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人教版2024-2025学年度第一学期九年级期中考试
数学试卷
（本试卷三个大题，25个小题。满分150分，考试时间120分钟。）
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；每个小题A、B、C、D四选项，只有一项符合题意。）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的解是（　 　）
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　 　)
A． B． C． D．
4．当函数是二次函数时，a的取值为（ ）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2028
7．函数和函数（是常数，且）的图象可能是（　 　）
A． B． C． D．
8．已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　 　)
A． B．
C． D．
9．已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到的位置，使得、、三点在同一条直线上，则三角板旋转的角度是（ ）
A． B．
C． D．
11．2024年春节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ．
14．若，为方程的两个实数根，则的值为 ．
15．抛物线与x轴的其中一个交点坐标是，则的值为 ．
16．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．
三、解答题（本题共9个小题，共98分。）
17．（8分）解方程：
(1)． (2)．
（10分）已知二次函数，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：
(1)、B、C三点的坐标；（5分）
(2)设抛物线的顶点为D，求的面积．（5分）
19．（10分）如图，平面直角坐标系中，的位置如图所示：
(1)请在图中作出绕原点 O逆时针旋转得到的；（5分）
(2)作出关于原点对称的，并写出的坐标．（5分）
20．（10分）如图，二次函数的图象交x轴于点和点，交y轴于点C，且点C、D是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数的图象经过点B、D．
(1)求二次函数的解析式；（5分）
(2)根据图象直接写出不等式的解集为________．（5分）
21．（12分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；（4分）
(2)；（4分）
(3)关于的方程．（4分）
22．（12分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且．
(1)求抛物线的解析式；（4分）
(2)判断的形状，并证明你的结论；（4分）
(3)点P是x轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．（4分）
23．（12分）如图，已知抛物线与直线的一个交点在轴上、另一交点为点，直线与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；（4分）
(2)直接写出时的取值范围；（4分）
(3)点是抛物线上之间的一点，连接，当面积最小时，求点的坐标．（4分）
24．（12分）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；（4分）
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？（4分）
(3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．（4分）
25．（12分）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．
(1)求出成本关于销售量x的函数解析式；（4分）
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？（4分）
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润销售额成本）（4分）试卷第1页，共3页
九年级上册 数学期中测试卷 第 1 页(共4页) 九年级上册 数学期中测试卷 第 1 页(共4页)
参考答案
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；每个小题A、B、C、D四选项，只有一项符合题意。）
1．B
2．B
3．A
4．C
5．B
6．D
7．D
8．C
9．B
10．D
11．A
12．B
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．
14．
15．
16．
三、解答题（本题共9个小题，共98分。）
17．(1) (2)，．
18．(1)，， (2)6
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
（2）解：∵，
∴，
记对称轴与相交于点M，如右图，

设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
当，，
∴，
∴，
∴ 的面积为6．
19．(1)见解析 (2)见解析；
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：如图，即为所作，点的坐标为．
20．(1) (2)或
【详解】（1）解：根据题意，设抛物线解析式为，
故抛物线解析式为．
（2）解：根据题意，，，对称轴为，
∴，
∴直线与抛物线的交点坐标分别为和，
∵，
∴或．
21．(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为
(2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0
(3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为
【详解】（1）解：
移项，得．
二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．
（2），
去括号，得；
移项、合并同类项，得，
整理，得．
二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0．
（3）
移项、合并同类项，得．
二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
22．(1) (2)是直角三角形．理由见解答过程 (3)
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：是直角三角形．理由如下：
当时，，
∴，则．
当时，，
∴，则，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：，
∴顶点的坐标为，
作出点关于轴的对称点，则．
连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，，当的值最小时，三点共线，最小值即为，
设直线的解析式为，
则：，
解得，
，
当时，，则，
∴．
23．(1)； (2)或； (3)．
【详解】（1）解：在中，令得，
∴，
把代入抛物得：，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：得：或，
∴，，
由图象可得，时的取值范围是或；
（3）由点是抛物线上之间的一点，设，其中，
在中，令得，
∴，
∵抛物线的对称轴直线交轴于点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，取最小值；
此时；
∴当面积最小时，点的坐标为．
24．(1)，
(2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；
(3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析
【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
25．(1) (2)销售产品所获利润是0.75万元
(3)当销售量3吨时，获得最大利润，最大利润为10.5万元
【详解】（1）解：根据题意可设抛物线为：，
把代入可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴当时，成本最小值为，
此时，
∴销售产品所获利润是（万元）；
（3）解：设销售利润为W万元，根据题意得：
∴，
∵，
∴当时，W的值最大，最大值为10.5，
即当销售量3吨时，获得最大利润，最大利润为10.5万元．
答案第1页，共2页
答案 第1页，共6页 答案 第1页，共6页

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