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浙江省绍兴市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·绍兴期末）已知集合，，则(　　)
A． B． C． D．
2．（2024高二下·绍兴期末）若，，则(　　)
A． B． C． D．
3．（2024高二下·绍兴期末）若函数在上有两个不同的零点，则下列说法正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．（2024高二下·绍兴期末）已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是(　　)
A． B． C． D．
5．（2024高二下·绍兴期末）已知，，则(　　)
A． B． C． D．
6．（2024高二下·绍兴期末）将编号为，，，，，的个小球放入编号为，，，的个盒子中，每个盒子至少放个小球，则不同的放法种数是(　　)
A． B． C． D．
7．（2024高二下·绍兴期末）设，为两个随机事件，若，，，则(　　)
A． B． C． D．
8．（2024高二下·绍兴期末）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，，当时，都有，则下列说法正确的是(　　)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．函数和在上有相同的单调性
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·绍兴期末）已知，都是正实数，则下列结论正确的是(　　)
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·绍兴期末）四位同学各掷大小一致、质地均匀的骰子次，分别记录每次骰子出现的点数．四位同学的统计结果如下，则可能出现点数的是(　　)
A．平均数为，中位数为 B．平均数为，方差为
C．中位数为，众数为 D．中位数为，方差为
11．（2024高二下·绍兴期末）已知函数，则下列说法正确的是(　　)
A．恒成立 B．在上单调递增
C．在上有个零点 D．是周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·绍兴期末）计算　 　．
13．（2024高二下·绍兴期末）在棱长为的正方体中，为棱的中点，则四面体的外接球的表面积是　 　．
14．（2024高二下·绍兴期末）在平面四边形中，，，记与的面积分别为，，则的值是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·绍兴期末）已知函数．
（1）求；
（2）求的单调递增区间．
16．（2024高二下·绍兴期末）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元，每次猜谜的结果相互独立．
（1）若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量，求随机变量的分布列与期望；
（2）现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语？
17．（2024高二下·绍兴期末）如图，在四边形中，，，，，现将沿着进行翻折，得到三棱锥，且平面平面，如图．
（1）若与平面所成的角为，证明：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（2024高二下·绍兴期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，证明：在上恒成立．
19．（2024高二下·绍兴期末）已知集合，，，，，，对于，，定义与之间的距离为．
（1）若，，求所有满足的点所围成的图形的面积；
（2）当，，，时，，，，并且，求的最大值用表示；
（3）当，，，时，求集合中任意两个元素之间的距离的和．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：A，，A错误，
B，或，所以，B错误，
C，，但，C错误，
D，，D正确，
故答案为：D
【分析】本题考查集合的交并补运算，集合间的基本关系.元素不在集合B中，根据元素与集合的关系可判断A选项；先利用补集的定义求出，再利用集合的并集运算求出，进而可判断B选项；根据集合间的基本关系可判断C选项；利用集合的交集运算求出，可判断D选项.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：A
【分析】本题考查复数的除法运算.根据复数的除法运算：分子和分母同时乘以，通过化简可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：在上有两个不同的零点
则，
故，故B正确，ACD错误，
故答案为：B
【分析】本题考查函数的的零点.根据零点的定义和一元二次方程根的分布，可列出不等式组，解不等式组可求出，对照选项可选出答案.
4．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
从而，所以即，
故，
故答案为：A.
【分析】本题考查平面向量垂直的转化，平面向量的夹角.先根据平面向量垂直的转化可得：，通过化简可求出，再利用平面向量的夹角计算公式可求出向量与夹角的余弦值.
5．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由已知，则，
平方得，
即，解得，
又，，且，
则，即，所以
由，得，故，
所以.
故答案为：C.
【分析】本题考查两角和的余弦公式，二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式.先利用两角和的余弦公式将式子进行展开可得：，对式子两边同时进行平方可求出得值，再根据已知条件缩小范围，可求出的取值范围，判断所在的象限，利用同角三角函数的基本关系可求出的值.
6．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：分两类解决这个问题：
第一类，一个盒中3个球，另外三个盒中每个盒1个球，
共有种；
第二类，其中两个盒每个盒2个球，另外两个盒每个盒1个球，
共有种；
按照分类加法计数原理得，不同的方法种数共有种.
