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2025届高三一轮专项训练（三十一） 带电粒子在组合场中的运动
1.现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为(　　)
A．11　　 B．12　　　
C．121　　 D．144
2.(多选)右图是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法正确的是(　　)
A．加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大
B．粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径和磁感应强度有关
C．若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小
D．粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为∶
3.(多选)如图所示，正方形abcd中△abd区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，△bcd区域内有方向平行于bc的匀强电场(图中未画出)。一带电粒子从d点沿da方向射入磁场，随后经过bd的中点e进入电场，接着从b点射出电场。不计粒子的重力，则(　　)
A．粒子带负电
B．电场的方向是由b指向c
C．粒子在b点和d点的动能相等
D．粒子在磁场、电场中运动的时间之比为π∶2
4.(多选)研究表明，蜜蜂是依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点来定位的，蜜蜂飞行时就是根据这三个位置关系呈“8”字形运动来告诉同伴蜜源的方位。某兴趣小组用带电粒子在如图所示的电场和磁场中模拟蜜蜂的“8”字形运动，即在y＞0的空间中和y＜0的空间内同时存在着大小相等，方向相反的匀强电场，上、下电场以x轴为分界线，在y轴左侧和图中竖直实线MN右侧均无电场，但有方向垂直纸面向里和向外的匀强磁场，MN与y轴的距离为2d。一重力不计的带负电荷的粒子从y轴上的P(0，d)点以沿x轴正方向的初速度v0开始运动，经过一段时间后，粒子又以相同的速度回到P点，则下列说法正确的是(　　)
A．电场与磁场的比值为v0
B．电场与磁场的比值为2v0
C．带电粒子运动一个周期的时间为＋
D．带电粒子运动一个周期的时间为＋
5．(多选)某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→e→f的顺序做横“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)(　　)
A．若粒子的初始位置在a处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
B．若粒子的初始位置在f处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C．若粒子的初始位置在e处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
D．若粒子的初始位置在b处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
6.如图所示，在第Ⅱ象限内有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场。已知O、P之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为(　　)
A． B．(2＋5π)
C． D．
7．如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域abcda′b′c′d′内有竖直向上的匀强磁场。一质量为m，电量为＋q的粒子，以初速度v0水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形add′a′的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb′a′中心垂直飞出磁场区域。忽略粒子受到的重力。求：
(1)粒子进入磁场区域时的速率。
(2)磁感应强度的大小。
8.如图所示，在第一象限内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场Ⅰ，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第三、四象限内存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B0的匀强磁场Ⅱ。一质量为m，电荷量为＋q的粒子，从x轴上M点以某一初速度垂直于x轴进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R0的圆周运动；随后进入电场运动至y轴上的N点，沿与y轴正方向成45°角离开电场；在磁场Ⅰ中运动一段时间后，再次垂直于x轴进入第四象限。不计粒子重力。求：
(1)带电粒子从M点进入第四象限时初速度的大小v0；
(2)电场强度的大小E；
(3)磁场Ⅰ的磁感应强度的大小B1。
9．(2023·浙江1月选考)探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C(孔径忽略不计)，N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为60°，且各个方向均有速度大小连续分布在v0和v0之间的离子射出。已知速度大小为v0、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽(图中没有画出)。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
(1)求孔C所处位置的坐标x0；
(2)求离子打在N板上区域的长度L；
