河南·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中，，则S的最大值为 ．
10．（2023·福建宁德·二模）在中，，，则的最大值为 ．
四、解答题
11．（2022·全国·模拟预测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且．
(1)求角B的大小；
(2)若是锐角三角形，求面积的取值范围．
12．（2023·吉林通化·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则边上的中线长为
B．若，，，则有两个解
C．若不是直角三角形，则一定有
D．若是锐角三角形，则一定有
三、填空题
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）

四、解答题
4．（2023·江苏镇江·三模）在凸四边形中，.
(1)若.求的长；
(2)若四边形有外接圆，求的最大值.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·河北邯郸·三模）已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10
三、解答题
3．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
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专题27 解三角形的应用（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 10
【考点1】解三角形应用举例 10
【考点2】求解平面几何问题 16
【考点3】三角函数与解三角形的交汇问题 22
【分层检测】 31
【基础篇】 31
【能力篇】 39
【培优篇】 43
考试要求：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
二、填空题
2．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度)
3．（2021·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则 ， .
4．（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则 .
三、解答题
5．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
参考答案：
1．A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而 ，所以
，而 ，
即＝ ．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
2．
【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.
【详解】设，
在中，由正弦定理得，
即’
即①
在中，由正弦定理得，
即，即，②
因为，得，
利用计算器即可得，
故答案为：.
3．
【分析】由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.
【详解】由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
4．25
【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.
【详解】由题意可得，大正方形的边长为：，
则其面积为：，
小正方形的面积：，
从而.
故答案为：25.
5．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，
而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．
由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．
由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
【考点1】解三角形应用举例
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024高一下·全国·专题练习）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ）

A．观测点位于处的北偏东方向
B．当天10：00时，该船到观测点的距离为
C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D．该船在由行驶至的这内行驶了
4．（2021·江苏徐州·二模）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度)
6．（2022·河北衡水·模拟预测）瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿山道继续走20，测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为.根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为 .（此人身高忽略不计）
参考答案：
1．D
【分析】根据图形，利用直角三角形求解即可.
【详解】由题意，
而，
所以.
故选：D
2．B
【分析】先利用正弦定理得出的长，再利用直角三角形可求答案.
【详解】在中，则，
因为，
且，
则，
在中，则．
故选：B．
3．ACD
【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．
【详解】A选项中，,，
因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确.
B选项中，在中，，，则,又因为，
所以km,故B错误.
C选项中，在中，由余弦定理，得
，即km，故C正确.
D选项中，在中，，，则.
由正弦定理，得AC=km，故D正确.
故选：ACD．
4．ACD
【分析】根据解三角形的原理：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 分析每一个选项的条件看是否能求出塔的高度.
【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.
A. 在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值；
B. 在中，已知无法解出此三角形，在中，已知无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度；
C. 在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；
D.
如图，过点作,连接.
由于,
所以，所以可以求出的大小，
在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 判断一个三角形能不能解出来常利用该原理.
5．
【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.
【详解】设，
在中，由正弦定理得，
即’
即①
在中，由正弦定理得，
即，即，②
因为，得，
利用计算器即可得，
故答案为：.
6． 60 3
【分析】根据题意画出图形，设高度为，则可表示出，在中利用余弦
定理即可求出的值；由已知数据易知，则，则可得到
，再由两角和的正切公式计算出结果.
【详解】如图，设瀑布顶端为，底端为，高为，
该同学第一次测量的位置为，第二次测量的位置为，
则，,
所以，
在中由余弦定理可知：
即，
解得：;
如图，两段山道为,过作于点，
由题意知：，，
所以，
在中，即，
所以，
所以，
所以，
又，
所以，
，
所以.
故答案为：60；3.
反思提升：
1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.
2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.
3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.
4.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
5.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
【考点2】求解平面几何问题
一、单选题
1．（2024·青海西宁·模拟预测）在平行四边形中，，，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·黑龙江大庆·模拟预测）下列命题中，不正确的是（ ）
A．线性回归直线必过样本点的中心
B．若平面平面，平面平面，则平面平面
C．若“，则”的逆命题为假命题
D．若为锐角三角形，则.
二、多选题
3．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则的面积为
C．若，则周长的最大值为
D．若角满足，则
4．（2023·江西·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较小部分与较大部分的比值等于较大部分与整体部分的比值，其比值为，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（ ）
A．若椭圆的焦点在轴上，上顶点为，右顶点为，左焦点为．小欧提出只要满足，椭圆的离心率就等于
B．一顶角等于的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于
C．假设，小莱发现若公比大于0的等比数列与著名的斐波那契数列的递推公式相同，则数列的公比等于
D．小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离与柱高满足，则
三、填空题
5．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .
6．（2024·河南·三模）如图，在中，角所对的边分别为，已知，的平分线交边于点边上的高为边上的高为，，则 ； .