故答案为：D.
【分析】本题考查排列组合的实际应用，分类加法计数原理.根据题意可得本问题分为两类：第一类，一个盒中3个球，另外三个盒中每个盒1个球；第二类，其中两个盒每个盒2个球，另外两个盒每个盒1个球；利用排列组合的知识求出每一类的种数，利用分类加法计数原理可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】并（和）事件与交（积）事件；条件概率
【解析】【解答】解：由条件概率可得，
，
所以，，
所以，
故答案为：B
【分析】本题考查条件概率的计算公式，和事件的概率公式.根据条件，先利用条件概率公式可求出，利用和事件的概率公式可求出，利用对立事件概率公式可求出，，利用条件概率的计算公式可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：A：，，
因为，所以，
因为，所以恒成立，
又因为不相等，所以，A错误；
B：，
所以恒成立，
所以，又因为不相等，，
所以，
又，，
，，
所以，
所以，B错误；
C： 因为不相等，不妨设，
因为，
所以，
所以，C正确，
D：不妨设在上单调递增，任取，满足，
则，
因为，
所以，所以，
所以单调递减，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.先求出，根据，可推出恒成立，再结合函数的定义域可求出的取值范围，可判断A选项；先求出，根据，可列出不等式组，解不等式组可求出的取值范围，判断B选项；
因为不相等，不妨设，因为，根据放缩可得：，通过化简可判断C选项；不妨设在上单调递增，任取，满足，根据，放缩可推出单调递减，据此可判断D选项.
9．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A.都是正实数，
，当且仅当，即时等号成立，正确；
B.，当且仅当，即时等号成立，正确；
C.当时，不成立，错误；
D.，当且仅当时等号成立，
令，，即，即，
即，所以成立，正确.
故答案为：.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.因为都是正实数，直接利用基本不等式进行求解，可判断A选项；对式子进行展开可得：原式，直接利用基本不等式进行求解，可判断B选项；举出反例当时，可判断不等式不成立，判断C选项；利用基本不等式可推出，令，利用完全平方公式可推出，再进行换元可证明不等式成立，判断D选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，A正确；
B，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为时，一定不会出现点数6，B错误；
C，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，C正确；
D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
则平均数为，
方差为，所以可以出现点6，D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查平均数，中位数，方差，众数.举出例子：当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数，中位数，满足题意可判断A选项；若平均数为2，且出现点数6，利用方差公式可推出：，进而可知不符合题意，判断B选项；举出例子：当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数，众数，满足题意可判断C选项；举出例子：当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数，利用方差公式计算，满足方差，符合题意，可判断D选项.
11．【答案】A,C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的周期性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A， ，A正确，
B，故，B错误，
C，令，
记，
则，
当单调递增，
当单调递减，
且，而，
在同一直角坐标系中作出函数图象如图所示：
故两函数图象有4个不同的交点，因此函数在上有4个零点，C正确，
D，由于为周期函数，且最小正周期为，而也为周期函数，且最小正周期为，
由于为无理数，而2为有理数，则不存在整数使得，
所以不是周期函数，D错误，
故答案为：AC
【分析】本题考查函数的恒成立问题，函数的单调性，函数的零点，函数的周期性.根据三角函数的有界性可得：，利用三角函数的有界性和指数函数的单调性进行放缩可证明不等式，判断A选项；先判断出，利用三角函数的符号可判断出，进而推出，利用函数的单调性定义可判断B选项；记，求出导函数可得：，令和，解不等式可求出函数的单调区间，再求出的最值，据此可画出的函数图象，观察函数图象可求出在上零点个数，判断C选项；利用周期计算公式可求出的周期，利用周期的定义可求出的周期，进而可推出不是周期函数，判断D选项.
12．【答案】3
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】本题考查对数的换底公式，对数运算法则.先利用对数换底公式进行计算可得：原式，再利用对数的运算法则进行计算可求出答案.
