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数列高考大题的类型与解法
数列问题也是近几年高考的热点问题之一,可以这样毫不夸张地说,只要是数学高考试卷,都必有一个数列问题的12分大题或两到三个数列问题的5分小题。从题型上看是17或18题的12分大题或选择题(也可能是填空题)的5分小题;难度为中,低档题型,一般的考生都会拿到7到12分;纵观近几年高考试卷,归结起来数列大题问题主要包括:①等差数列与等比数列之间的综合,运用错项相减法求数列的前n项和;②等差数列与等比数列之间的综合,求基本数列(等差数列或等比数列)的前n项和;③等差数列与等比数列之间的综合,运用裂项相消法求数列的前n项和;④等差数列与等比数列之间的综合,运用拆项求和法求数列的前n项和;⑤等差数列与等比数列之间的综合,求数列前n项和的最值等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列大题问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确地解答问题呢?下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题:
(理)记为{}的前n项和,且4=3+4。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设=n,求数列{}的前n项和。
(文)已知等比数列{}的前n项和为,且2=3-3。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和(2024全国高考甲卷)
2、设m为正整数,数列,,------,是公差不为0的等差数列,若从中删去两项和(i<j)后剩余的4m项可被平均分成m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列,,------,是(i,j)一可分数列。
写出所有的(i,j)1≤i≤j≤6,使数列,,------,是(i,j)一可分数列;
当m ≥ 3时,证明数列,,------,是(2,13)一可分数列;
从1,2,------4m+2中一次任取两个数i和j(i<j),记数列,,------,是
j)一可分数列的概率为,证明>(2024全国高考新高考I)
3、记(x)=x+++---+-2(xR,n)。
(1)当x=2时,(2)为数列{}的前n项和,求数列{}的通项公式;
(2)记(x)是(x)的导函数,求(2)(成都市搞2021级高三二诊)
4、已知数列{}中,=1,设为{}的前n项和,2=n。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和。(2023全国高考甲卷理)
5、已知等比数列{}的公比为3,且,+3,-6成等差数列。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{n}的前n项和(成都市高2020级高三二诊)
〖思考问题1〗
(1)【典例1】是等差数列,等比数列之间的综合与一般数列求和的问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列的定义,通项公式,前n项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题,注意一般数列的结构特征,选用恰当的求和方法求出结果;
(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d(或公比q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是一般数列求和的问题,解答时注意数列通项是两个因式的积,其中一个因式分裂出来构成等差数列,另一个因式分裂出来构成等比数列的特征(这种数列也称为差比数列),求和的基本方法是错项相减法;
(3)错项相减法的基本方法是:①根据通项公式把前n项和表示出来;②将①式的两边同乘以等比数列的公比;③两式相减右边得到一个基本数列(等差数列或等比数列)与某项(或某几项)的和;④运用基本数列前n项和公式求出右边的和;⑤求出数列的前n项和(等式两边同除以的系数)。
[练习1]解答下列问题:
1、(理)设数列{}满足=3,=3-4n。
(1)计算,,猜想数列{}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{}的前n项和
(文)设等比数列{}满足+=4,-=8。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)记为数列{}的前n项和,若+=,求m(2020全国高考新课标III)。
2、已知等比数列{}的前n项和为,公比q>1,且+1为,的等差中项,=14。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)记=.,求数列{}的前n项和(2019成都市高三二诊)
【典例2】解答下列问题:
1、 已知双曲线C:-=m(m>0),点(5,4)在C上,k为常数,0<k<n(n=2,3,---),过斜率为k的直线与C的左支相交于点,令为关于y轴的对称点,记的坐标为(,)。
若k=,求(,);
证明数列{-}是公比为的等比数列;
设为的面积,证明对任意的正整数n,=(2024全国高考
新高考II)
2、已知数列{}为等差数列,数列{}是公比为2的等比数列,且-=-
=-。
(1)证明:=;
(2)求集合{k|=+,1m500}中元素个数(2022全国高考新高考II卷)
3、已知等差数列{}满足2+=0,=2-2。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设=,求数列{}的前n项和(成都市2019级高三一诊)
+1,n为奇数,
4、已知数列{}满足:=1,= +2,n为偶数。
(1)记=,写出,,并求数列{}的通项公式;
(2)求{}的前20项和(2021全国高考新高考I)。
5、(理)已知数列{}的各项均为正数,记为{}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立。①数列{}是等差数列;②数列{}是等差数列;③=3。注:若选择不同组合分别解答,则按第一个解答计分。
(文)记为{}的前n项和,已知>0,=3,且数列{}是等差数列,证明:数列{}是等差数列(2021全国高考甲卷)。
6、(理)记为{}的前n项和,为数列{}的前n项积,已知+=2。
(1)证明:数列{}是等差数列;
(2)求数列{}的通项公式。
(文)设{}是首项为1的等比数列,数列{}满足:=,已知,3,9成等差数列。
(1)求数列{},{}的通项公式;
(2)记和分别为{},{}的前n项和,证明:<(2021全国高考乙卷)。
7、记是公差不为0的等差数列{}的前n项和,若=,.=。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求使>成立的n的最小值(2021全国高考新高考II卷)。
〖思考问题2〗
(1)【典例2】是等差数列,等比数列之间的综合问题,解答这类问题需要理解等差数列,
等比数列的定义,通项公式,前n项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题;