参考答案：
1．C
【分析】根据题意确定中，故平面平面时，三棱锥的体积最大，补形为正方体后，外接球的半径为正方体的体对角线的一半为，进而可得.
【详解】在中，，则，
所以，则
由题可知，当平面平面时，三棱锥的体积最大.
如图，可将三棱锥补全为正方体，则三棱锥外接球的半径为，
故其外接球的表面积为.
故选：C
2．B
【分析】根据回归方程的特征可判定A正确；根据线面位置关系的判定与性质，可判断B不正确；根据不等式的性质，可判断C正确；根据三角形的性质和正弦函数的单调性，可判定D正确.
【详解】对于A中，由回归直线的概念知线性回归直线必过样本点的中心，所以A正确；
对于B中，若平面平面，平面平面，则平面平面或平面与平面相交，所以B不正确；
对于C中，命题“，则”逆命题为“，则”
因为，其中的符号不确定，所以为假命题，所以C正确；
对于D中，若为锐角三角形，可得，即，
又由在区间上为增函数，所以，所以D正确.
故选：B.
3．BCD
【分析】对A：由正弦定理及倍角公式判断；对B：用余弦定理及面积公式求解；对C：用余弦定理及基本不等式求解；对D：构造利用其单调性判断.
【详解】对A：，由正弦定理，
，即，
或，
即或
是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对B. ，
，
，所以B正确；
对C：，
又，
，
又，
周长的最大值为故C正确；
对D： 令，则，
所以在上为增函数，
即，
所以，所以，即，故D正确.
故选：BCD
4．ABD
【分析】选项A，将条件中数量积用坐标表示，整理方程可得；选项B，分别用正余弦定理得到边长与腰长的方程，联立方程组可得；选项C，由等比数列性质，在两边同除以可得公比的方程；选项D，结合对数性质，借助连等式设法，找到的等量关系即可.
【详解】对选项A，设椭圆的方程为，
则，，，
由，得，
即，即，可得，故A正确；
对选项，设该三角形底边长为，腰长为，
由正弦定理得，即①；
又由余弦定理得②，
①②两式联立得，即，
由于，，故，故B正确；
对选项C，设数列的公比为，，则，
由题意得，，两边同除以整理得，
，解得，故C错误；
对选项D，设，
则，，，由，
得，即，
则，且，解得，故D正确．
故选：ABD．
5．10
【分析】设，利用余弦定理求出，进而可求出，再根据换元，结合三角函数的性质即可得解.
【详解】设，
则，
而，
则，
所以，
令，则，
则
，其中，
当且仅当时取等号，
此时，即，
所以四边形面积的最大值为10.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
6．
【分析】根据题意结合角度关系分析可知：，，即可得结果；根据题意利用正项定理可得，，根据图形分别求，即可得结果.
【详解】在中，可知，
因为，且为的平分线，可知，
则，
在中，可得，
在中，可得，
所以；
因为，
，
在中，由正弦定理可得，
则，解得，
由正弦定理可得，
且为的平分线，则，可得，
在中，由正弦定理可得，
在中，可知，则，
在中，可知，
在中，可知，
所以.
故答案为：；.
反思提升：
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
【考点3】三角函数与解三角形的交汇问题
一、解答题
1．（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
2．（2024·全国·模拟预测）如图，已知平面四边形中，．
(1)若四点共圆，求；
(2)求四边形面积的最大值．
3．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的最大值.
4．（2023·全国·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，求c的值以及的面积；
(2)若，求的值以及的取值范围．
5．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形中，，，.

(1)当四边形内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.
6．（2023·全国·模拟预测）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．