13．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】解：取中点，连接，如图所示：
因为在棱长为2的正方体中，所以三棱柱是直三棱柱，
又因为平面，所以四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，
因为为棱的中点，四边形是边长为2的正方形，所以，
在中，，又是锐角，所以，
由正弦定理得外接圆的半径为，
所以直三棱柱的外接球半径为，
所以四面体的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】本题考查球的内接几何体问题.取中点，连接，将四面体补为直三棱柱，四面体的外接球转化为直三棱柱的外接球，先利用余弦定理求出，再利用同角三角函数的基本关系求出，利用正弦定理求出外接圆的半径，再利用球的半径计算公式可求出球的半径，利用球的表面积公式进行计算可求出答案.
14．【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：已知如图所示：
在中，由余弦定理得：，即，
所以①，
因为在中，由余弦定理得：，即，
所以②，
又因为在中，
在中，
所以
所以由②﹣①得：，
因为，所以
故．
故答案为：
【分析】本题考查利用余弦定理解三角形.根据题意利用余弦定理进行化简可得：和，再解方程组可求出，再利用三角形的面积公式进行化简可得：，再进行整体代入可求答案.
15．【答案】（1）解：
，
；
（2）解： 由知，
令，，
得：，，
的单调递增区间为．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】本题考查辅助角公式，正弦函数的图象和性质.
（1）先利用两角和的正弦公式，辅助角公式化简函数解析式可得：，进而可求出的值；
（2）利用正弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出的单调递增区间.
16．【答案】（1）解： 记张某猜对，谜语这两个事件分别为，，
则，，
张某猜对谜语的道数为随机变量，则的取值可以为：，，，
，
，
，
则随机变量的分布列为：
；
（2）解： 如果先猜谜语，那么他将有的概率得元，
有概率得元，
有概率得元，
此时，他的奖金期望是．
如果先猜谜语，那么他的奖金期望是．
因为，所以他应选择先猜谜语．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】本题考查随机变量的分布列，随机变量的期望，
（1）先找出变量的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出变量的对应概率，据此可列出分布列，利用随机变量期望计算公式可求出期望；
（2）根据题意利用期望计算公式先求出先猜A谜语得到的奖金期望，再求出先猜B谜语得到的奖金期望，比较两个期望的大小，即可作出决策.
17．【答案】（1）证明：过作于点，如图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
则为直线与平面所成的角，
所以，
又因为，，
所以，
所以，所以，
因为，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）解：过作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以点为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系如图所示：
在四边形中，因为，
所以，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以即
取，则，，
所以
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以即
取，得，，
所以，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求二面角.
（1）过作于，则由平面平面，利用平面与平面垂直的性质可推出：平面，据此可得为与平面所成的角，则，利用余弦定理和勾股定理可证明，再根据题意利用直线与平面垂直的判定定理可推出平面，利用直线与平面垂直的性质可证明；
（2）过作于点，利用平面与平面垂直的性质可推出：平面，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出平面与平面夹角的余弦值.
18．【答案】（1）解： 当时，，
所以，，
又，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
（2）证明：因为，所以
当时，令，恒成立，所以，在上单调递减，
又因为，且当时，，
所以，存在，使得，
所以，在上单调递增，在上单调递减．
当时，因为在上单调递增，
所以，对于，恒成立
当时，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，只要证当时，，
即证当时，恒成立，
设，当时，，
所以，当时，恒成立．
综合可知，当时，在上恒成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，函数的恒成立问题.
（1）先求出导函数，利用导函数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点的坐标，利用直线的点斜式方程可求出切线方程；
（2）先求出导函数，证明存在，使得，则函数在单调递增，在单调递减，分两种情况：当时；当时；讨论导函数的单调性，进而再判断，可证明结论成立.
19．【答案】（1）解： 由可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故围成的图形为正方形， 其中，如下：
故面积为
（2）解： 设，，
，
所以，，
当，
当时，
综上所述，；
（3）解： ，
设
其中中均有个元素，，
共有个不同的元素，从的个不同的元素任取2个不同的元素共有种选法，
从中任选一个元素，对第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得个，可得个，可得个，其中个，
所以中所有元素的第一位的数字之和为，
对于中所有元素的其他同等位置的数字之和为均为，
故集合中任意两个元素之间的距离的和，
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【分析】本题考查集合的描述法，集合的元素.
（1）根据可得，分四种情况去掉绝对值，进而可找出的坐标，进而推出围成的图形为正方形，求出围成图形的面积；
（2）利用求和公式进行表示可得：，，分两种情况，利用绝对值不等式的性质进行放缩可求出，进而可求出答案.