(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d(或公比q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题一般是求数列的前n项和,解答时应该分辨清楚数列是等差数列,还是等比数列,然后直接选用相应的前n项和公式通过运算求出结果。
[练习2]解答下列问题:
1、已知数列{}中,=1,=3,+3=4,=-,n。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)记=(+),数列{}的前n项和为,求(2021成都市高三三诊)。
2、设{}是公比不为1的等比数列,为,的等差中项。
(1)求{}的公比;
(2)若=1,求数列{}的前n项和(2020全国高考新课标I理)。
9、已知公比大于1的等比数列{}满足+=20,=8。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)记为{}在区间(0,m](m∈)中的项的个数,求数列{}的前100项和(2020全国高考新高考I)
3、已知公比大于1的等比数列{}满足+=20,=8。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求-+------+(2020全国高考新高考II)
4、(文)记为等差数列{ }的前n项和,已知=-。
(1)若=4,求数列{ }的通项公式;
(2)若>0,求使得的n的取值范围(2019全国高考新课标I)
5、(理)已知数列{ }和{ }满足=1,=0,4=3-+4,4=3--4。
(1)证明:{ +}是等比数列,{ -}是等差数列;
(2)求数列{ }和{ }的通项公式。
(文)已知{ }是各项均为正数的等比数列,=2,=2+16。
(1)求数列{ }的通项公式;
(2)设= ,求数列{ }的前n项和(2019全国高考新课标II)
【典例3】解答下列问题:
1、设为数列{}的前n项和,已知2=+n。(成都市高2021级高三三珍)
(1)证明数列{+1}是等比数列;
(2)设=(+1),=,求数列{}的前n项和。
2、记为数列{}的前n项和,已知=1,{}是公差为的等差数列。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)证明:+ +------+ <2(2022全国高考新高考I卷)
3、(理)为数列{}的前n项和,已知>0,+2=4+3。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设=,求数列{}的前n项和。
(文)已知等差数列{}的前n项和满足:=0,=-5。
(1)数列{}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和(2021全国高考乙卷)。
〖思考问题3〗
(1)【典例3】是等差数列,等比数列之间的综合与一般数列求和的问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列的定义,通项公式,前n项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题,注意一般数列的结构特征,选用恰当的求和方法求出结果;
(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d(或公比q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是一般数列求和的问题,解答时注意数列通项是一个分式,分式的分子为常数,分母是几个连续整数的积这一结果特征,然后利用裂项相消法求出数列的前n项和;
(3)裂项相消法求出数列的前n项和的基本方法是:①将数列的通项分裂成两项之差;②根据数列前n项和的定义,得到数列前n项和的表示式;③消去表示式中中间的项,并求出表示式的结果;④得出所求数列的前n项和。
[练习3]解答下列问题:
1、已知{}是递增的等比列数,=1,且2,,成等差数列。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设=(n∈),求数列{}的前n项和(2020成都市高三二珍)
2、已知等差数列{}的前n项和为,且=2,=66.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)(理)若数列{}满足=,求证:++------+<1。(文)若数列{}满足=,求数列{}的前n项和(2017成都市高三零珍)
【典例4】解答下列问题:
记为等差数列{}的前n项和,已知=11,=40。
求数列{}的通项公式;
求数列{||}的前n项和(2023全国高考乙卷文)
设等差数列{}的公差为d,且d>1,令=,记,分别为数列{},{}的前n项和。
若3=3+,+=21,求数列{}的通项公式;
若{}为等差数列,且-=99,求d(2023全国高考新高考I)
3、数列{}为等差数列,= -6,n为奇数,记,分别为{},{}的
2,n为偶数,前n项和,=32,=16。
求数列{}的通项公式;
证明:当n>5时,>(2023全国高考新高考II)
〖思考问题4〗
(1)【典例4】是等差数列,等比数列之间的综合问题,解答这类问题需要理解等差数列,
等比数列的定义,通项公式,前n项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题;
第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d(或公比q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是求一般数列的前n项和的问题,解答时注意数列通项是几项的和,每一项分离出来之后可构成基本数列,具有这个特征的数列,求和都采用拆项和法;
拆项求和法的基本方法是:①将通项中的相应项分离出来构成基本数列;②运用基本数列前n项和公式求出各基本数列的前n项和;③把各基本数列前n项和相加;④得出所求数列的前n项和。
[练习4]解答下列问题:
1、(理)已知数列{}满足:=-2,=2+4.
(1)证明数列{+4}是等比数列;
(2)求数列{}的前n项和。
(文)在等比数列{}中,已知=8,且,+1,成等差数列。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{|-4|}的前n项和(2017成都市一珍)
2、已知数列{}的前n项和= (n)。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设= + ,求数列{}的前2n项和。
【典例5】解答下列问题:
1、记为数列{}的前n项和,已知+n=2+1。
(1)证明:数列{}是等差数列;
(2)若,,成等比数列,求的最小值(2022全国高考甲卷)
2、设为等差数列{}的前n项和,已知=-7,=-15。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求,并求的最小值(2018全国高考新课标II卷(理))
〖思考问题5〗
(1)【典例5】是等差数列,等比数列之间的综合与求等差数列前n项和的最值问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列的定义,通项公式,前n项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题,注意等差数列前n项和是关于n的二次函数,运用求函数最值的基本方法就可求出结果;