(1)在某次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．
(2)在杆上有两点，满足．当横档的中点位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角．证明：．
参考答案：
1．(1)1
(2)
【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解；
以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解.
【详解】（1）由题意可知：，
因为函数的最小正周期为，且，所以.
（2）由（1）可知：，
因为，则，
可知当，即时，取到最大值3，即.
若条件①：因为，
由正弦定理可得，
又因为，
可得，且，则，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若条件②；因为，
由正弦定理可得：，
则，
因为，则，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若选③：因为，则，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为.
2．(1)
(2)．
【分析】（1）由于四点共圆，所以， 因此，然后在两个三角形中分别用这两角余弦定理建立等式即可求解；
（2）利用三角形面积公式可得：，然后结合第一问的可得出含四边形面积的表达式，再结合三角形内角的范围及余弦函数的性质得到结果.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
由于四点共圆，所以， 因此，
上述两式相加得：，
得．
（2）由（1）得：，
化简得，①
四边形的面积：，
整理得，②
①②两边分别平方然后相加得：
由于，，
因此当时，取得最小值，
此时四边形的面积最大，由，得，
故四边形面积的最大值为．
3．(1)4；
(2).
【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果；
（2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.
【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得.
在中，，则，解得.
又，所以；
在中，，，，
所以.
（2）设，.
又，所以.
因为，所以.
在中，，由正弦定理得，
即，解得
.
在中，，由正弦定理得，
即，解得，
所以.
又，所以，
当且仅当，即时，取得最大值1，
所以的最大值为.
4．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据题意，化简得到，再由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解；
（2）由，求得，由正弦定理，求得，进而求得的取值范围.
【详解】（1）解：由，可得，
因为，所以，所以，可得，
由余弦定理得，
所以的面积．
（2）解：因为，所以，
解得，
在中，由正弦定理得，则，
因为，故，所以，
即的取值范围为.
5．(1)
(2).
【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可；
（2）将四边形的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以.
又四边形内接于圆，
所以，
所以，
化简可得，又，
所以.
（2）设四边形的面积为S，
则，
又，
所以，即
平方后相加得，即，
又，
所以时，有最大值，即S有最大值.
此时，，代入得.
又，所以
在中，可得：
，即.
所以，对角线的长为.
6．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）方法一，根据三边长度，利用余弦定理，求，再求正弦值；
方法二，先求，再根据二倍角公式求；
（2）首先由正切公式，求得，再根据不等关系，放缩为，再结合函数的单调性，即可比较角的大小.
【详解】（1）方法一，
由题意，．由于是的中点，且，所以，
且．
由余弦定理，
．
从而，即太阳高度角的正弦值为．
方法二
由题意，．由于是的中点，且，所以，
且．
于是，并且，
从而
即太阳高度角的正弦值为．
（2）由题意，，．
由于，是锐角，则，，所以，
从而．
根据，可知
．
由于函数在单调递增，且，，
所以，即．
反思提升：
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河南新乡·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为直角三角形
C．为钝角三角形 D．的形状无法确定
2．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西宝鸡·二模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·甘肃兰州·一模）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有
A．在水平地面上任意寻找两点，，分别测量旗杆顶端的仰角，，再测量，两点间距离
B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和
C．在地面上任意寻找一点，测量旗杆顶端的仰角，再测量到旗杆底部的距离
D．在旗杆的正前方处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达处，再次测量旗杆顶端的仰角
6．（2023·重庆·三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（ ）
A．a，b， B．，，
C．a，， D．，，b
7．（20-21高三上·河北张家口·阶段练习）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（ ）
A．，，则的外接圆半径是4
B．若，则
C．若，则一定是钝角三角形
D．若，则
三、填空题
8．（2024·广东茂名·二模）在中，，点在线段上，且，则 .
9．（21-22高二上·河南·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中，，则S的最大值为 ．
10．（2023·福建宁德·二模）在中，，，则的最大值为 ．
四、解答题
11．（2022·全国·模拟预测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且．
(1)求角B的大小；
(2)若是锐角三角形，求面积的取值范围．
12．（2023·吉林通化·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
参考答案：
1．C
【分析】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【详解】由于,
故为钝角，进而三角形为钝角三角形
故选：C
2．B
【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出来雁塔AB的高度即可.
【详解】过点作，交于点，
在直角三角形中，因为，
所以，
在直角三角形中，因为，
所以，
则.
故选：B.
3．C
【分析】确定角范围后，由正弦定理表示出，再利用三角函数性质得结论．
【详解】因为是锐角三角形，所以，，所以，，
由正弦定理得，所以．
故选：C．
4．C
【分析】
利用正弦定理在中取得的长，根据正切函数的定，可得答案.
【详解】
由题意可知，，，所以，又因，
由正弦定理，可得：，解得，
又因为，所以，
故选:C.
5．BCD
【分析】根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定旗杆高度即可.
【详解】对于A：如果，两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确．
对于B：如下图， 中由正弦定理求，则旗杆的高，故B正确；
对于C：在直角三角形直接利用锐角三角函数求出旗杆的高，故C正确；
对于D：如下图，中由正弦定理求，则旗杆的高，故D正确；
故选：BCD.
6．ACD
【分析】由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定.
【详解】法一、根据三角形全等的条件可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形；
法二、对于A项，由余弦定理可知，可求得，即A正确；
对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；
对于C项，由正弦定理可知，即C正确；
对于D项，同上由正弦定理得，即D正确；
故选：ACD.
7．BC
【解析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.
【详解】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；
因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；
若，显然，故D错误.
故选：BC
8．
【分析】余弦定理求，勾股定理证得为直角三角形，，勾股定理求的值.
【详解】由余弦定理，，
则有，即为直角三角形，，，
由，得，所以.
故答案为：.
9．
【分析】应用余弦定理有，再由三角形内角性质及同角三角函数平方关系求，根据基本不等式求得，注意等号成立条件，最后利用三角形面积公式求S的最大值.
【详解】由余弦定理知：，而，
所以，而，即，当且仅当时等号成立，
又，当且仅当时等号成立.
故答案为：
10．
【分析】根据题意求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】因为，，可得，
则，且，即，
所以
，其中，
当，即时，取得最大值.
故答案为：.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意和余弦定理，求得，再结合余弦定理求得，即可求解；
（2）由（1）可得，，化简，根据是锐角三角形求得，得到，即，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：由余弦定理可得，整理得，
又由，
因为，所以．
（2）解：由（1）可知：，所以，，
故，
，
因为是锐角三角形，，解得，
可得，所以，故，
又由的面积，所以．
12．(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦边角关系得，根据余弦定理求的余弦值，进而确定其大小；
（2）由已知和余弦定理得，再由求面积最大值，注意取值条件.
【详解】（1）由已知，
即，由正弦边角关系得，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理，得，又，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，故的面积的最大值为.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则边上的中线长为
B．若，，，则有两个解
C．若不是直角三角形，则一定有
D．若是锐角三角形，则一定有
三、填空题
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）