（3）对第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得个，可得个，可得个，根据，可求出集合中任意两个元素之间的距离的和.
1 / 1浙江省绍兴市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·绍兴期末）已知集合，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：A，，A错误，
B，或，所以，B错误，
C，，但，C错误，
D，，D正确，
故答案为：D
【分析】本题考查集合的交并补运算，集合间的基本关系.元素不在集合B中，根据元素与集合的关系可判断A选项；先利用补集的定义求出，再利用集合的并集运算求出，进而可判断B选项；根据集合间的基本关系可判断C选项；利用集合的交集运算求出，可判断D选项.
2．（2024高二下·绍兴期末）若，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：A
【分析】本题考查复数的除法运算.根据复数的除法运算：分子和分母同时乘以，通过化简可求出答案.
3．（2024高二下·绍兴期末）若函数在上有两个不同的零点，则下列说法正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：在上有两个不同的零点
则，
故，故B正确，ACD错误，
故答案为：B
【分析】本题考查函数的的零点.根据零点的定义和一元二次方程根的分布，可列出不等式组，解不等式组可求出，对照选项可选出答案.
4．（2024高二下·绍兴期末）已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
从而，所以即，
故，
故答案为：A.
【分析】本题考查平面向量垂直的转化，平面向量的夹角.先根据平面向量垂直的转化可得：，通过化简可求出，再利用平面向量的夹角计算公式可求出向量与夹角的余弦值.
5．（2024高二下·绍兴期末）已知，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由已知，则，
平方得，
即，解得，
又，，且，
则，即，所以
由，得，故，
所以.
故答案为：C.
【分析】本题考查两角和的余弦公式，二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式.先利用两角和的余弦公式将式子进行展开可得：，对式子两边同时进行平方可求出得值，再根据已知条件缩小范围，可求出的取值范围，判断所在的象限，利用同角三角函数的基本关系可求出的值.
6．（2024高二下·绍兴期末）将编号为，，，，，的个小球放入编号为，，，的个盒子中，每个盒子至少放个小球，则不同的放法种数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：分两类解决这个问题：
第一类，一个盒中3个球，另外三个盒中每个盒1个球，
共有种；
第二类，其中两个盒每个盒2个球，另外两个盒每个盒1个球，
共有种；
按照分类加法计数原理得，不同的方法种数共有种.
故答案为：D.
【分析】本题考查排列组合的实际应用，分类加法计数原理.根据题意可得本问题分为两类：第一类，一个盒中3个球，另外三个盒中每个盒1个球；第二类，其中两个盒每个盒2个球，另外两个盒每个盒1个球；利用排列组合的知识求出每一类的种数，利用分类加法计数原理可求出答案.
7．（2024高二下·绍兴期末）设，为两个随机事件，若，，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并（和）事件与交（积）事件；条件概率
【解析】【解答】解：由条件概率可得，
，
所以，，
所以，
故答案为：B
【分析】本题考查条件概率的计算公式，和事件的概率公式.根据条件，先利用条件概率公式可求出，利用和事件的概率公式可求出，利用对立事件概率公式可求出，，利用条件概率的计算公式可求出答案.
8．（2024高二下·绍兴期末）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，，当时，都有，则下列说法正确的是(　　)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．函数和在上有相同的单调性
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：A：，，
因为，所以，
因为，所以恒成立，
又因为不相等，所以，A错误；
B：，
所以恒成立，
所以，又因为不相等，，
所以，
又，，
，，
所以，
所以，B错误；
C： 因为不相等，不妨设，
因为，
所以，
所以，C正确，
D：不妨设在上单调递增，任取，满足，
则，
因为，
所以，所以，
所以单调递减，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数的恒成立问题.先求出，根据，可推出恒成立，再结合函数的定义域可求出的取值范围，可判断A选项；先求出，根据，可列出不等式组，解不等式组可求出的取值范围，判断B选项；
因为不相等，不妨设，因为，根据放缩可得：，通过化简可判断C选项；不妨设在上单调递增，任取，满足，根据，放缩可推出单调递减，据此可判断D选项.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·绍兴期末）已知，都是正实数，则下列结论正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A.都是正实数，
，当且仅当，即时等号成立，正确；
B.，当且仅当，即时等号成立，正确；
C.当时，不成立，错误；
D.，当且仅当时等号成立，
令，，即，即，
即，所以成立，正确.