(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d(或公比q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是求等差数列前n项和的最值问题,解答时注意等差数列前n项和是关于n的二次函数,利用求函数最值的基本方法就可求出等差数列的前n项和的最值。
[练习5]解答下列问题:
1、设{ }是等差数列,=-10,+10,+8,+6成等比数列。
(1)求数列{ }的通项公式;
(2)记{ }的前n项和为,求的最小值(2019全国高考北京(文))
数列高考大题的类型与解法
数列问题也是近几年高考的热点问题之一,可以这样毫不夸张地说,只要是数学高考试卷,都必有一个数列问题的12分大题或两到三个数列问题的5分小题。从题型上看是17或18题的12分大题或选择题(也可能是填空题)的5分小题;难度为中,低档题型,一般的考生都会拿到7到12分;纵观近几年高考试卷,归结起来数列大题问题主要包括:①等差数列与等比数列之间的综合,运用错项相减法求数列的前n项和;②等差数列与等比数列之间的综合,求基本数列(等差数列或等比数列)的前n项和;③等差数列与等比数列之间的综合,运用裂项相消法求数列的前n项和;④等差数列与等比数列之间的综合,运用拆项求和法求数列的前n项和;⑤等差数列与等比数列之间的综合,求数列前n项和的最值等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列大题问题时,到底应该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确地解答问题呢?下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题:
1、(理)记为{}的前n项和,且4=3+4。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设=n,求数列{}的前n项和。
(文)已知等比数列{}的前n项和为,且2=3-3。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和(2024全国高考甲卷)
【解析】
【考点】①数列通项与前n项和之间的关系及运用;②等比数列定义与性质;③求等比数列通项公式的基本方法;④差比数列定义与性质;⑤错项相减求数列前n项和的基本方法;⑥拆项求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】(理)(1)根据数列通项与前n项和之间的关系和等差数列的性质,运用求等差数列通项公式的基本方法就可求出数列{}的通项公式;(2)根据(1)得出数列{}的通项公式,运用错项相减求和法就可求出数列{}的前n项和.。(文)(1)根据数列通项与前n项和之间的关系和等差数列的性质,运用求等差数列通项公式的基本方法就可求出数列{}的通项公式;(2)根据(1)得出数列{}的通项公式,运用拆项求和法的基本方法就可求出数列{}的前n项和。
【详细解答】(理)(1)当n=1时,4=4=3+4,=4;当n2时,4=3+4
①,4=3+4②,①-②得:4(-)=4=3-3,
=-3,4=4(+)=3+4,=-44+4=-12,当n2时,数列{}是以-12为首项,-3为公比的等比数列,=-12=4(n2),当n=1时,=4=4成立,数列{}的通项公式为=4;(2)由(1)得:=n=4n,=4[1+23+3+-------+(n-1)+n]①,①(-3)得:3=4[3+2+3+-------+(n-1)+n]②,①-②有:-2=-4[1+3+++-------+-n]=-4[-n]=-2+2-4n,=1+(2n-1)。(文)2=3-3①,2=3-3②,①-②得:2(-)=2=3-3,=,当n=1时,2=2=3-3,=1,数列{}是以1为首项,为公比的等比数列,=1=,数列{}的通项公式为=;(2)由(1)知==-,=[++----
+]-n=-n=-n-。
2、设m为正整数,数列,,------,是公差不为0的等差数列,若从中删去两项和(i<j)后剩余的4m项可被平均分成m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列,,------,是(i,j)一可分数列。
(1)写出所有的(i,j)1≤i≤j≤6,使数列,,------,是(i,j)一可分数列;
(2)当m ≥ 3时,证明数列,,------,是(2,13)一可分数列;
(3)从1,2,------4m+2中一次任取两个数i和j(i<j),记数列,,------,是
j)一可分数列的概率为,证明>(2024全国高考新高考I)
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质;②(i,j)一可分数列定义与性质;③证明数列是(i,j)一可分数列的基本方法;④随机事件概率定义与性质;⑤求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】(1)根据等差数列和(i,j)一可分数列的性质,结合问题条件就可写出所有的(i,j)1≤i≤j≤6,使数列,,------,是(i,j)一可分数列;(2)根据等差数列和(i,j)一可分数列的性质,运用证明数列是(i,j)一可分数列的基本方法,结合问题条件,就可证明当m ≥ 3时,数列,,------,是(2,13)一可分数列;(3)根据随机事件,等差数列和(i,j)一可分数列的性质,运用求随机事件概率的基本方法,结合问题条件,就可证明>。
【详细解答】(1) 当(i,j)=(1,2)时,数列,,,是公差为d的等差数列;当(i,j)=(1,6)时,数列,,,是公差为d的等差数列;当(i,j)=(5,6)时,数列,,,是公差为d的等差数列;所有的(i,j)1≤i≤j≤6,使数列,,------,是(i,j)一可分数列为(i,j)=(1,2),(i,j)=(1,6),
j)=(5,6);(2)证明: 当m=3时,数列,,,-----,,,可以分成,,,;,,,;,,,三组公差为3d的等差数列,m=3时,数列,,------,是(2,13)一可分数列; 当m>3时,数列,,------,去掉,后,前三组按m=3时,分为,,,;,,,;,,,三组,后面的每4个相邻项分为一组,即,,,;----------,,,(m-3)组公差为d的等差数列,m>3时,数列,,------,是(2,13)一可分数列,综上所述,m≥3时,数列,,------,是(2,13)一可分数列;(3)证明:当m=1时,数列,,,,,为(i,j)一可分数列的概率==>;当m=2时,数列,,,-----,,,为(i,j)一可分数列的概率==>;以此类推,可知当m=1,2,---
5r+2时,数列,,------,是(i,j)一可分数列为+m+1=(m+1)(m+2)个,数列也是(4k+2,6r+1)是(i,j)一可分数列为-m=m(m-1)个,综上所述,可行的(4k+7,4r+1)与m(m-1)+(m+1)(m+2)=+m+1组,≥
==>。
3、记(x)=x+++---+-2(xR,n)(成都市高2021级高三二诊)
(1)当x=2时,(2)为数列{}的前n项和,求数列{}的通项公式;
(2)记(x)是(x)的导函数,求(2)。
【解析】
【考点】①数列通项公式定义与性质;②数列前n项定义与性质;③函数导函数定义与性质;④函数求导公式,法则和基本方法;⑤错项相减法求数列前n和的基本方法。
【解题思路】(1)根据数列通项公式与前n项和的性质,运用求数列通项公式的基本方法,结合问题条件就可求出数列{}的通项公式;(2)根据函数导函数的性质,运用函数求导公式,法则和基本方法求出(x)的表示式,利用错项相减法求数列前n和的基本方法,就可求出(2)的值。