(3)若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压U0；
(4)若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压Ux与孔C位置坐标x之间关系式。
附（解析版）2025届高三一轮专项训练（三十一） 带电粒子在组合场中的运动
1.现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为(　　)
A．11　　 B．12　　　
C．121　　 D．144
解析：选D　由动能定理有qU＝mv2，得带电粒子进入磁场的速度为v＝，结合带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R＝，联立解得R＝，由题意可知，该离子与质子在磁场中具有相同的轨道半径和电荷量，故该离子和质子的质量比＝144，故选D。
2.(多选)右图是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法正确的是(　　)
A．加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大
B．粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径和磁感应强度有关
C．若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小
D．粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为∶
解析：选BC　粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvmB＝m，解得：vm＝，则粒子获得的最大动能为Ekm＝mvm2＝，知粒子获得的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径R和磁感应强度B有关，故A错误，B正确；对粒子由动能定理有：nqU＝，加速次数n＝，增大加速电压U，粒子在金属盒间的加速次数将减少，粒子在回旋加速器中运动的时间：t＝T＝将减小，故C正确；对粒子由动能定理得：nqU＝mvn2，解得vn＝，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvnB＝m，解得：rn＝ ，则粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为＝，故D错误。
3.(多选)如图所示，正方形abcd中△abd区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，△bcd区域内有方向平行于bc的匀强电场(图中未画出)。一带电粒子从d点沿da方向射入磁场，随后经过bd的中点e进入电场，接着从b点射出电场。不计粒子的重力，则(　　)
A．粒子带负电
B．电场的方向是由b指向c
C．粒子在b点和d点的动能相等
D．粒子在磁场、电场中运动的时间之比为π∶2
解析：选ABD　根据题述，带电粒子从d点沿da方向射入磁场，随后经过bd的中点e进入电场，由左手定则可判断出粒子带负电，选项A正确；根据粒子经过bd的中点e进入电场，接着从b点射出电场，可知粒子所受电场力方向由c指向b，电场的方向是由b指向c，选项B正确；带电粒子在匀强磁场中运动，洛伦兹力不做功，在匀强电场中运动，电场力做功，根据动能定理，粒子在b点的动能大于在d点的动能，选项C错误；画出带电粒子在匀强磁场和匀强电场中的运动轨迹如图所示，设正方形abcd的边长为L，则带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R＝，在匀强磁场中运动的速度为v，在匀强磁场中运动的轨迹所对的圆心角为θ＝，在匀强磁场中运动的时间t1＝＝；粒子在匀强电场中沿垂直电场方向做匀速直线运动，由＝vt2，解得在匀强电场中运动时间t2＝，粒子在磁场、电场中运动的时间之比为t1 ∶t2＝∶＝π∶2，选项D正确。
4.(多选)研究表明，蜜蜂是依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点来定位的，蜜蜂飞行时就是根据这三个位置关系呈“8”字形运动来告诉同伴蜜源的方位。某兴趣小组用带电粒子在如图所示的电场和磁场中模拟蜜蜂的“8”字形运动，即在y＞0的空间中和y＜0的空间内同时存在着大小相等，方向相反的匀强电场，上、下电场以x轴为分界线，在y轴左侧和图中竖直实线MN右侧均无电场，但有方向垂直纸面向里和向外的匀强磁场，MN与y轴的距离为2d。一重力不计的带负电荷的粒子从y轴上的P(0，d)点以沿x轴正方向的初速度v0开始运动，经过一段时间后，粒子又以相同的速度回到P点，则下列说法正确的是(　　)
A．电场与磁场的比值为v0
B．电场与磁场的比值为2v0
C．带电粒子运动一个周期的时间为＋
D．带电粒子运动一个周期的时间为＋
解析：选BD　粒子在电场中做类似平抛运动，根据类似平抛运动的分运动公式，有：d＝v0t1，d＝··t12，粒子在磁场中做匀速圆周运动，有：R＝。结合几何关系，有：R＝d，联立解得：＝2v0，选项A错误，B正确；带电粒子在电场中运动时间为4t1＝，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹是两个半圆，故运动时间为t2＝，带电粒子运动一个周期的时间为t＝4t1＋t2＝＋，故选项C错误，D正确。
5．(多选)某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→e→f的顺序做横“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)(　　)
A．若粒子的初始位置在a处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
B．若粒子的初始位置在f处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C．若粒子的初始位置在e处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