故答案为：.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.因为都是正实数，直接利用基本不等式进行求解，可判断A选项；对式子进行展开可得：原式，直接利用基本不等式进行求解，可判断B选项；举出反例当时，可判断不等式不成立，判断C选项；利用基本不等式可推出，令，利用完全平方公式可推出，再进行换元可证明不等式成立，判断D选项.
10．（2024高二下·绍兴期末）四位同学各掷大小一致、质地均匀的骰子次，分别记录每次骰子出现的点数．四位同学的统计结果如下，则可能出现点数的是(　　)
A．平均数为，中位数为 B．平均数为，方差为
C．中位数为，众数为 D．中位数为，方差为
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，A正确；
B，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为时，一定不会出现点数6，B错误；
C，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，C正确；
D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
则平均数为，
方差为，所以可以出现点6，D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查平均数，中位数，方差，众数.举出例子：当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数，中位数，满足题意可判断A选项；若平均数为2，且出现点数6，利用方差公式可推出：，进而可知不符合题意，判断B选项；举出例子：当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数，众数，满足题意可判断C选项；举出例子：当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数，利用方差公式计算，满足方差，符合题意，可判断D选项.
11．（2024高二下·绍兴期末）已知函数，则下列说法正确的是(　　)
A．恒成立 B．在上单调递增
C．在上有个零点 D．是周期函数
【答案】A,C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的周期性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A， ，A正确，
B，故，B错误，
C，令，
记，
则，
当单调递增，
当单调递减，
且，而，
在同一直角坐标系中作出函数图象如图所示：
故两函数图象有4个不同的交点，因此函数在上有4个零点，C正确，
D，由于为周期函数，且最小正周期为，而也为周期函数，且最小正周期为，
由于为无理数，而2为有理数，则不存在整数使得，
所以不是周期函数，D错误，
故答案为：AC
【分析】本题考查函数的恒成立问题，函数的单调性，函数的零点，函数的周期性.根据三角函数的有界性可得：，利用三角函数的有界性和指数函数的单调性进行放缩可证明不等式，判断A选项；先判断出，利用三角函数的符号可判断出，进而推出，利用函数的单调性定义可判断B选项；记，求出导函数可得：，令和，解不等式可求出函数的单调区间，再求出的最值，据此可画出的函数图象，观察函数图象可求出在上零点个数，判断C选项；利用周期计算公式可求出的周期，利用周期的定义可求出的周期，进而可推出不是周期函数，判断D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·绍兴期末）计算　 　．
【答案】3
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】本题考查对数的换底公式，对数运算法则.先利用对数换底公式进行计算可得：原式，再利用对数的运算法则进行计算可求出答案.
13．（2024高二下·绍兴期末）在棱长为的正方体中，为棱的中点，则四面体的外接球的表面积是　 　．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】解：取中点，连接，如图所示：
因为在棱长为2的正方体中，所以三棱柱是直三棱柱，
又因为平面，所以四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，
因为为棱的中点，四边形是边长为2的正方形，所以，
在中，，又是锐角，所以，
由正弦定理得外接圆的半径为，
所以直三棱柱的外接球半径为，
所以四面体的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】本题考查球的内接几何体问题.取中点，连接，将四面体补为直三棱柱，四面体的外接球转化为直三棱柱的外接球，先利用余弦定理求出，再利用同角三角函数的基本关系求出，利用正弦定理求出外接圆的半径，再利用球的半径计算公式可求出球的半径，利用球的表面积公式进行计算可求出答案.
14．（2024高二下·绍兴期末）在平面四边形中，，，记与的面积分别为，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：已知如图所示：
在中，由余弦定理得：，即，
所以①，
因为在中，由余弦定理得：，即，
所以②，
又因为在中，
在中，
所以
所以由②﹣①得：，
因为，所以
故．
故答案为：
【分析】本题考查利用余弦定理解三角形.根据题意利用余弦定理进行化简可得：和，再解方程组可求出，再利用三角形的面积公式进行化简可得：，再进行整体代入可求答案.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·绍兴期末）已知函数．
（1）求；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1）解：
，
；
（2）解： 由知，
令，，
得：，，
的单调递增区间为．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】本题考查辅助角公式，正弦函数的图象和性质.