【详细解答】(1)①当n=1时,= (2)=2-2=0,②当n≥2时,=(2)-(2)=++----++-(++----+)=,当n=1时,=20, 数列{} 的通项公式为= 0,n=1,(2)(x)=1+2x+3+4+------2024,(2)
,n≥2; =1+22+3+4+----+2023+2024①,①2,2(2)=2+2+3+----+2023+2024②,①-②得:-(2)=1+2+++----+-2024=-2024=-1-2023,(2)=2023+1。
4、已知数列{}中,=1,设为{}的前n项和,2=n。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和。(2023全国高考甲卷理)
【解析】
【考点】①数列定义与性质;②数列通项公式与前n项和公式之间的关系及运用;③数学叠乘法及运用;④错项相减求和法及运用。
【解题思路】(1)根据数列的性质,运用数列通项公式与前n项和公式之间的关系,结合问题条件得到关于,的等式,利用数学叠乘法就可求出数列{}的通项公式;(2)根据数列{}通项公式得到数列{}的通项公式,运用错项相减求和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。
【详细解答】(1)当n=1时,2=2=,=0;当n2时, 2=n①,2=(n-1)②,①-②得:2(-)=2=n-(n-1),(n-2)=(n-1)
,=,=,-------,=,=,=n-1,=n-1(n2),
当n=1时,=1-1=0成立,数列{}的通项公式为=n-1;(2)数列{}
={}={}, =+2+3+------+(n-1)+n①,①得:=+2+3+------+(n-1)+n②,①-②得:=++
+------++-n=1--n=1-(n+2), =2-(n+2)。
5、已知等比数列{}的公比为3,且,+3,-6成等差数列。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{n}的前n项和(成都市高2020级高三二诊)
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质;②等差中项定义与性质;③等比数列通项公式及运用;④错项相减法求数列前n和的基本方法。
【解题思路】(1)根据等比数列和等差中项的性质,运用等比数列通项公式,结合问题条件得到关于的等式,从而求出的值,就可求出数列{}的通项公式;(2)根据数列{n}的结构特征,运用错项相减法求数列前n和的基本方法,就可求出数列{n}的前n项和。
【详细解答】(1) 等比数列{}的公比为3,且,+3,-6成等差数列,2(3+3) =+3-6, =-6, =-6=-2;(2) n=-2n,=-2[3+2+
3+-------+(n-1)+n]①,①3得:3=-2[+2+3+-------+(n-1)+n]②。①-②得:-2=-2(3++++-------+-n)=-2(-n
),=(-n)-。
〖思考问题1〗
(1)【典例1】是等差数列,等比数列之间的综合与一般数列求和的问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列的定义,通项公式,前n项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题,注意一般数列的结构特征,选用恰当的求和方法求出结果;
(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d(或公比q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是一般数列求和的问题,解答时注意数列通项是两个因式的积,其中一个因式分裂出来构成等差数列,另一个因式分裂出来构成等比数列的特征(这种数列也称为差比数列),求和的基本方法是错项相减法;
(3)错项相减法的基本方法是:①根据通项公式把前n项和表示出来;②将①式的两边同乘以等比数列的公比;③两式相减右边得到一个基本数列(等差数列或等比数列)与某项(或某几项)的和;④运用基本数列前n项和公式求出右边的和;⑤求出数列的前n项和(等式两边同除以的系数)。
[练习1]解答下列问题:
1、(理)设数列{}满足=3,=3-4n。
(1)计算,,猜想数列{}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{}的前n项和
(文)在等比数列{}中,已知=8,且,+1,成等差数列。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{|-4|}的前n项和(2017成都市一珍)
(答案:(理)(1)提示:证明数列相邻两项的比为常数;(2)=-4n-2。
(文)(1)数列{}的通项公式为:=;(2)=-4n-2。)
2、已知等比数列{}的前n项和为,公比q>1,且+1为,的等差中项,=14。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)记=.,求数列{}的前n项和(2019成都市高三二诊)
(答案:(1)=;(2)=(n-1)+2。)
【典例2】解答下列问题:
1、 已知双曲线C:-=m(m>0),点(5,4)在C上,k为常数,0<k<n(n=2,3,---),过斜率为k的直线与C的左支相交于点,令为关于y轴的对称点,记的坐标为(,)。
(1)若k=,求(,);
(2)证明数列{-}是公比为的等比数列;
(3)设为的面积,证明对任意的正整数n,=(2024全国高考
新高考II)
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质;②等比数列定义与性质;③证明数列是等比数列的基本方法;④三角形面积公式及运用;⑤两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】(1)根据双曲线的性质,结合问题条件求出m的值,联立直线与双曲线的方程就可求出,的值;(2)根据双曲线和等比数列的性质,运用证明数列是等比数列的基本方法,结合问题条件就可证明列{-}是公比为的等比数列;(3)根据两条直线平行的充分必要条件,结合问题条件,证明直线平行直线,运用三角形面积公式就可证明=。
【详细解答】(1)点(5,4)在C上, m=25-16=9, 双曲线C:-=9, k=,直线过点(5,4),直线的方程为x-2y+3=0,联立直线与双曲线的方程得:
3-12y=0 ,x=-3,y=0,或 x=5,y=4,(-3,0),(3,0);(2) 证明:
点(,),(-,)均在斜率为k的直线上,且均在双曲线C上,k=①,-=9②,-=9③,联立①②③得:(-)-(-)
=k(-)+k(-),(1-k)(-)=(1+k)(-),
=,数列{-}是公比为的等比数列;(3)设t=,0<k<1,
t>1,-=(5-4)=,-=9,+=9,=(+9),
=(-+9),==1-=1-,
==1-=1-,=,直线//直线,=。
2、已知数列{}为等差数列,数列{}是公比为2的等比数列,且-=-
=-。
(1)证明:=;
(2)求集合{k|=+,1m500}中元素个数(2022全国高考新高考II卷)
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质;②等比数列定义与性质;③等差数列通项公式及运用;④等比数列通项公式及运用;⑤表示集合的基本方法。