D．若粒子的初始位置在b处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
解析：选AD　要使粒子的运动轨迹如题图乙所示，由左手定则知粒子做圆周运动的周期应为T0＝，若粒子的初始位置在a处时，对应时刻应为t＝T0＝T，同理可判断B、C、D选项，可得A、D正确。
6.如图所示，在第Ⅱ象限内有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°角进入磁场，又恰好垂直于x轴进入第Ⅳ象限的磁场。已知O、P之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为(　　)
A． B．(2＋5π)
C． D．
解析：选D　带电粒子的运动轨迹如图所示，带电粒子出电场时，速度v＝v0，这一过程运动的时间t1＝＝，根据几何关系可得，带电粒子在磁场中的偏转轨道半径r＝2d，带电粒子在第Ⅰ象限中运动的圆心角为，故带电粒子在第Ⅰ象限中的运动时间t2＝T＝·＝，带电粒子在第Ⅳ象限中运动的时间t3＝T＝，故带电粒子在电场和磁场中运动的总时间t总＝，D正确。
7．如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域abcda′b′c′d′内有竖直向上的匀强磁场。一质量为m，电量为＋q的粒子，以初速度v0水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形add′a′的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb′a′中心垂直飞出磁场区域。忽略粒子受到的重力。求：
(1)粒子进入磁场区域时的速率。
(2)磁感应强度的大小。
解析：(1)粒子在电场中加速，有动能定理可知：
qU＝mv2－mv02
解得：v＝ 。
(2)根据题意从正方形add′a′的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb′a′中心垂直飞出磁场区域，分析可得粒子在磁场中运动的轨道半径R＝L
在磁场中运动时洛伦兹力提供了向心力，qBv＝m
解得：B＝。
答案：(1) 　(2)
8.如图所示，在第一象限内，存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场Ⅰ，第二象限内存在水平向右的匀强电场，第三、四象限内存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B0的匀强磁场Ⅱ。一质量为m，电荷量为＋q的粒子，从x轴上M点以某一初速度垂直于x轴进入第四象限，在xOy平面内，以原点O为圆心做半径为R0的圆周运动；随后进入电场运动至y轴上的N点，沿与y轴正方向成45°角离开电场；在磁场Ⅰ中运动一段时间后，再次垂直于x轴进入第四象限。不计粒子重力。求：
(1)带电粒子从M点进入第四象限时初速度的大小v0；
(2)电场强度的大小E；
(3)磁场Ⅰ的磁感应强度的大小B1。
解析：(1)带电粒子在第四象限中运动时做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有qv0B0＝
解得：v0＝。
(2)由于粒子与y轴成45°角离开电场，则有vx＝vy＝v0
粒子在水平方向做匀加速运动，在竖直方向做匀速运动，故在水平方向上有：
qE＝ma，vx2－0＝2aR0
解得：E＝。
(3)粒子在电场中运动时
水平方向有：vx＝at，R0＝at2
竖直方向有：y＝vyt
解得：y＝2R0
过N点做速度的垂线交x轴于P点，P即为粒子在第一象限做圆周运动的圆心，PN为半径R，因为ON＝y＝2R0，∠PNO＝45°，所以R＝2R0。
由洛伦兹力提供向心力，得qvB1＝
其中v为进入第一象限的速度，大小为v＝v0
解得：B1＝B0。
答案：(1)　(2)　(3)B0
9．(2023·浙江1月选考)探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C(孔径忽略不计)，N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为60°，且各个方向均有速度大小连续分布在v0和v0之间的离子射出。已知速度大小为v0、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其他离子被分析器的接地外罩屏蔽(图中没有画出)。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
(1)求孔C所处位置的坐标x0；
(2)求离子打在N板上区域的长度L；
(3)若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压U0；
(4)若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压Ux与孔C位置坐标x之间关系式。
解析：(1)对离子由牛顿第二定律得
qv0B＝m，得R0＝
则坐标x0＝2R0＝。
(2)设离子速率为v时，其半径R′＝，
若离子从C点入射，应有2R′cos θ＝x0＝2R0，如图所示
可得：vcos θ＝v0
即cos θ＝，由于≤v≤v0
得：≤cos θ≤1
故0°≤θ≤45°
由几何关系可得：离子打在N板上长度L＝2dtan 45°＝2d。
(3)由于vy＝vcos θ＝v0
由－qU0＝0－mvy2，得U0＝。
(4)由(2)得：C位置坐标x＝2R′cos θ，R′＝，
结合R0＝得x＝2R0cos θ
则因为≤v≤v0,0°≤θ≤60°，即≤cos θ ≤1
当v＝，cos θ＝时，x小＝
当v＝v0，cos θ＝1时，x大＝2R0
故当R0≤x≤2R0时
在磁场中：qvB＝m
在电场中：qUx＝mv2
解得：Ux＝。
答案：(1)　(2)2d　(3)　(4)Ux＝

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