（1）先利用两角和的正弦公式，辅助角公式化简函数解析式可得：，进而可求出的值；
（2）利用正弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出的单调递增区间.
16．（2024高二下·绍兴期末）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元，每次猜谜的结果相互独立．
（1）若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量，求随机变量的分布列与期望；
（2）现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语？
【答案】（1）解： 记张某猜对，谜语这两个事件分别为，，
则，，
张某猜对谜语的道数为随机变量，则的取值可以为：，，，
，
，
，
则随机变量的分布列为：
；
（2）解： 如果先猜谜语，那么他将有的概率得元，
有概率得元，
有概率得元，
此时，他的奖金期望是．
如果先猜谜语，那么他的奖金期望是．
因为，所以他应选择先猜谜语．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】本题考查随机变量的分布列，随机变量的期望，
（1）先找出变量的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出变量的对应概率，据此可列出分布列，利用随机变量期望计算公式可求出期望；
（2）根据题意利用期望计算公式先求出先猜A谜语得到的奖金期望，再求出先猜B谜语得到的奖金期望，比较两个期望的大小，即可作出决策.
17．（2024高二下·绍兴期末）如图，在四边形中，，，，，现将沿着进行翻折，得到三棱锥，且平面平面，如图．
（1）若与平面所成的角为，证明：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：过作于点，如图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
则为直线与平面所成的角，
所以，
又因为，，
所以，
所以，所以，
因为，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）解：过作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以点为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系如图所示：
在四边形中，因为，
所以，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以即
取，则，，
所以
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以即
取，得，，
所以，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求二面角.
（1）过作于，则由平面平面，利用平面与平面垂直的性质可推出：平面，据此可得为与平面所成的角，则，利用余弦定理和勾股定理可证明，再根据题意利用直线与平面垂直的判定定理可推出平面，利用直线与平面垂直的性质可证明；
（2）过作于点，利用平面与平面垂直的性质可推出：平面，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出平面与平面夹角的余弦值.
18．（2024高二下·绍兴期末）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，证明：在上恒成立．
【答案】（1）解： 当时，，
所以，，
又，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
（2）证明：因为，所以
当时，令，恒成立，所以，在上单调递减，
又因为，且当时，，
所以，存在，使得，
所以，在上单调递增，在上单调递减．
当时，因为在上单调递增，
所以，对于，恒成立
当时，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，只要证当时，，
即证当时，恒成立，
设，当时，，
所以，当时，恒成立．
综合可知，当时，在上恒成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，函数的恒成立问题.
（1）先求出导函数，利用导函数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点的坐标，利用直线的点斜式方程可求出切线方程；
（2）先求出导函数，证明存在，使得，则函数在单调递增，在单调递减，分两种情况：当时；当时；讨论导函数的单调性，进而再判断，可证明结论成立.
19．（2024高二下·绍兴期末）已知集合，，，，，，对于，，定义与之间的距离为．
（1）若，，求所有满足的点所围成的图形的面积；
（2）当，，，时，，，，并且，求的最大值用表示；
（3）当，，，时，求集合中任意两个元素之间的距离的和．
【答案】（1）解： 由可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故围成的图形为正方形， 其中，如下：
故面积为
（2）解： 设，，
，
所以，，
当，
当时，
综上所述，；
（3）解： ，
设
其中中均有个元素，，
共有个不同的元素，从的个不同的元素任取2个不同的元素共有种选法，
从中任选一个元素，对第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得个，可得个，可得个，其中个，
所以中所有元素的第一位的数字之和为，
对于中所有元素的其他同等位置的数字之和为均为，
故集合中任意两个元素之间的距离的和，
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【分析】本题考查集合的描述法，集合的元素.
（1）根据可得，分四种情况去掉绝对值，进而可找出的坐标，进而推出围成的图形为正方形，求出围成图形的面积；
（2）利用求和公式进行表示可得：，，分两种情况，利用绝对值不等式的性质进行放缩可求出，进而可求出答案.
（3）对第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得个，可得个，可得个，根据，可求出集合中任意两个元素之间的距离的和.
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