四、解答题
4．（2023·江苏镇江·三模）在凸四边形中，.
(1)若.求的长；
(2)若四边形有外接圆，求的最大值.
参考答案：
1．D
【分析】根据正弦定理及三角形角度关系可得角的大小，再根据正弦定理边化角结合三角恒等变换与正弦型函数的性质求得的取值范围，从而得△ABC周长的最大值.
【详解】因为，
由正弦定理得，
因为，所以，由于，故，则，
由正弦定理得，
故，
又，则，所以，则，
故△ABC周长的最大值为.
故选：D.
2．CD
【分析】利用向量化即可判断A；利用正弦定理解三角形即可判断B；根据三角形内角和定理结合两角和的正弦定理即可判断C；由，，结合正弦函数的单调性即可比较，进而可判断D.
【详解】对于A，由为的中点得：
，
所以边上的中线长为，故A错误；
对于B，，，，
因为，所以，
所以或，
又因为，所以，且只有一个解，
所以只有一个解，故B错误；
对于C，因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，故C正确；
对于D，因为是锐角三角形，所以，
又，所以，
所以，所以，
同理，
所以，故D正确.
故选：CD.
3．
【分析】如图，由三角形的外角和可得，进而求出BD，设m，利用勾股定理求出DG，即可求出DC.
【详解】如图，设海宝塔塔底中心为点，与交于点，
过点作于点，则，

由题意知，m，m，
所以，则，
在中，m，
又是的外角，即有，
所以，
在中，m，设m，则m，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，解得或（舍），
所以m，所以m，
即海宝塔的高度为m.
故答案为：
4．(1)
(2).
【分析】（1）由同角关系可得正弦值，进而由和差角公式，结合余弦定理即可求解，
（2）根据正弦定理可得，同理可知，进而由三角函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
由余弦定理可知，，即
（2）因为四边形有外接圆，所以，
因为，且由正弦定理可知，，
所以，即，
设，则，
由正弦定理可知，，
所以，同理可知，
所以，
因为，所以，所以当，
即时，取得最大值为.

【培优篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·河北邯郸·三模）已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10
三、解答题
3．（21-22高三上·北京昌平·期末）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
参考答案：
1．C
【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到，结合为锐角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范围即可.
【详解】因为，得．
由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因为，则，
所以，即．
因为是锐角三角形，所以，，所以．
又在上单调递增，所以，则．
因为是锐角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因为，所以．
在上单调递增，
当时，，当时，，
故
故选：C．
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
2．ABC
【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得，对A：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得.
【详解】由题意知，整理得，
由余弦定理知，，，．
对A，
，
，，，
的取值范围为，故A正确；
对B，为边的中点，，
则，
，当且仅当时，等号成立，
，故B正确；
对于C，，
是锐角三角形，，
，，故C正确；
对于D，由题意得，
即，
整理得，即，
，
当且仅当时，等号成立，故D错误．
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角形中的最值与范围问题，主要思考方向有两个，一个是借助余弦定理得到边之间的关系，从而通过基本不等式求解，一个是借助正弦定理将边化为角，通过三角形中角的关系将多个变量角化为单变量，借助函数性质得到范围或最值.
3．（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．
【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.
【详解】解：（1）
．
的最小正周期为：；
当时，
即当时，函数单调递减，
所以函数单调递减区间为：；
（2）因为，所以
，，
，．
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：，
，，
（当用仅当时，取等号），所以，
因此边上的高的最大值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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