【解题思路】(1)设等差数列{}的首项为,公差为d,等比数列{}首项为,根据等差数列和等比数列的性质,运用等差数列和等比数列的通项公式,结合问题条件得到关于,d,的方程组,求解方程组求出,就可证明结论;(2)由(1)知==,根据等差数列和等比数列的通项公式,结合问题条件得到k关于m的表示式,由m的取值范围,求出k的取值范围,从而就可求出求集合{k|=+,1m500}中元素个数。
【详细解答】(1)证明:设等差数列{}的首项为,公差为d,等比数列{}首项为,-=-=-,+d-2=+2d-4,d-2=0①,+2d-4=8--3d,12-2-5d=0②,联立①②得:2-2=0,=;(2)
由(1)知==,=.=d.,+=+(m-1)d+=md,=+,
d.=md,=m,1m500,1500,0k-28,2k10,
集合{k|=+,1m500}={2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合{k|=+,1m500}中元素个数是9个。
3、已知等差数列{}满足2+=0,=2-2。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设=,求数列{}的前n项和(成都市2019级高三一诊)
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质;②等差数列通项公式及运用;③数列前n项和定义与性质;④求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】(1)根据等差数列的性质,运用等差数列通项公式得到关于等差数列{}的首项,公差的方程组,求解方程组求出数列{}的首项,公差的值就可得出数列{}的通项公式;(2)根据数列前n项和的性质,运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。
【详细解答】(1)设等差数列{}的首项为,公差为d, 2+=0,=2-2,
3+6d=0①,+6d=2+6d-2②,联立①②解得:=2,d=-1,数列{}的通项公式为=2+(n-1)(-1)=-n+3;(2)===, 数列{}的前n项和为=+2+1+++------+==8(1-)=8-。
+1,n为奇数,
4、已知数列{}满足:=1,= +2,n为偶数。
(1)记=,写出,,并求数列{}的通项公式;
(2)求{}的前20项和(2021全国高考新高考I)。
【解析】
【考点】①数列递推公式及运用;②等差数列的定义与性质;③等差数列通项公式及运用;④等差数列前n项和公式及运用;⑤判断一个数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】(1)根据数列递推公式,结合问题条件求出,,运用判断一个数列是等差数列的基本方法,判断数列{}为等差数列,利用等差数列的通项公式就可求出数列{}的通项公式;(2)由(1)知求数列{}的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列,运用等差数列的前n项和公式就可求出{}的前20项和。
【详细解答】(1)=1,=,==+1=1+1=2,==+1=+2+1=2+2+1=5,
==+1=+2+1=+3,=,-=+3-=3,数列{}是以2为首项,3为公差的等差数列,=2+3(n-1)=3n-1,即数列{}的通项公式为:
=3n-1;(2)由(1)知数列{}的奇项数列和偶项数列都是以3为公差的等差数列,=101+3+102+3=30+1093=300,即数列{}的前20项和为300。
5、(理)已知数列{}的各项均为正数,记为{}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立。①数列{}是等差数列;②数列{}是等差数列;③=3。注:若选择不同组合分别解答,则按第一个解答计分。
(文)记为{}的前n项和,已知>0,=3,且数列{}是等差数列,证明:数列{}是等差数列(2021全国高考甲卷)。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质;②等差数列通项公式及运用;③等差数列前n项和公式及运用;④证明数列是等差数列的基本方法。
【解题思路】(理)由题意,不妨选择①③为条件,证明②成立,根据等差数列的性质和等差数列通项公式,结合问题条件得到关于等差数列{}首项,公差d的等式,从而把首项表示为关于公差d的式子,运用等差数列前n项和公式得到关于公差d的式子,利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列{}是等差数列。(文)根据等差数列的性质和等差数列通项公式,结合问题条件得到关于等差数列{}公差d,的等式,从而把公差d表示为关于首项的式子,运用等差数列前n项和公式得到关于数列首项的式子,从而得到关于数列首项的式子,利用证明数列为等差数列的基本方法就可证明数列{}是等差数列。
【详细解答】(理)设等差数列{}的公差为d,=+d,=3,=,=n+d=(+-)d=d,数列{}的各项均为正数,d>0,==,当n=1时,=,当n2时,=,
=,-=(-)=为常数,数列{}是以
为首项,为公差的等差数列。(文)证明:设等差数列{}的公差为d,>0,=3,=,==2,d=-=2-
=, =+(n-1)=n,=,当n=1时,==,当
n2时,=-=-=(-+2n-1)=(2n-1),=[2(n-1)-1] =(2n-3),-=[2n-1-(2n-3)] =2为常数, -=3
-=2,数列{}是以为首,2为公差的等差数列。
6、(理)记为{}的前n项和,为数列{}的前n项积,已知+=2。
(1)证明:数列{}是等差数列;
(2)求数列{}的通项公式。
(文)设{}是首项为1的等比数列,数列{}满足:=,已知,3,9成等差数列。
(1)求数列{},{}的通项公式;
(2)记和分别为{},{}的前n项和,证明:<(2021全国高考乙卷)。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质;②判断一个数列是等差数列的基本方法;③数列通项与前n项和之间的关系;④等比数列的定义与性质;⑤等差中项的定义与性质;⑥等比数列通项公式及运用;⑦等比数列前n项和公式及运用;⑧裂项相消法求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】(理)(1)根据判断一个数列是等差数列的基本方法,结合问题条件就可证明数列{}是等差数列;(2)根据数列通项与前n项和之间的关系,运用(1)的结论就可求出数列{}的通项公式。(文)根据等比数列通项公式和等差中项的性质,结合问题条件得到关于等比数列{}公比的方程,求解方程求出公比的值就可求出数列{},{}的通项公式;(2)根据等比数列前n项和公式与裂项相消法求数列前n项和的基本方法分别求出数列{},{}的前n项和与就可证明结论。
【详细解答】(理)(1)证明:当n2时,=,+=2,+=2,
2(-)=1,-=,当n=1时,+=2,=2,=,数列{}是以为首项,为公差的等差数列;(2)由(1)得:=+(n-1)=,
+=2,+=2,=,=,当n=1时,=
=,当n2时,=-=-=-, 当n=1时,=-,
数列{}的通项公式为:= ,n=1,
-,n2。
(文)设等比数列{}的公比为q,数列{}首项为1,,3,9成等差数列,6q=1+9,=0,q=,=,==n,数列{},{}的通项公式分别为:=,=n;(2)==-,
=+2+3+------+(n-1)+n①,=+2+3+-----+(n-1)+ n ②,①-②得:=+++-----+- n =
- n =-- n =-(+),=-(+),
-=-(+)-+=(--)=-<0,<。
7、记是公差不为0的等差数列{}的前n项和,若=,.=。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求使>成立的n的最小值(2021全国高考新高考II卷)。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质;②等差数列通项公式及运用;③等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】(1)根据等差数列的通项公式与前n项和公式,结合问题条件得到关于等差数列{}首项,公差的方程组,求解方程组求出等差数列{}首项,公差的值就可求出数列{}的通项公式;(2)由(1)得到等差数列{}的通项公式与前n
项和公式,从而得到关于n的不等式,求解不等式就可求出使>成立的n的最
小值。
【详细解答】(1)设等差数列{}的首项为,公比为q,=,.=,
+2d=3+3d①,(+d)(+3d)=4+6d②,联立①②解得:=0,d=0或=-,d=,d0,=-,d=,=-+(n-1)=n-,数列{}的通项公式=n-;(2)由(1)得:=-n+=-n,>,
-n>n-,-4n+3>0,n<1或n>3,n, n>3,即使>成立的n的最小值为4。
8、已知数列{}中,=1,=3,+3=4,=-,n。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)记=(+),数列{}的前n项和为,求(2021成都市高三三诊)。
【解析】
【考点】①等比数列的定义与性质;②判断一个数列是等比数列的基本方法;③等比数列通项公式及运用;④对数的定义与性质;⑤等差数列前n项和公式及运用。
【解题思路】(1)根据等比数列的性质和判断一个数列是等比数列的基本方法,结合问题条件得到数列{}是等比数列,运用等比数列的通项公式就可求出数列{}的通项公式;(2)根据(1)求出关于n的式子,从而得到=+,运用对数的性质得到数列{}的通项公式,运用等差数列的前n项和公式就可求出的值。
【详细解答】(1)+3=4,=-,-=3(-),
=3,=3,=1,=3,=-=3-1=2,数列{}是以2为首项,3
为公比的等比数列,数列{}的通项公式为:=2;(2)=(-)
+(-)+------+(-)+(-)+=++------+++=+1=,
=-,=+,=(+)===n,=+
+------+=1+2+------+(n-1)+n=,即==210。
〖思考问题2〗
(1)【典例2】是等差数列,等比数列之间的综合问题,解答这类问题需要理解等差数列,
等比数列的定义,通项公式,前n项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题;
(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d(或公比q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题一般是求数列的前n项和,解答时应该分辨清楚数列是等差数列,还是等比数列,然后直接选用相应的前n项和公式通过运算求出结果。
[练习2]解答下列问题:
1、设{}是公比不为1的等比数列,为,的等差中项。
(1)求{}的公比;
(2)若=1,求数列{}的前n项和(2020全国高考新课标I理)。
(答案:(1)数列{}的公比q=2;(2)=-。)
2、已知公比大于1的等比数列{}满足+=20,=8。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)记为{}在区间(0,m](m∈)中的项的个数,求数列{}的前100项和
(2020全国高考新高考I)
(答案:(1)=;(2)=484。)
3、已知公比大于1的等比数列{}满足+=20,=8。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求-+------+(2020全国高考新高考II)
(答案:(1)=;(2)当n为奇数时,-+------+=8-+;
当n为偶数时,-+------+=8-。)
4、(文)记为等差数列{ }的前n项和,已知=-。
(1)若=4,求数列{ }的通项公式;
(2)若>0,求使得的n的取值范围(2019全国高考新课标I)
(答案:(1)=-2n+10;(2)使得的n的取值范围是[1,10]。)
5、(理)已知数列{ }和{ }满足=1,=0,4=3-+4,4=3--4。
(1)证明:{ +}是等比数列,{ -}是等差数列;
(2)求数列{ }和{ }的通项公式。
(文)已知{ }是各项均为正数的等比数列,=2,=2+16。
(1)求数列{ }的通项公式;
(2)设= ,求数列{ }的前n项和(2019全国高考新课标II)
(答案:(理)(1)提示:证明数列{ +}相邻两项的比为常数,证明数列{ -}
相邻理项的差为常数;(2)=+n-,=-n+。(文)(1)=+n-;
(2)列{ }的前n项和为。)
【典例3】解答下列问题:
1、设为数列{}的前n项和,已知2=+n。(成都市高2021级高三三珍)
(1)证明数列{+1}是等比数列;
(2)设=(+1),=,求数列{}的前n项和。
【解析】
【考点】①数列前n项和与通项之间的关系式及运用;②等比数列定义与性质;③判断(或证明)数列是等比数列的基本方法;④对数定义与性质;⑤裂项相消求和法及运用。
【解题思路】(1)根据数列前n项和与通项之间的关系,运用判断(或证明)数列是等比数列的基本方法,结合问题条件就可证明数列{+1}是等比数列;(2)根据对数的性质,由(1)求出的表示式,从而得到的表示式,运用裂项相消求和法就可求出数列{}的前n项和。
【详细解答】(1)①当n=1时,2=+1=+1, =1,+1=1+1=2,②当n≥2时,2=+n,2=+n-1,两时相减得:2-2 =-+1 =+1 , +1=2+1+1=2(+1),=2,当n≥2时,数列{+1}是以公比为2的等比数列,2=+2=++2=+3,=3,+1=3+1=4,==2,数列{+1}是以2为首项,公比为2的等比数列;(2)由(1)得+1=2=,=(+1)=n,===-,=1-+-+-+-------+-
+-=1-=。
2、记为数列{}的前n项和,已知=1,{}是公差为的等差数列。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)证明:+ +------+ <2(2022全国高考新高考I卷)
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质;②等差数列通项公式及运用;③等差数列前N项和公式及运用;④数列前N项和公式与通项公式之间的关系及运用;⑤裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】(1)根据等差数列的性质,结合问题条件得到与之间的关系式,求出,从而得到关于,的等式,运用判断一个数列是等差数列的基本方法判断数列{}是等差数列,利用等差数列的通项公式就可求出数列{}的通项公式;(2)根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。(文)(1)设等差数列{}的首项为,公差为d,根据等差数列前n项和公式,结合问题条件得到关于等差数列{}的首项为,公差为d的方程组,求解方程组求出等差数列{}的首项为,公差为d的值就可求出数列{}的通项公式;(2)根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。
【详细解答】(1)=1,==1,=1,{}是公差为的等差数列,
=1+(n-1)=n+,=(n+),=(n+)(n2),
-==n(-)+-,(n-1)-(n+1)=0,
=,=,-------,=,=,=,=1+=,
3(+)=4,=3=3,=(n2),当n=1时,=
=1成立,数列{}的通项公式为: =;(2)证明:由(1)知,=,
==2(-),+ +------+ =2(1-+-+-------+-
+-)=2(1-)<21=2,+ +------+ <2。
3、(理)为数列{}的前n项和,已知>0,+2=4+3。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设=,求数列{}的前n项和。
(文)已知等差数列{}的前n项和满足:=0,=-5。
(1)数列{}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和(2021全国高考乙卷)。
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质;②等差数列通项公式及运用;③数列通项公式与前n项和公式之间的关系;④判断一个数列是等差数列的基本方法;⑤等差数列前n项和公式及运用;⑥裂项相消求数列前n项和的基本方法。
【解题思路】(理)(1)根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系,结合问题条件求出,从而得到关于,的等式,运用判断一个数列是等差数列的基本方法判断数列{}是等差数列,利用等差数列的通项公式就可求出数列{}的通项公式;(2)根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。(文)(1)设等差数列{}的首项为,公差为d,根据等差数列前n项和公式,结合问题条件得到关于等差数列{}的首项为,公差为d的方程组,求解方程组求出等差数列{}的首项为,公差为d的值就可求出数列{}的通项公式;(2)根据裂项相消求数列前n项和的基本方法就可求出数列{}的前n项和。
【详细解答】(理)(1)当n=1时, +2=4+3,=4,=3或=-1,>0,=3;当n2时,+2=4+3①,+2=4+3②,①-②得:
-+2-2=4(-)=4,(+)(-)-2(+)=(+)
(--2)=0,+>0,--2=0,-,=2,+2=4(+)+3,=16,=5或=-3,>0,=5,当n2时,数列{}是以5为首项,2为公差的等差数列,=5+2(n-2)=2n+1(n2),当n=1时,=21+1
2+1=3成立,数列{}的通项公式为: =2n+1;(2)==
=(-),=++------+=(-+-+-------+-
+-)=(-)=,即数列{}的前n项和为。
(文)(1)设等差数列{}的首项为,公差为d,=3+3d=0①,=5+10d=-5②,联立①②解得:=1,d=-1,=1-(n-1)=2-n,即数列{}的通项公式为: =2-n;
(2)===(-),=(-1-1+1-+-+-+-------+-+-)=(-1-)
=-,即数列{}的前n项和为-。
〖思考问题3〗
(1)【典例3】是等差数列,等比数列之间的综合与一般数列求和的问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列的定义,通项公式,前n项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题,注意一般数列的结构特征,选用恰当的求和方法求出结果;
(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d(或公比q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是一般数列求和的问题,解答时注意数列通项是一个分式,分式的分子为常数,分母是几个连续整数的积这一结果特征,然后利用裂项相消法求出数列的前n项和;
(3)裂项相消法求出数列的前n项和的基本方法是:①将数列的通项分裂成两项之差;②
根据数列前n项和的定义,得到数列前n项和的表示式;③消去表示式中中间的项,并求出
表示式的结果;④得出所求数列的前n项和。
[练习3]解答下列问题:
1、已知{}是递增的等比列数,=1,且2,,成等差数列。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设=(n∈),求数列{}的前n项和(2020成都市高三二珍)(答案:(1)==;(2)=。)
2、已知等差数列{}的前n项和为,且=2,=66.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)(理)若数列{}满足=,求证:++------+<1。(文)若数列{}满足=,求数列{}的前n项和(2017成都市高三零珍)(答案:(1)=n;(2)(理)提示:求出数列{}的前n项和,再比较与1的大小。(文)=-2。)
【典例4】解答下列问题:
1、记为等差数列{}的前n项和,已知=11,=40。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{||}的前n项和(2023全国高考乙卷文)
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质;②等差数列通项公式及运用;③等差数列前n项和公式及运用;④拆项求和法及运用。
【解题思路】(1)根据等差数列的性质,运用等差数列通项公式与前n项和公式,结合问题条件得到关于首项,公差d的方程组,求解方程组求出首项,公差d的值,就可求出数列{}的通项公式;(2)根据数列{}通项公式得到数列{||}的通项公式,运用拆项求和的基本方法就可求出数列{||}的前n项和。
【详细解答】(1)设等差数列{}的首项为,公差为d,=11,=40,
+d=11①,10+45d=40②,联立①②解得:=13,d=-2,=+(n-1)d=13-2n+2
=15-2n;(2)由(1)知,==15-2n,||= 15-2n,1≤n≤7,= 14n- ,1≤n≤7, 2n-15,n≥8, -14n+98,n≥8。
2、设等差数列{}的公差为d,且d>1,令=,记,分别为数列{},{}的前n项和。
(1)若3=3+,+=21,求数列{}的通项公式;
(2)若{}为等差数列,且-=99,求d(2023全国高考新高考I)
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质;②等差数列通项公式及运用;③等差数列前n项和公式及运用;④拆项求和法及运用。
【解题思路】(1)根据等差数列的性质,运用等差数列通项公式与前n项和公式,结合问题条件得到关于首项,公差d的方程组,求解方程组求出首项,公差d的值,就可求出数列{}的通项公式;(2)根据数列{}通项公式,数列{}的通项公式和等差数列的性质,结合问题条件得到关于首项为,公差d的等式,从而得到首项为关于d的表示式,运用等差数列前n项和公式,拆项求和的基本方法得到关于d的方程,求解方程就可求出d的值。
【详细解答】(1)设等差数列{}的首项为,等差数列{}的公差为d,且d>1,=,3=3+,+=21,3+3d=4+2d①,3+3d+++
=21②,联立①②解得:=3,d=3,=+3(n-1)=3n;(2)设等差数列{}的首项为,等差数列{}的公差为d,且d>1,=,=,
=,=,{}为等差数列,=+,(-d)(-2d)=0,=d或=2d,当=d时,===+,=99d+9949d
=9950d,=(1+2+------+99)+=,-=9950d-=99,
50d-=1,(50d-51)(d+1)=0, d=1或d=,d>1, d=;=2d时,===,=299d+9949d=9951d,=(1+2+------+99)=,-=9951d-=99,51d-=1,(51d+50)(d-1)=0,d=-,d=1与题意不符,综上所述,若{}为等差数列,且-=99,则d=。
3、数列{}为等差数列,= -6,n为奇数,记,分别为{},{}的
2,n为偶数,前n项和,=32,=16。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)证明:当n>5时,>(2023全国高考新高考II)
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质;②等差数列通项公式及运用;③等差数列前n项和公式及运用;④拆项求和法及运用。
【解题思路】(1)根据等差数列的性质,运用等差数列通项公式与前n项和公式,结合问题条件得到关于首项,公差d的方程组,求解方程组求出首项,公差d的值,就可求出数列{}的通项公式;(2)根据数列{}通项公式得到数列{}的通项公式,运用拆项求和的基本方法就可求出数列{}的前n项和关于n的表示式,运用等差数列前n项和公式得到关于n的表示式,就可证明结论。
【详细解答】(1)设等差数列{}的首项为,公差为d,=32,=16,2
+3d=16①,+d-3=4②,联立①②解得:=5,d=2,=+(n-1)d=5+2n-2=2n+3;
(2)当n为奇数时,= -6=2n+3-6=2n-3,当n为偶数时,=2=4n+6,当n为奇数时,=2(1+3+------+n-2)++4(2+4+-------+n-1)++2n-3=+
n-8,当n为奇数时,=2(1+3+------+n-1)+n+4(2+4+-------+n)+3n=+n,
=5n+2=+4n,当n为奇数时,-=+n-8--4n=+n-8>
+-8=20-8=12>0;当n为偶数时,-=+n--4n=+n>0,综上所述,当n>5时,>。
〖思考问题4〗
(1)【典例4】是等差数列,等比数列之间的综合问题,解答这类问题需要理解等差数列,
等比数列的定义,通项公式,前n项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题;
(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d(或公比q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是求一般数列的前n项和的问题,解答时注意数列通项是几项的和,每一项分离出来之后可构成基本数列,具有这个特征的数列,求和都采用拆项和法;
(3)拆项求和法的基本方法是:①将通项中的相应项分离出来构成基本数列;②运用基本数列前n项和公式求出各基本数列的前n项和;③把各基本数列前n项和相加;④得出所求数列的前n项和。
[练习4]解答下列问题:
1、(理)已知数列{}满足:=-2,=2+4.
(1)证明数列{+4}是等比数列;
(2)求数列{}的前n项和。
(文)在等比数列{}中,已知=8,且,+1,成等差数列。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{|-4|}的前n项和(2017成都市一珍)
(答案:(理)(1)提示:证明数列{+4}相邻两项的比为常数;(2)=-4n-2。
(文)(1)数列{}的通项公式为=;(2)=-4n-2。)
2、已知数列{}的前n项和= (n)。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设= + ,求数列{}的前2n项和。
(答案:(1)数列{}的通项公式为=n;(2)=+n-2。)
【典例5】解答下列问题:
1、记为数列{}的前n项和,已知+n=2+1。
(1)证明:数列{}是等差数列;
(2)若,,成等比数列,求的最小值(2022全国高考甲卷)
【解析】
【考点】①等差数列定义与性质;②数列通项公式与前n项和公式之间的关系及运用;③证明数列是等差数列的基本方法;④等差数列通项公式及运用;⑤等比中项定义与性质;⑥等差数列前n项和公式及运用;⑦求一元二次函数最值的基本方法。
【解题思路】(1)根据等差数列的性质,运用证明数列是等差数列的基本方法,结合问题条件就可证明数列{}是等差数列;(2)根据等差数列通项公式表示出,,关于的式子,运用等比中项的性质得到关于的方程,求解方程求出的值,由等差数列前n和公式得到关于n的一元二次函数,利用一元二次函数求最值的基本方法就可求出的最小值。
【详细解答】(1)证明:当n2时, +n=2+1, 2=2n+n-①,2=2(n-1)+n-1-②,①-②得:2(-)=2=2n+n--2(n-1)-n+1
+,2(n-1)-2(n-1)=2(n-1),-=1(n2,n),当n=2时,- =1,数列{}是以为首项,1为公差的等差数列;(2)由(1)知,=+3,=+6,=+8,,,成等比数列, =(+3)(+8),=-12,数列{}是以-12为首项,1为公差的等差数列,=-12n+1=-n,当且仅当n=-==13(或n=12)时,取得最小值为= = =(13-25)=-78,若,,成等比数列,则的最小值为-78。
2、设为等差数列{}的前n项和,已知=-7,=-15。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求,并求的最小值(2018全国高考新课标II卷(理))
【解析】
【考点】①等差数列的定义与性质;②等差数列前n项和公式及运用;③等差数列通项公式及运用;④求函数最值的基本方法。
【解题思路】(1)运用等差数列{}的前n项和公式得到关于公差d的方程,求解方程求出公差d的值,从而求出数列{}的通项公式;(2)由(1)得到关于n的函数,
利用求函数最值的基本方法就可求出的最小值。
【详细解答】(1)设等差数列{}的公差为d,=-7,=3+3d=-15,d=2,数列{}的通项公式为:=-7+(n-1)2=2n-9;(2)由(1)得=-7n+2
=-8n,当且仅当n=-=4时,=16-84=-16为最小,的最小值是-16。
〖思考问题5〗
(1)【典例5】是等差数列,等比数列之间的综合与求等差数列前n项和的最值问题,解答这类问题需要理解等差数列,等比数列的定义,通项公式,前n项和公式等基本概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前n项和公式,并能熟练运用公式解答相关问题,注意等差数列前n项和是关于n的二次函数,运用求函数最值的基本方法就可求出结果;
(2)第一小题一般是求通项公式的问题,解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d(或公比q),再运用通项公式就可以得出结果;第二小题是求等差数列前n项和的最值问题,解答时注意等差数列前n项和是关于n的二次函数,利用求函数最值的基本方法就可求出等差数列的前n项和的最值。
[练习5]解答下列问题:
1、设{ }是等差数列,=-10,+10,+8,+6成等比数列。
(1)求数列{ }的通项公式;
(2)记{ }的前n项和为,求的最小值(2019全国高考北京(文))
(答案:(1)数列{ }的通项公式为:=2n-12;(2)的最小值是-25。)
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